Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-12-13 | 298 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Нижняя и верхняя суммы Дарбу
Как и в одномерном случае, при изучении двойного интеграла существенную роль играют суммы Дарбу.
Пусть функция z = f (x; y) ограничена на области Р. Пусть Т – произвольное разбиение области Р на части Pk, . Тогда f (x; y) будет ограничена на всех Pk. Следовательно, существуют нижние и верхние грани функции f на Pk. Обозначим , .
"(x; y)Î Pk справедливо неравенство , . Cоставим суммы
- нижняя, - верхняя суммы Дарбу.
и зависят только от разбиения Т (не зависят от выбора точек , как S (T)).
Свойства сумм Дарбу
1) Для любого фиксированного разбиения Т справедливо
.
2) , .
3) Если к линиям разбиения добавить новую линию, то получим разбиение T 1, которое называется продолжением разбиения T. От этого нижняя сумма может только возрасти, а верхняя - уменьшиться.
.
4) Для любых разбиений Т 1 и Т 2 справедливо .
(Доказательство свойств 1)–4) аналогично доказательствам тех же свойств сумм Дарбу для случая одной переменной, только вместо точек деления надо брать линии).
5) Рассмотрим два числовых множества . Множество ограничено сверху любым числом из множества (по свойству4), тогда . Значит, выполнено . Из последнего неравенства следует, что множество ограничено снизу, – нижняя граница. Следовательно, и выполнено ( - наибольшая нижняя граница ). Очевидно, . Тогда выполнено .
2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости
Теорема 2. Для того чтобы ограниченная функция z = f (x; y) была интегрируема на замкнутой квадрируемой области Р необходимо и достаточно, чтобы
. (1)
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть функция f интегрируема на Р. Докажем (1).
Так как f интегрируема на Р, то . Это по определению означает, что " e >0 $ d >0: " Т: l < d, выполнено
|
. (2)
(2) Û I-e < S (T)< I + e.
Т.к. " Т , , то
. (3)
Тогда .
Т.е. для выбранного e >0 $ d >0: " Т: l < d выполнено . По определению предела это значит, что выполнено (1).
2) Достаточность. Пусть f ограничена на Р и выполнено (1). Докажем, что f интегрируема на Р. " e >0 $ d >0: " Т: l < d Þ
. (4)
По свойству 5) сумм Дарбу " Т:
. (5)
Из (4) и (5) Þ . Это означает, что .
Тогда . (6)
Согласно свойству 1) сумм Дарбу
. (7)
Тогда из (4), (6), (7) получим
,
,
. Значит, по определению f (x; y) интегрируема на Р.
Замечание. Отметим, что из (3) следует
,
,
т.е. при доказательстве необходимости мы установили, что если f интегрируема на P, то
.
3. Интегрируемость непрерывной функции
Теорема 3. Если функция z = f (x; y) непрерывна на замкнутой квадрируемой области Р, то она интегрируема на этой области.
Доказательство.
Пусть Т – произвольное разбиение области Р на части Pk . Т.к. z = f (x; y) непрерывна на замкнутой области Р, то f ограничена на Р и, значит, ограничена на . Следовательно, можно построить .
, (8)
где - соответственно верхние и нижние грани функции f (x; y) на области Pk. Т.к. f (x; y) непрерывна на замкнутой области Рk, то она достигает верхней и нижней граней , т.е.
.
Подставим в (8):
. (9)
Т.к. функция f непрерывна на замкнутой области P, то она равномерно непрерывна на этой области (теорема Кантора), т.е по определению
(10)
выполнено . (11)
Пусть -произвольное число. Выберем разбиение Т так, чтобы l < d = d (e). Тогда . Значит, для точек выполнено (10). Следовательно, для значений функции в них выполнено (11):
. (12)
Из (9) и (12) следует
.
Т.о., " T: l < d выполнено . По определению это значит, что . Тогда согласно теореме 2 f интегрируема на P.
Теорема 4. Если ограниченная на P функция f имеет точки разрыва лишь на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида y = f (x) или х = j (у), то она интегрируема на P, и при этом значения функции в точках разрыва не влияют на значения двойного интеграла.
(без доказательства).
|
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!