Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-12-13 | 241 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Областью, стандартной относительно оси OX, будем называть множество вида , где и непрерывные на функции. Геометрически такая область характеризуется тем, что прямая пересекает границу этой области не более, чем в двух точках.
Аналогично определяется область, стандартная относительно оси OY:
.
Для стандартных областей справедливы формулы:
(4.5)
(4.6)
Представления (4.3), (4.4), (4.5), (4.6) двойных интегралов в виде повторных называют расстановкой пределов интегрирования в определенном порядке. Так, например, из формул (4.5) и (4.6) следует, что , то есть для такой области пределы интегрирования можно расставлять как в том, так и в другом порядке.
Если область интегрирования не является стандартной, но ее можно разбить на части , каждая из которых является стандартной областью, то, в силу свойства аддитивности двойного интеграла, .
Для того, чтобы разбить область на части, являющиеся стандартными и найти соответствующие функции полезно изобразить область интегрирования на чертеже.
Пример 4.2. Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в двойном интеграле , где область ограничена прямой и параболой .
Для вычисления двойного интеграла по этой области можно воспользоваться как формулой (4.5), так и (4.6), ибо граница области пересекается не более чем в двух точках прямыми параллельными оси OX, так и прямыми, параллельными оси OY. Применим сначала формулу
(4.5), . Чтобы найти пределы для : возьмем на оси OX произвольную точку , и проведем через нее прямую, параллельную оси OY в направлении этой оси. Точка входа этой прямой области лежит на прямой . .
Применим теперь к двойному интегралу формулу (4.6), . Для того, чтобы установить, каковы будут пределы внутреннего интеграла по , возьмем произвольную точку на оси OY, , и проведем через нее прямую, параллельную оси OX, в направлении этой оси. Точка входа этой прямой в область лежит на прямой , а точка выхода ее из области лежит на параболе .
|
. Следовательно, согласно формуле (4.6) .
Пример 4.3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
.
Нам не задана непосредственно область интегрирования, и мы должны выяснить ее вид по пределам повторного интеграла. Так как внутренний интеграл берется по , то пределы внутреннего интеграла показывают, какими линиями область ограничена снизу и сверху.
Уравнения этих линий соответственно и . Первое уравнение преобразуется к виду , или и определяет верхнюю половину окружности с центром в точке (1;0) радиуса 1. Так как при , то прямая , ограничивающая область слева, пересекает ее в одной точке (1;1). Прямая , ограничивающая область интегрирования справа, пересекает окружность в точке касания (2;0), а прямую -- в точке (2;2). Начертим область интегрирования . Граница области состоит из участков трех линий:
. Из рисунка видно, что точки входа в область одних прямых, параллельных оси OX, лежат на дуге окружности , а других – на биссектрисе . Точки выхода из области всех этих прямых лежат на прямой . Поэтому область
интегрирования разобьем на две части и . Тогда точки входа в область всех прямых, параллельных оси OX, будут лежать только на дуге окружности , а в область -- только на биссектрисе . Решая уравнения этих линий относительно , получим
Учитывая все сказанное, имеем
.
Пример 4.4. Вычислить , где -- область, ограниченная прямыми , и гиперболой .
Решая совместно уравнения прямой и гиперболой , получим точку их пересечения А(1;1). Для вычисления интеграла по заданной области удобно воспользоваться формулой (4.5). В этом случае мы будем иметь дело с одним повторным интегралом, так как прямые, параллельные оси OY,
Входят в область на гиперболе и выходят из нее на прямой . Легко видеть, что обратный порядок интегрирования, то есть применение формулы (4.6), был бы хуже, так привел бы к сумме двух повторных интегралов. Это объясняется тем, что область ограничена слева разными линиями, и поэтому часть прямых, параллельных оси OX, входят в эту область на гиперболе , а часть – на прямой .
|
Итак, приступим к вычислению двойного интеграла.
, где
.
Пример 4.5. Вычислить площадь области, ограниченной параболой и прямой .
Решая систему уравнений найдем точки пересечения параболы и прямой: А(0;2), В(8;-6). В силу формулы (4.1), площадь области . Из рисунка видно, что вычисление двойного интеграла
лучше провести по формуле (4.6), при другом порядке интегрирования мы получили бы сумму двух повторных интегралов.
Внешний интеграл по переменной берется в пределах от -6 до 2, а пределы внутреннего интеграла находятся из уравнений параболы и прямой, если решить их относительно :
Прежде чем перейти к примерам на вычисление объемов, следует иметь ввиду следующее замечание. При вычислении объема какого-нибудь тела полезно сделать пространственный рисунок, который давал бы представление о форме данного тела. Если же рисунок не удастся построить, то можно ограничиться хотя бы рисунком, изображающим только область интегрирования (основание цилиндрического бруса на плоскости). Однако и в этом случае необходимо представит себе, какая поверхность ограничивает брус сверху, а какая – снизу.
Пример 4.6. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом вращения , координатными плоскостями и плоскостью .
Поверхность параболоида вращения получается вращением вокруг оси OZ параболы . Уравнение в пространстве определяет плоскость, параллельную оси OZ, и пресекающую плоскость XOY по прямой в этой плоскости.
На рисунке изображено тело, объем которого надо вычислить. Это тело сверху ограничено поверхностью параболоида , снизу – плоскостью XOY, спереди –
плоскостью , слева – плоскостью XOZ (y=0), справа – плоскостью YOZ (x=0). Это тело представляет собой цилиндрический брус, расположенный над плоскостью
XOY. Его объем будем вычислять по формуле (4.2). Область интегрирования --
прямоугольный треугольник.
Упражнения
4.1. Изменить порядок интегрирования.
1) 7)
2) 8)
3) 9)
4) 10)
5) 11)
|
6) 12)
13) .
4.2. Вычислить двойные интегралы (указаны линии, ограничивающие область интегрирования).
1) (1)
2) (2)
3) (1)
4) (1)
5) (2)
6) (3)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13) (0)
Замечание к задачам 12, 13.
Если функция четна относительно переменной в области , то есть (аналогично относительно ), то
, где
Если нечетна относительно переменной в области , то есть , то .
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!