История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-12-12 | 274 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Вектор и его свойства.
Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х ={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. | AB |=| a | - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.
1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А || В. б) l>0, то А В, l<0, то А ¯ В. в)l>1, то А < В,)l<1, то А > В
. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а /n= a *(1/n).
3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора.
4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.
Действия над векторами.
а =х1 i +y1 j +z1 k; b =х2 i +y2 j +z2 k
l* a =l(х1 i +y1 j +z1 k)= l(х1) i +l (y1) j +l(z1) k
a ± b =(x1±x2) i +(y1±y2) j +(z1±z2) k
ab =x1x2 ii +y1x2 ij +x2z1 ki +x1y2 ij +y1y2 jj + z1y2 kj +x1z1 ik +y1z2 jk +z1z2 kk =x1x2+y1y2+z1z2
ii =1; ij =0; и т.д.
скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
аа =x2+y2+z2=| a |2 a {x,y,z}, aa =| a |*| a |, то a 2=| a| 2
ab =|a|*|b|*cosj
а) ав =0,<=> а ^ в, x1x2+y1y2+z1z2=0
б) а || в - коллинеарны, если, x1/x2=y1/y2=z1/z2
Разложение векторов по базисным векторам.
Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.
Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.
Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.
ОС = OA + OB, OA =x* i, OB =j*y, OC =x i +y j. Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе
Координаты вектора. Длина вектора.
а =х1 i +y1 j +z1 k; b =х2 i +y2 j +z2 k
Скалярное произведение векторов.
скалярное произведение 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними.
(а, в)- скалярное произведение. а * в =| а |*| в |*cosj, j=p/2, cosp/2=0, a^b=> ab =0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности).
Свойства:
1.(a,b)=(b,a)-симметричность
2.(a,a)=|a|2-скалярный квадрат
3.Если a не равно 0,то (a,b)=a*пр.b на a
4. cosp/2=0, a^b=> ab =0
5.(Aa,b)=A(a,b),A-альфа
6.(a+b,c)=(a,c)+(b,c)
Нахождение угла между векторами.
Деление отрезка в заданном отношении.
Простое отношение трёх точек A,B,C на прямой L называется число (ABC)=AB/BC, которое очевидно равно отношению в котором точка B делит направленный отрезок AC. a-альфа
X=(x1+ax2)/(1+a) Y=(y1+ay2)/(1+a) Z=(z1+az2)/(1+a)
A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3)
a=AB/BC=(x2- x1)/ (x3- x2)= (y2- y1)/ (y3- y2)
Координаты середины отрезка.
При a=1 получаем
X=(x1+x2)/2 Y=(y1+y2)/2 X=(z1+z2)/2
Получаем координаты середины отрезка.
Общее уравнение прямой.
Сначала запишем ур-е прямой, проходящей через заданную точку ^ заданному вектору.
M0(x0,y0)
M0M {x-x0,y-y0}
n* M0M =0
A(x-x0)+B(y-y0)=0
Ax+By-Ax0-By0=0
-Ax0-By0=C
Ax+By+C=0-общее уравнение прямой на плоскости.
Угол между двумя прямыми.
а)
S1 {l1,m1} S2 {l2,m2},
или
p:y=k1x+b1, k1=tgj1
q:y=k2x+b2, k2=tgj2 =>tgj=tg(j2-j1)=
=(tgj2-tgj1)/(1+ tgj1tgj2)=
=(k2-k1)/(1+k1k2).
б) p||q, tgj=0, k1=k2
в)p^q,то
Окружность.
Уравнение окружности. Вывод:
общее свойство точек окружности |СМ| = R;
переход к координатной форме общего свойства
Ö(х – а)2 + (у – в)2 = R, (х – а)2 + (у – в)2 = R2.
Вывод уравнения окружности:
обозначим через М (х, у) произвольную точку линии;
запишем равенством общее свойство всех точек линии;
входящие в это равенство отрезки выразим через текущие координаты (х, у) точки М и другие параметры задачи.
Фигура окружность.
Общее свойство |ОМ| = R.
Ö(х2+ у2) = R.
х2+ у2 = R2.
Эллипс.
Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки
Аx2+Cy2=d
ур.-е
наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х2+y2=а2
Точки F1(-c,0) и F2(c,0) - наз. фокусами эллипса а.
Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом (0<=e<=1)
Точки A1,A2,B1,B2 -вершины эллипса.
Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.
Гипербола.
Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax2+Cy2=d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0
б) Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x2/a2-y2/b2=1, F1(c,o) и F2(-c,0) - фокусы ее, e>0, e=c/a - эксцентриситет.
Св-во:
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.
б) если d=0, ур-е примет вид x2/a2-y2/b2=0, получаем 2 перекрестные прямые х/а±у/b=0
в) если d<0, то x2/a2-y2/b2=-1 - ур-е сопряженной гиперболы.
Парабола
Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax2, где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.
Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид
y2=2px-симметрично отн. оси ОХ
х2=2pу-симметрично отн. оси ОУ
Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.
Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2
Св-ва:
1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax2.
Матрицы и их виды.
Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы.
Транспонированная матрица
A= AT=
Диагональная матрица
Единичная матрица
Матрица при * на которую любая матрица остаётся неизменной.Диагональная матрица с 1 диагональными элементами.
Е=
Нулевая матрица
Матрица все элементы которой нули.
Умножение матриц.
Транспонированная матрица
A= AT=
Обратная матрица.
Асимптоты к графику функции
Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает.
1) прямая х=х0 назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при х®х0 |f(x)|®+¥ (вида x=b)
2) y=kx+b,,y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты
lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+a(б.м.в.) по св-ву x®¥ пределов.
разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х®¥
f(x)/x=k+b/x+a/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(a/x)
x®¥
, то
k=lim(f(x)/x)
b=lim[f(x)-kx]
Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y
3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота.
Уравнение касательной.
Уравнение нормали.
y-f(x0)=-1/f’(x0)(x-x0)
Производная сложной функции (на примерах).
Производная неявной функции (на примерах).
Производные высших порядков (на примерах).
Производные высших порядков (показать на примерах)
Пример 1
Исследовать и построить график функции
1). Заметим, что знаменатель имеет корни 1 и 2, так что функцию можно представить в виде
Т.к. , отсюда следует, что области определения функции
2)Определим тип функции, т.е. четная,нечетная или общего вида функция.
3) ,следовательно x=1 и x=2 является точкой разрыва II рода, что в свою очередь
Даёт нам две вертикальные ассимптоты.
4)С ox: y=0
C oy: x=0
Пользуясь методом интервалов (известным из школьной программы), определим знак функции на интервалах между корнями и точками разрыва. Таких интервалов получается пять:
На этом рисунке знаком + отмечены те интервалы, на которых функция положительна, и знаком - те, где она отрицательна.
5) Найдём производную:
Решением квадратного неравенства служит интервал
6) Найдём вторую производную:
7)Построение графика.
Вектор и его свойства.
Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х ={X1,X2,...Xn} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X1,X2,X3). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. | AB |=| a | - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.
1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А || В. б) l>0, то А В, l<0, то А ¯ В. в)l>1, то А < В,)l<1, то А > В
. 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а /n= a *(1/n).
3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора.
4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.
Действия над векторами.
а =х1 i +y1 j +z1 k; b =х2 i +y2 j +z2 k
l* a =l(х1 i +y1 j +z1 k)= l(х1) i +l (y1) j +l(z1) k
a ± b =(x1±x2) i +(y1±y2) j +(z1±z2) k
ab =x1x2 ii +y1x2 ij +x2z1 ki +x1y2 ij +y1y2 jj + z1y2 kj +x1z1 ik +y1z2 jk +z1z2 kk =x1x2+y1y2+z1z2
ii =1; ij =0; и т.д.
скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
аа =x2+y2+z2=| a |2 a {x,y,z}, aa =| a |*| a |, то a 2=| a| 2
ab =|a|*|b|*cosj
а) ав =0,<=> а ^ в, x1x2+y1y2+z1z2=0
б) а || в - коллинеарны, если, x1/x2=y1/y2=z1/z2
Разложение векторов по базисным векторам.
Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.
Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.
Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.
ОС = OA + OB, OA =x* i, OB =j*y, OC =x i +y j. Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!