Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-12-13 | 152 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Ростовский Государственный Университет
Е.Р.Ляликова, В.П.Подпорин, С.В.Фоменко
Интегральное исчисление
Функций одной и двух переменных.
Методические указания для студентов
Дневного отделения
экономического факультета РГУ
Ростов-на-Дону 2004
Печатается в соответствии с решением кафедры математического анализа Ростовского государственного университета, протокол № от 7февраля 2004 года.
Интегральное исчисление является второй частью курса математического анализа, непосредственно следующей за дифференциальным исчислением. Само понятие интеграла является фундаментальным понятием математического анализа. Это понятие возникло, с одной стороны, из потребности решать задачи на вычисление площади, объема, работы переменной силы, центра тяжести и так далее, с другой – из необходимости находить функции по их производным.
В соответствии с этим возникли понятия неопределенного и определенного интегралов.
1. Неопределенный интеграл.
Основные свойства неопределенного интеграла.
1). Если функция дифференцируема на промежутке Е, то
а .
2). Если функция имеет на промежутке Е первообразную, то
.
3). Если функция имеет первообразную на промежутке Е, то
.
4). Если функции и имеют первообразные на промежутке Е, то
.
Заметим, что свойства 1 и 2 означают, что операции дифференцирования и интегрирования являются взаимно обратными, а поэтому взаимно уничтожают друг друга (если не учитывать постоянного слагаемого).
Основные методы интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.
|
Пример 1.4. Вычислить .
Применив свойства 3) и 4), имеем
Далее, используя соответственно формулы 1,2,3,6,10 таблицы основных интегралов, находим:
.
Заметим, что произвольные постоянные не записываются для каждого интеграла а в конце ставится постоянная С, которая является суммой всех произвольных постоянных.
Пример 1.5. Вычислить .
По формуле 9, где , получаем .
Пример 1.6. Вычислить .
Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так как , то интеграл можно записать в виде:
.
Применяя свойство 4) и формулы 7, 8, находим
.
Пример 1.7. Вычислить .
Так как , то
(здесь мы применили формулы 2 и 9 ()).
Упражнения
1.1. Применяя метод непосредственного интегрирования, вычислить интегралы (в скобках указаны ответы):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20) .
Упражнения.
1.2. Вычислить интегралы (в скобках указаны ответы):
1). ;
2). ;
3). ;
4). ;
5). ;
6). ;
7). ;
8). ;
9). ;
10). ;
11). ;
12). ;
13). ,
14). ,
15). ,
16). ,
17). ,
18). ;
19). ;
20). ;
21). ;
22). ;
23). ;
24). ;
25). ;
26). ;
27). ;
28). ;
29). ;
30). ;
31). .
Упражнения.
1.3 С помощью метода интегрирования по частям вычислить интегралы (в скобках указаны ответы).
1). ;
2). ;
3). ;
4). ;
5). ;
6). ;
7). ;
8). ;
9). ;
10). ;
11). ;
12). ;
13). ;
14). ;
15). .
Упражнения.
1.4. Вычислить интегралы (в скобках указаны ответы).
1). ;
2). ;
3). ;
4). ;
5). ;
6). ;
7). ;
8). ;
9). ;
10). ;
11). ;
12). ;
13). ;
14). ;
15). .
1.5. Нахождение интегралов вида .
Отметим, что R обозначает рациональную функцию своих аргументов и . Эти интегралы сводятся к интегралам от рациональной функции с помощью так называемой универсальной подстановки .
Так как , то . .
.
Пример 1.27. Вычислить
.
Однако на практике универсальная подстановка часто приводит к слишком сложным и трудоемким выкладкам, поэтому наряду с универсальной подстановкой полезно знать и другие постановки, которые во многих случаях быстрее приводят к цели.
|
Если функция нечетна относительно , то есть , то рационализация интеграла достигается с помощью подстановки .
Если функция нечетна относительно , то используется подстановка .
Если функция четна относительно и , то есть , то целесообразна подстановка .
Пример 1.28. Вычислить
.
Пример 1.29. Вычислить
.
Иногда при вычислении интегралов указанного вида бывает полезно прибегать и к другим искусственным приемам, используя известные тригонометрические формулы, как, например, формулу .
Пример 1.30. Вычислить
.
Замечание 1. Если в интеграле вида оба показателя степени m и n положительны и четны, то целесообразно применять формулы
,
которые приводят данный интеграл к интегралу с меньшими неотрицательными показателями.
Замечание 2. Интегралы вида непосредственно вычисляются с помощью формул: ,
,
.
Пример 1.31. Вычислить
.
Упражнения.
1.5. Вычислить интегралы (в скобках указаны ответы).
1). ;
2). ;
3). ;
4). ;
5). ;
6). ;
7). ;
8). ;
9). ;
10). ;
11). ;
12). ;
13). ;
14). ;
15). ;
16). ;
17). ;
18). ;
19). ;
20). ;
21). ;
22). ;
23). .
Определенный интеграл
2.1. Определение определенного интеграла. Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на произвольных частей точками . В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку и составим сумму , где . Эта сумма называется интегральной суммой для функции на . Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка разбиения: .
Определение 2.1. Если существует конечный предел интегральной суммы при и он не зависит от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции по отрезку и обозначается следующим образом:
.
В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, -- подынтегральной функцией, --переменной интегрирования.
Для интегрируемости функции достаточно ее непрерывности на . В дальнейшем будем предполагать, что рассматриваемые функции непрерывны на .
Формула Ньютона-Лейбница
Если функция непрерывна на отрезке и функция является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона-Лейбница . Введем обозначение для разности .
|
Тогда .
Пример 2.1. Вычислить .
Так как одна из первообразных для функции является функция , то применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем
.
Упражнения
2.1. Вычислить интегралы (в скобках указаны ответы):
1). ; 10). ;
2). ; 11). ;
3). ; 12). ;
4). ; 13).
5). ; 14).
6). ; 15). ;
7). ; 16). ;
8). ; 17). ;
9). ; 18). .
Упражнения
2.2. Найти площади фигур, ограниченных линиями:
1). 7).
2). 8).
3). 9).
4). 10).
5). 11).
6). 12).
13). Осью ОХ и одной аркой циклоиды
14). Астроидой
15). 16).
17). .
Формулы длин плоских кривых
, (2.5)
где -- длина дуги кривой, заданной уравнением (функция непрерывна на вместе со своей производной).
(2.6)
где -- длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями (функции и имеют непрерывные производные на , ).
(2.7)
где -- длина дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением (функция имеет непрерывную производную на ).
Пример 2.12. Найти длину полукубической параболы , отсеченной прямой .
Данная кривая симметрична относительно оси ОХ. Мы вычислим длину дуги одной ветви кривой например, верхней) и результат удвоим. Из уравнения кривой . Следовательно, по формуле (2.5) получим:
.
Пример 2.13. Найти длину дуги одной арки циклоиды .
Циклоида --- плоская кривая, которую описывает точка М окружности радиуса , катящейся без скольжения по оси ОХ из начала координат. Из уравнения циклоиды находим .
Когда пробегает отрезок , параметр пробегает отрезок . Следовательно, по формуле (2.6) имеем:
.
Пример 2.14. Найти длину дуги кардиоиды (см. рис. в примере 2.11).
Так как кривая симметрична относительно полярной оси, то для полярный радиус описывает половину кривой. Тогда, если учесть, что , формула (2.7) дает:
.
Упражнения
Найти длину дуги кривой.
1).
2).
3).
4).
5).
6).
7).
8). Астроиды
9).
10). Кардиоиды .
Формулы объемов тел вращения
(2.8)
где -- объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОХ.
(2.9)
где -- объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.
Пример 2.14. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линиями .
|
Изобразим тело вращения. По формуле (2.8)
.
Пример 2.15. Найти объем тела, образованного вращением эллипса вокруг оси ОУ.
Так как эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти половину искомого объема и результат удвоить. По формуле (2.9) имеем
Упражнения
2.3. Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями:
1). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ. .
2). вокруг оси ОХ.
3). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.
4). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.
5). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.
6). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ.
7). вокруг: а) оси ОХ; б) оси ОУ. .
Эскизы графиков некоторых кривых (для справок).
3 Несобственные интегралы
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы первого рода)
Пусть функция непрерывна на промежутке , тогда она непрерывна на любом промежутке и существует .
Определение 3.1. Если существует конечный предел , то говорят, что функция интегрируема на в несобственном смысле, величину обозначают символом и называют сходящимся несобственным интегралом первого рода.
В противном случае говорят, что несобственный интеграл первого рода расходится.
Аналогично, ; , где -- любое число.
Пример 3.1. Исследовать сходимость .
По определению имеем
,
то есть несобственный интеграл первого рода сходится и равен .
Пример 3.2. Исследовать сходимость .
1) Если , то 2) Если , то .
Таким образом, данный интеграл сходится при и расходится при .
Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)
Пусть функция непрерывна на промежутке и не ограничена слева от точки (ее называют особой точкой). Очевидно, что функция непрерывна на любом промежутке , заключенном в .
Определение 3.2. Если существует конечный предел , то говорят, что функция интегрируема на в несобственном смысле, величину обозначают символом и называют сходящимся несобственным интегралом второго рода.
В противном случае говорят, что несобственный интеграл второго рода расходится.
Аналогично, если -- особая точка, то, по определению, . Если внутренняя точка -- точка -- особая, то . Наконец, если и -- особые точки, то несобственный интеграл определяется как сумма: , где -- любая точка из .
Пример 3.3. Исследовать сходимость .
Точка -- особая для подынтегральной функции , она не ограничена в окрестности . На любом отрезке функция непрерывна, поэтому, по определению, имеем .
Следовательно, интеграл сходится.
Пример 3.4. Исследовать сходимость .
Подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки , поэтому точка особая.
1) Пусть . Тогда, по определению,
2) Если , то .
Таким образом, данный интеграл сходится при и расходится при .
|
Упражнения
3.1. Исследовать на сходимость и вычислить в случае сходимости следующие несобственные интегралы (в скобках указаны ответы):
1) ; 10) ;
2) ; 11) ;
3) ; 12) ;
4) ; 13) ;
5) ; 14) ;
6) ; 15) ;
7) ; 16) ;
8) ; 17) ;
9) ; 18) .
Упражнения
3.2. Исследовать сходимость следующих несобственных интегралов.
1) ; 9) ;
2) ; 10) ;
3) ; 11) ;
4) ; 12) ;
5) ; 13) ;
6) ; 14) ;
7) ; 15) ;
8) ; 16) .
Упражнения
3.3. Исследовать следующие несобственные интегралы на сходимость:
1) ; 8) ;
2) ; 9) ;
3) ; 10) ;
4) ; 11) ;
5) ; 12)
6) ; 13) ;
7) ; 14) .
Двойной интеграл
Вопросы для самопроверки
а) Сколько интегральных сумм можно составить для данного способа разбиения области ?
б) Приведите пример функции, для которой величина интегральной суммы не зависит ни от способа разбиения области , ни от выбора точек .
в) Как выразится объем цилиндрического бруска, ограниченного сверху поверхностью , а снизу – поверхностью , если проекцией обеих поверхностей на плоскость OXY является область ?
Упражнения
4.1. Изменить порядок интегрирования.
1) 7)
2) 8)
3) 9)
4) 10)
5) 11)
6) 12)
13) .
4.2. Вычислить двойные интегралы (указаны линии, ограничив
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!