Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-12-13 | 198 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Предположим, что область можно задать в виде системы неравенств:
Геометрически это означает, что каждая вертикальная прямая пересекает границу области только в двух точках М 1 и М 2 (рис. 3), которые называются соответственно точкой входа и точкой выхода.
Тогда
.
Рис. 3. | Рис. 4. |
Если же область (рис.4) можно задать в виде системы неравенств:
то
.
Интегралы. стоящие в правых частях приведенных равенств, называются повторными. Они отличаются друг от друга порядком интегрирования. Интеграл, содержащий функцию , называется внутренним, другой – внешним. При вычислении повторных интегралов следует брать сначала внутренний интеграл, при этом переменная, не стоящая под знаком дифференциала, принимается постоянной. Затем вычисляется внешний интеграл. Каждый из них вычисляется при помощи формулы Ньютона – Лейбница, как определенный интеграл.
Области, не представимые в описанном выше виде, следует разбить на конечное число таких областей при помощи прямых, параллельных координатным осям (рис. 5). При вычислении двойных интегралов по таким областям следует применить свойство аддитивности.
Рис. 5.
Пример 1. Вычислить повторный интеграл .
Сначала вычислим внутренний интеграл по формуле Ньютона – Лейбница. Его результат будет подынтегральной функцией для внешнего интеграла.
.
Пример 2. Вычислить повторный интеграл .
Множитель (он не зависит от , поэтому может считаться постоянным для внутреннего интеграла) можно вынести за знак интеграла, т. е. перенести во внешний интеграл:
.
Пример 3. Вычислить двойной интеграл , где - прямоугольник , .
Преобразуем двойной интеграл в повторный. Пределы интегрирования известны, поэтому
|
.
Повторный интеграл свелся к произведению двух независимых друг от друга интегралов, поскольку результат вычисления внутреннего интеграла есть число.
Пример 4. Вычислить интеграл , где область - параболический сегмент, ограниченный параболой и прямой .
Изобразим область интегрирования (рис.6). Так как прямая и парабола
пересекаются в точках и , то область определяется системой неравенств
Рис. 6.
Теперь вычислим искомый интеграл :
Пример 5. Вычислить интегральное среднее значение функции в области , ограниченной прямыми , .
Область - треугольник ОАВ, где , , - рис. 7.
Рис. 7.
По определению интегральное среднее значение функции в области равно , где S – площадь области (свойство 3).
Площадь S вычисляется по формуле площади прямоугольного треугольника: . Остается вычислить интеграл по области , которую можно задать неравенствами , .Имеем
Таким образом, искомое интегральное среднее равно , т. е. 4.
Контрольные вопросы:
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!