Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-12-13 | 617 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Повторные интегралы
I случай. Прямоугольная область.
Пусть функция f (x; y) определена на прямоугольнике Р =[ a, b; c, d ] и интегрируема по y на [ c; d ] для любого фиксированного x Î[ a; b ], т.е. " x Î[ a; b ] . Тем самым определена функция на [ a; b ]. Если функция F(х) интегрируема на [ a; b ], т.е. , то этот интеграл называется повторным интегралом от функции f по прямоугольнику Р, взятым сначала по y, а затем по x. Его символически обозначают
. (1)
Аналогично определяется повторный интеграл . (2)
Теорема 1. Если функция f (x; y) непрерывна на прямоугольнике Р =[ a, b; c, d ], то существуют повторные интегралы (1) и (2).
Доказательство.
Докажем существование интеграла (1). Для этого достаточно доказать, что функция непрерывна на [ a; b ]. Пусть x 0 - произвольная точка отрезка [ a; b ]. Придадим x 0 приращение D х, так чтобы x 0+D х Î[ a; b ]. Тогда
,
. (3)
Т.к. функция f непрерывна на прямоугольнике Р, то она и равномерно непрерывна на нём. Тогда " e >0 $ d >0: "(x 1; y 1),(x 2; y 2)Î P: r ((x 1; y 1),(x 2; y 2))<d Þ
| f (x 1; y 1) -f (x 2; y 2)|< e. (4)
Пусть e >0 - произвольное число. выполнено
, .
Тогда для этих точек должно выполняться (4), т.е.
. (5)
Из (3) и(5) следует
.
Т.о., из условия следует .
Следовательно, F(х) непрерывна в точке х 0. Так как х 0 – произвольная точка из [ a; b ] то F(х) непрерывна на [ a; b ]. Следовательно, она интегрируема на [ a; b ], т.е. .
Существование повторного интеграла (2) доказывается аналогично.
II случай. Непрямоугольная область.
Пусть функция f (x; y) определена на замкнутой области Р, представляющей собой плоскую фигуру, ограниченную прямыми x=a и x=b (a < b), кривыми y = j 1(x) и y = j 2(x), причем j 1(x)£ j 2(x) и j 1(х), j 2(х) непрерывны на [ a; b ]. Такую область назовем простой областью I типа. (обозначим её РI). Очевидно, что РI квадрируема.
|
Рассуждая аналогично I случаю, имеем: , повторный интеграл:
. (6)
Пусть область Р ограничена прямыми y=c и y=d (c < d), кривыми x = y 1(y), x = y 2(y), причем y 1(y)£ y 2(y) и y 1(y) и y 2(y) непрерывны на [ c; d ]. Такую область назовем простой областью II типа. (обозначим её РII). РII квадрируема. Тогда , повторный интеграл:
. (7)
Теорема 2. Если функция f (x; y) непрерывна на простой области I типа, то существует повторный интеграл (6).
Доказательство.
Докажем непрерывность функции F(х) на [ a; b ]. Из этого будет следовать ее интегрируемость. Пусть х - произвольная точка отрезка [ a; b ]. В интеграле сделаем замену переменной: . Если t =0, то y = j 1(x), если t =1, то y = j 2(x), . Получим
.
Т.к. f (x; y) непрерывна на РI, функции j 1(х), j 2(х) непрерывны на [ a; b ], то функция g (x; t) непрерывна на прямоугольнике D =[ a, b;0,1]. Поэтому на основании теоремы 1 F(х) непрерывна на [ a; b ]. Следовательно, она интегрируема на [ a; b ], т.е. .
Теорема 3. Если функция f (x; y) непрерывна на простой области II типа, то существует повторный интеграл (7).
2. Вычисление двойного интеграла
Теорема 4. Если функция f (x; y) непрерывна на прямоугольнике Р =[ a, b; c, d ], то справедлива формула
.
Доказательство.
Существование двойного интеграла и повторных интегралов доказано в предыдущих теоремах. Докажем равенство
.
Отрезки [ a; b ] и [ c; d ] разобьём произвольными точками , на частичные отрезки. Через точки деления проведём прямые параллельные осям координат. Этими прямыми прямоугольник Р разобьётся на частичные прямоугольники , , . В силу условия функция f (x; y) непрерывна на замкнутом прямоугольнике , поэтому на этом прямоугольнике она имеет наименьшее и наибольшее значения. "(х; у)Î . Зафиксируем произвольно точку . Ясно, что " у Î[ yk- 1; yk ]. Интегрируя это неравенство на отрезке [ yk- 1; yk ], получим
, (8)
где D yk = yk - yk- 1. Таких неравенств будет m штук. Суммируя неравенства (8) по k от 1 до m, получим
.
По свойству аддитивности определенного интеграла
.
Обозначим . Тогда
.
Умножим все части этого равенства на D xi = xi – xi- 1. Суммируя их по i от 1 до n, получим
|
. (9)
Средняя часть неравенства (9) представляет собой интегральную сумму для функции F(х) на [ a; b ]. Крайние части (9) представляют собой нижнюю и верхние суммы Дарбу для функции f (x; y) на Р. Действительно,
.
Аналогично, .
Поэтому из (9) получаем
. (10)
Так как функция f (x; y) непрерывна на Р, то она интегрируема на этом прямоугольнике, следовательно,
.
Но тогда из (10) следует, что
. (11)
С другой стороны, по теореме 1
. (12)
Из (11) и (12) следует .
Равенство доказывается аналогично.
Пример. Вычислить , где Р прямоугольник [0,1;0,1].
D . D
Теорема 5. Если функция f (x; y) непрерывна на простой области I типа, то справедлива формула
. (13)
Доказательство.
Так как j 1(x) и j 2(x) непрерывны на [ a; b ], то они на этом отрезке имеют наименьшее и наибольшее значения. Обозначим их , . Пусть D =[ a, b; c, d ], P Ì D. Рассмотрим функцию F (x; y) на D:
По условию f непрерывна на замкнутой квадрируемой области Р, следовательно, она интегрируема на Р. Т.к. F (x; y)= f (x; y), то и F (x; y) интегрируема на Р и
.
С другой стороны, т.к. на Р 1 и Р 2 F (x; y)=0, то F (x; y) интегрируема и на Р 1, Р 2 и
(все интегральные суммы равны нулю, а значения на границе можно не учитывать).
Тогда по свойству аддитивности двойного интеграла F (x; y) интегрируема на
и
. (14)
Теперь наша задача свелась к вычислению - двойного интеграла по прямоугольной области.
" фиксированного х Î[ a; b ]
,
так как существует каждый из трёх интегралов справа:
, а .
Тогда " х Î[ a; b ]
. (15)
Так как f (x; y) непрерывна на Р, то по теореме 2 непрерывна на [ a; b ]. Тогда из (15) следует, что непрерывна на [ a; b ], значит, F(х) интегрируема на [ a; b ], т.е. существует повторный интеграл (случай I)
. (16)
Теперь из (14) и (16), учитывая (15), получаем
.
Теорема 6. Если функция f (x; y) непрерывна на простой области II типа, то справедлива формула
. (17)
Замечание 1. Если контур области интегрирования пересекается не более, чем в двух точках, как параллелями оси О х, так и параллелями оси О у, то имеют место обе формулы (13) и (17), и, значит, повторные интегралы (6) и (7) равны.
Замечание 2. Если область Р не является простой областью I или II типа, то её разбивают (если возможно) на конечное число простых областей I и II типа. Тогда двойной интеграл по области Р равен сумме интегралов по простым областям.
Замечание 3. Формулы (13) и (17) справедливы и в том случае, когда f имеет разрывы в конечном числе точек и на кривых, площадь которых равна нулю.
|
Пример 1. Р ограничена: y = x 3, y + x =2, x =0. Вычислить .
D Найдём координаты точки А:
x 3=2- x, x 3+ x -2=0, x =1.
=
. D
Пример 2. Р ограничена: y 2=3 x +9, y =3– x. Свести к повторным двумя способами.
D Найдём точки пересечения графиков функций:
(3 -x)2=3 x +9, 9-6 x + x 2-3 x -9=0,
x 2-9 x =0, x (x -9)=0, x =0, x =9,
y =3, y =-6.
Выразим из первого уравнения х: 3 x +9= y 2-9,
.
. D
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!