История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-12-12 | 338 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
«Числовая линия»
Задания для учителей математики 5 - 9 классов:
Задание 1. Решите задачу: «Разность двух натуральных чисел равна 7, а их произведение – точный квадрат. Найти все пары таких чисел» несколькими способами.
Задание 2. Найдите ошибки в решении следующей задачи: «Найти все такие пары взаимно простых натуральных чисел a и b, что если к десятичной записи числа a приписать справа через запятую десятичную запись числа b, то получится десятичная запись числа, равного b/ a», если таковые имеются. Укажите верное решение данной задачи.
Решение:
Пусть десятичная запись числа состоит из n цифр. Тогда число, получающееся в результате приписывания к после запятой десятичной записи числа равно . По условию . Преобразуем это уравнение следующим образом:
(*)
Предположим, что числа и не взаимно просты. Тогда найдется простое число , которое является делителем этих чисел. Поскольку произведение делится на , каждый из множителей и делится на , но тогда они не могут быть взаимно простыми, так как это противоречит условию задачи. Итак, числа и взаимно простые (**).
Из условий (*) и (**) следует, что . Но тогда . Возможны случаи:
1) . Тогда уравнение принимает вид и не иметт натуральных решений.
2) . Для этой пары равенство принимает вид и выполняется только при . Покажем это. Поделим обе части уравнения на , получим . Предлагается самостоятельно построить обе функции (стоящую слева и стоящую справа в полученном равенстве) и привести данный чертеж в верном решении текущей задачи. Поскольку функция, стоящая в левой части последнего уравнения, является возрастающей, а в правой – убывающей, заключаем, что решение единственное. Итак, .
|
Задание 3. Решите задачу: «Докажите, что если шестизначное число делится на 7, или на 11, или на 13 или на 37, то и число, полученное из него после перестановки первой цифры в конец, делится на то же самое число» и составьте вопросы для учащихся на этапе анализа условия или на этапе поиска решения.
Задание 4. Решите задачу: «Выясните, верно ли, что если целое число не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, то разность делится на 240». Составьте и решите обратную к ней.
Задание 5. Решите задачу: «Найти все пары натуральных чисел a и b, удовлетворяющих равенству ». Составьте новые задачи из данной путем варьирования каждого из ее условий, решите их.
Задания для учителей математики 10 - 11 классов:
Задание 1. Решите задачу: «Найти все натуральные числа, являющиеся степенью двойки, такие, что после зачёркивания первой цифры их десятичной записи снова получается десятичная запись числа, являющегося степенью двойки» несколькими способами.
Задание 2. Найдите ошибки в решении следующей задачи: «На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник с вершинами в узлах сетки, со сторонами и , причём числа и взаимно простые и . Диагональ этого прямоугольника не пересекает ровно 2020 клеток этого прямоугольника. Найти и и », если таковые имеются. Укажите верное решение данной задачи.
Решение:
По условию задачи числа и взаимно простые; отсюда заключаем, что диагональ прямоугольника не проходит через узлы сетки. Действительно, предположим, что это не так, и диагональ проходит через некоторый внутренний узел. Введём декартову систему координат, началом которой служит левая нижняя вершина прямоугольника, а оси координат проходят через стороны прямоугольника. Координаты правой верхней вершины прямоугольника будут , а координаты внутреннего узла, через который прошла диагональ, обозначим . Из подобия треугольников получим: , то есть . Отсюда делится на . Поскольку и взаимно просты, то должно делиться на , что невозможно ввиду . Указанное противоречие доказывает, что предположение о прохождении диагонали через внутренний узел прямоугольника ложно.
|
Легко подсчитать, что число клеток, пересекаемых диагональю, равно
.
Тогда число клеток, не пересекаемых диагональю, составляет
.
Возможны следующие варианты представления числа 2020 в виде произведения натуральных чисел:
1) 1‧2020, тогда , ;
2) 2‧1010, тогда , – не являются взаимно простыми;
3) 4‧505, тогда , ;
4) 5‧404, тогда , – не являются взаимно простыми;
5) 10‧202, тогда , ;
6) 20‧101, тогда , – не являются взаимно простыми.
Ответ:
3.35
Задание 3. Решите задачу: «Произведение нескольких различных простых чисел делится на каждое из этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может равняться это произведение?» и составьте вопросы для учащихся на этапе анализа условия или на этапе поиска решения.
Задание 4. Решите задачу: «Верно ли, что если у квадрата натурального числа последняя цифра нечетна, то его последняя цифра четна». Составьте и решите обратную к ней.
Задание 5. Решите задачу: «Докажите, что квадрат трехзначного числа оканчивается на тогда и только тогда, когда равно 625 или 376». Составьте новые задачи из данной путем варьирования каждого из ее условий, решите их.
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!