Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-12-13 | 281 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Кратные интегралы: определение, условия существования, основные свойства. Сведение к повторному интегралу
Пусть z=f(x,y) – непрерывно дифференцируемая и положительная функция двух переменных, определенная на ограниченном подмножестве (S) плоскости . Если существует предел независимо от выбора точек и независимо от разбиения множества (S) на элементарные части, то он называется двойным интегралом функции и обозначается .
Пусть дано некоторое тело (V) в трехмерном пространстве . Предположим, что известна плотность (x,y,z) распределения массы в каждой точке M(x,y,z) тела (V). Требуется определить всю массу тела. Если существует предел независимо от выбора точек ( и независимо от разбиения множества (V) на элементарные части, то он называется тройным интегралом функции f(x,y,z) по множеству (V).
Свойства
Теорема 1: справедливо равенство
Теорема 2: пусть функции f(x,y) и ϕ(x,y) определены на одном и том же множестве (S) плоскости и на этом множестве не имеют двойные интегралы. Тогда справедлива формула
, где А и В постоянные числа.
Теорема 3: пусть функция f(x,y) определена на квадратируемом подмножестве (S) плоскости . Предположим, что множество (S) некоторой кусочно-гладкой кривой разложено на два квадрируемые подмножества (S’) и (S’’). Тогда из существования двойного интеграла функции f(x,y) по области (S) следует существования двойных интегралов этой функции в обоих областях (S’) и (S’’), и обратно. При этом имеет место разложение
Теорема 4: пусть f(x,y) для всех (x,y) и существуют двойные интегралы функции f(x,y) и . Тогда справедливо равенство
Теорема 5: справедлива формула
Теорема 6: (теорема о среднем) пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена и интегрируема на замкнутом множетсве (S)с . Тогда существует такая точка (ξ,η) (S), что
|
Теорема 7: всякая непрерывная в области (S) функция z=f(x,y) интегрируема.
Теорема 8: если функция z=f(x,y) ограничена и имеет разрывы только лишь на конечном числе гладких кривых области (S), то она интегрируема.
Приведение двойного интеграла к повторному
Пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена на прямоугольнике , т.е. на множестве точек (x,y) , которые удовлетворяют условию где a<b, c<d
Теорема: пусть для функции существует двойной интеграл и также при каждом фиксированном x существует обычный интеграл I= . Тогда существует повторный интеграл
Работа плоского поля: формула Грина как частный случай теоремы Остроградского-Гаусса.
Пусть P(x,y) и Q(x,y) гладкие в области D, а Г – контур в области D, ограниченный под областью D. Тогда:
Формула Грина является частным случаем теоремы Остроградского-Гаусса, когда поверхность является плоской.
Кратные интегралы: определение, условия существования, основные свойства. Сведение к повторному интегралу
Пусть z=f(x,y) – непрерывно дифференцируемая и положительная функция двух переменных, определенная на ограниченном подмножестве (S) плоскости . Если существует предел независимо от выбора точек и независимо от разбиения множества (S) на элементарные части, то он называется двойным интегралом функции и обозначается .
Пусть дано некоторое тело (V) в трехмерном пространстве . Предположим, что известна плотность (x,y,z) распределения массы в каждой точке M(x,y,z) тела (V). Требуется определить всю массу тела. Если существует предел независимо от выбора точек ( и независимо от разбиения множества (V) на элементарные части, то он называется тройным интегралом функции f(x,y,z) по множеству (V).
Свойства
Теорема 1: справедливо равенство
Теорема 2: пусть функции f(x,y) и ϕ(x,y) определены на одном и том же множестве (S) плоскости и на этом множестве не имеют двойные интегралы. Тогда справедлива формула
|
, где А и В постоянные числа.
Теорема 3: пусть функция f(x,y) определена на квадратируемом подмножестве (S) плоскости . Предположим, что множество (S) некоторой кусочно-гладкой кривой разложено на два квадрируемые подмножества (S’) и (S’’). Тогда из существования двойного интеграла функции f(x,y) по области (S) следует существования двойных интегралов этой функции в обоих областях (S’) и (S’’), и обратно. При этом имеет место разложение
Теорема 4: пусть f(x,y) для всех (x,y) и существуют двойные интегралы функции f(x,y) и . Тогда справедливо равенство
Теорема 5: справедлива формула
Теорема 6: (теорема о среднем) пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена и интегрируема на замкнутом множетсве (S)с . Тогда существует такая точка (ξ,η) (S), что
Теорема 7: всякая непрерывная в области (S) функция z=f(x,y) интегрируема.
Теорема 8: если функция z=f(x,y) ограничена и имеет разрывы только лишь на конечном числе гладких кривых области (S), то она интегрируема.
Приведение двойного интеграла к повторному
Пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена на прямоугольнике , т.е. на множестве точек (x,y) , которые удовлетворяют условию где a<b, c<d
Теорема: пусть для функции существует двойной интеграл и также при каждом фиксированном x существует обычный интеграл I= . Тогда существует повторный интеграл
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!