Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, если цифры не повторяются?

Решение: Так как натуральное число не может начинаться с цифры 0, исключаем те числа, которые начинаются с цифры 0. Количество таких чисел

Р4 = 1·2·3·4= 24

Р5 – Р4 = 1·2·3·4·5-1·2·3·4 = 120-24=96 Ответ: 96 чисел.

 

На собрание пришли 3 девочки и 4 мальчика. Сколькими способами можно их рассадить, если девочки хотят сидеть рядом?

Решение: Если рассмотреть девочек как одну, всего перестановок будет Р5. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р3 перестановок девочек. Искомое число перестановок:

Р5·Р3 = 5!·3!=1·2·3·4·5·1·2·3=720 Ответ: 720 способов.

Размещения

 

Задача: Даны четыре различных шара: белый, зеленый, красный и синий. Их нужно поместить в 3 пустые ячейки. Сколько всего будет способов размещения шаров?

Решение: Сначала выпишем все варианты, которые начинаются с белого шара, затем – с зеленого и т. д.

бзк, бкз, бзс, бсз, бкс, бск.

збк, зкб, зсб, збс, зкс, зск.

кбз, кзб, ксб, кбс, кзс, ксз.

сбз, сзб, скб, сбк, скз, сзк.

Всего способов 24. В первую ячейку можно выбрать четырьмя способами. Во вторую – тремя, в третью – двумя. Всего способов 4·3·2=24. Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещением из четырех элементов по три.

 

Определение: Размещением из n элементов по к (к≤n) называется любое множество, состоящее из любых к элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.

Каждое множество при размещении отличается порядком элементов или их составом.

к

Число размещений из n элементов по к обозначают Аn.

Первый элемент можно выбрать n способами, второй n-1 и последний к-й элемент n-(к-1) способами.

к

Аn = n(n-1)(n-2)… (n-(k-1))

 

Задачи:

1. Учащиеся одного класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предметов.

Решение: Расписание на один день отличаются либо порядком следования предметов, либо самими предметами. Значит, здесь речь идет о размещении

из 8 элементов по 4.

А8= 8·7·6·5=1680 Ответ: 1680 способов.

 

2. Сколькими способами тренер может распределить 10 спортсменов, на эстафете 4·100 на первом, во втором, третьем и четвертом этапах?

Решение: А10 = 10·9·8·7·=5040 Ответ: 50400 способов.

 

3. Сколько существует пятизначных телефонных номеров, в каждом из которых все цифры различны и первая цифра различна отнуля? 5

Решение: Число размещений из десяти элементов по пять – А10. Число размещений

начинающихся с цифры ноль – А9. Число телефонных номеров равно:

5 4

А10 – А9 =10·9·8·7·6 – 9·8·7·6 = 27216 Ответ: 27216 номеров.

Сочетания

 

Задача: На столе лежат 5 разноцветных карандашей. Сколько способов для выбора 3 из них?

Решение: Обозначим карандаши буквами а, в, с, d, е. Можно составить такие сочетания: авс, авd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bed, cde.

Всего: 10 способов.

 

Определение: Сочетанием из n элементов по к называется любое множество, составленное из к элементов, выбранных из данных n элементов.

к

Число сочетаний из n элементов по к обозначается Сn.

В сочетаниях не имеет значения порядок элементов, сочетания отличаются составом элементов.

Допустим, имеется множество, содержащее n элементов, и из его элементов составлены

всевозможные сочетания по к элементов. Число таких сочетаний равно Сn. В каждом сочетании можно выполнить Рк перестановок. В результате мы получим все размещения,

к

которые можно составить из n элементов по к. Их число равно Аn.

К к к к

Значит, Аn = Cn·Pк. Отсюда Сn = Аn

к Рк

Сn = n(n-1)(n-2)…(n-(k-1))

1·2·3·…·k

Умножим числитель и знаменатель, на (n-к)!

 

к

Сn= (n-1)(n-2)…(n-(k-1)(n-k)! = n

1·2·3·…·k·(n-k)! k!(n-k)!

Задачи:

Из 12 учеников нужно выбрать 3 ученика на улусный новогодний бал. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: Каждый выбор отличается от другого хотя бы одним учеником. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 12 элементов по 3:

С12 = 1·2·3·…·9·10·11·12 = 220 Ответ: 220 способов

1·2·3·1·2·3·…·9

 

2. В классе 10 девочек и 8 мальчиков. Нужно выбрать троих дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор, если:

а) среди них должен быть 1 мальчик;

б) это могуть быть любые 3 ученика?

Решение: а) выбрать одного мальчика можно С8 способами:

 

С8 = 1·2…·8 = 8

1!·1·2·..·7

 

Выбрать из 10 девочек 2 дежурных можно С10 способами:

С10 = 1·2·…·8·9·10 = 45

1·2·1·2·…·8

Способов из 3 дежурных, среди которых 1 мальчик, всего:

1 2

С8 ·С10 = 8·45=360 Ответ: 360 способов.

б) любых 3 учеников из 18 учащихся можно выбрать

С18 = 1·2·3…15·16·17·18 = 816 Ответ: 816 способов.

1·2·3·1·2·3·…·15

 

В корзине имеются 15 груш и 7 яблок. Нужно выбрать 5 груш и 3 яблока. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Способов выбора 5 груш:

С15 = 1·2·…·10·11·12·13·14·15 = 360360 = 3003

1·2·3·4·5·1·2·3·4·…·10 120

Способов выбора 3 яблок:

С7 = 1·2·3·4·5·6·7 = 35

1·2·3·1·2·3·4 5 3

Всего указанный выбор можно сделать С15 ·С7 способами:

5 3

С15·С7 = 3003·35=105105 Ответ: 105105 способов.

ЗАДАЧИ

 

1. Сколькими способами можно расставить в ряд на одной полке 7 книг?

2. Сколькими способами можно выбрать трех человек на 3 различные должности из восьми кандидатов?

3. Из 11 футболистов нужно делегировать 3 человека. Сколькими способами это можно сделать?

4. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

5. На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?

6. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 7 различных цветов?

7. На соревнованиях по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4 по 100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

8. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 15 участниками конкурса?

9. Сколькими способами 6 учеников, сдающих зачет, могут занять места в кабинете, в котором стоят 20 одноместных столов?

10. Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: а) 1, 3, 5, 7, 9; б) 0, 2, 4, 6, 8.

11. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отличная от нуля?

12. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

13. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуются прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

14. Из лаборатории в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если: а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку; б) заведующий лабораторией должен остаться?

15. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

16. В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

17. Для ремонта школы прибыла бригада, состоящая из 12 человек. Трех из них надо отправить на четвертый этаж, а четырех - на пятый этаж. Сколькими способами это можно сделать?

18. В отделе работают 5 ведущих и 8 старших научных сотрудников. В командировку надо послать двух ведущих и трех старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор сотрудников, которых надо послать в командировку?

19. Встретились 11 футболистов и 6 хоккеистов, и каждый стал по одному разу играть с каждым в шашки.

а) сколько встреч было между футболистами?

б) сколько встреч было между хоккеистами?

в) сколько встреч было между футболистами и хоккеистами?

г) сколько встреч было всего?

20. Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Известно, что

рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретились, если известно, что:

а) каждый здоровался с каждым;

б) только один человек не здоровался ни с кем;

в) только двое не поздоровались между собой.

21. В классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать двух дежурных по классу.

Сколькими способами это можно сделать: а) при условии, что пару обязательно

должны составить мальчик и девочка? б) без указанного условия?

22. В оперном театре 10 певцов и 8 певиц, а в опере по замыслу композитора 5 мужских и

3 женских партии. Сколько существует различных певческих составов для спектакля,

если известно, что:

а) все певицы и певцы прекрасно ладят между собой;

б) певцы А и Б ни за что не будут петь вместе;

в) 6 певцов накануне сорвал голос на футболе, и одной певице придется петь мужскую

партию.

23. В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может

выбрать из них для предстоящего турнира:

а) команду из 4 человек;

б) команду из четырех человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть

на первой, второй, третьей и четвертой досках?

24. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:

а) двух дежурных;

б) старосту и помощника старосты.

 

25. Из 20 вопросов к экзамену Вова 12 вопросов выучил, 5 совсем не смотрел, а в

остальных что– то знает, а что- то нет. На экзамене в билете будет три вопроса.

а) сколько существует вариантов билетов?

б) сколько из них тех, в которых Вова знает все вопросы?

в) сколько из них тех в которых есть вопросы всех трех типов?

 

 

Литература

 

1. Вишенкин Н. Я., Ивашев – Мусатов О. С., Шварцбурд С. И.

Алгебра и математический анализ для 11 класса. – М.: Просвещение, 1993.

2. Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. П.

Внеклассная работа по математике в 6 – 8 классах. – М.: Просвещение, 1997.

3. Дмитриев И. Г., Попов М. В., Федоров М. П.

Решение олимпиадных задач по математике. – Якутск: ДНСПО МО РС(Я), 2000.

4. Когаловский С.Р.

Роль комбинаторных задач в обучении математики. // Математика в школе. – 2004. - №4.

5. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г.

Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей. – М.: Просвещение, 2003.

6. Семеновых А.

Комбинаторика. // Математика. – 2004, №15, № 16.