Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-12-12 | 382 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Находим определитель исходной матрицы. Если, то матрица - вырожденная и обратной матрицы не существует. Если , то матрица невырожденная и обратная матрица существует.
2. Находим матрицу, транспонированную к.
3. Находим алгебраические дополнения элементов и составляем из них присоединенную матрицу .
4. Составляем обратную матрицу по формуле .
5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения: .
Пример. Найти матрицу, обратную данной: .
Р е ш е н и е.
1) Определитель матрицы
.
2) Находим алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них присоединенную матрицу :
.
3) Вычисляем обратную матрицу:
,
4) Проверяем:
.
4. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
Решение системы линейных уравнений с неизвестными
Системы линейных уравнений находят широкое применение в экономике.
Система линейных уравнений с переменными имеет вид:
,
где () - произвольные числа, называемые коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений, соответственно.
Краткая запись: ().
Определение. Решением системы называется такая совокупность значений , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
1) Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
2) Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
|
3) Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений (например, одно решение).
Запишем систему в матричной форме:
Обозначим:, где
А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец переменных, В – матрица-столбец свободных членов.
Т.к. число столбцов матрицы равно числу строк матрицы, то их произведение:
Есть матрица-столбец. Элементами полученной матрицы являются левые части начальной системы. На основании определения равенства матриц начальную систему можно записать в виде:.
Теорема Крамера. Пусть - определитель матрицы системы, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
, - формула Крамера.
Пример. Решить систему уравнений по формулам Крамера
Р е ш е н и е. Определитель матрицы системы . Следовательно, система имеет единственное решение. Вычислим , полученные из заменой соответственно первого, второго, третьего столбцов столбцом свободных членов:
По формулам Крамера:
.
5. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.
Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных.
Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей их коэффициентов , получаемой приписыванием к матрице столбца свободных членов :
.
Следует отметить, что методом Гаусса можно решить любую систему уравнений вида .
Пример. Методом Гаусса решить систему:
Выпишем расширенную матрицу системы.
|
Шаг 1. Поменяем местами первую и вторую строки, чтобы стал равным 1.
Шаг 2. Умножим элементы первой строки на (–2) и (–1) и прибавим их к элементам второй и третьей строк, чтобы под элементом в первом столбце образовались нули.
Шаг 3. Умножим элементы третьей строки на (–0,5).
Шаг 4. Поменяем местами вторую и третью строки.
Шаг 5. Поменяем местами второй и третий столбец. (Шаги 3, 4, 5 приведены с тем, чтобы ).
Шаг 6. Элементы второй строки умножим на 3 и прибавим их к элементам третьей строки, тогда под элементом появится нуль.
(называется расширенная матрица системы) .
Расширенная матрица приведена к треугольному виду. Соответствующая ей система имеет вид:
Из последнего уравнения ; из второго ; из первого .
Таким образом, , , .
6. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А –1 В).
Для получения решения системы при в общем виде предположим, что квадратная матрица системы невырожденная, т.е. ее определитель . В этом случае существует обратная матрица .
Метод обратной матрицы.
Запишем систему в матричной форме:
, где
- матрица коэффициентов при переменных,
- матрица-столбец переменных; - матрица столбец свободных членов.
Умножим слева обе части равенства на матрицу :
;
;
;
.
Таким образом, решение системы в матричном виде .
Пример. Решить систему уравнений методом обратной матрицы.
Р е ш е н и е: Обозначим ; ; .
Тогда в матричной форме система имеет вид: . Определитель матрицы , т.е. обратная матрица существует: .
Определим ,
Существенным недостатком решения систем линейных уравнений с переменными по формулам Крамера и методом обратной матрицы является их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождения обратной матрицы.
7. Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных уравнений с п переменными (без вывода).
Теорема Крамера. Пусть - определитель матрицы системы, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
, ().
В соответствии с обратной матрицей, где - матрица, присоединенная к матрице. Т.к. элементы матрицы есть алгебраические дополнения элементов матрицы, транспонированной к, то запишем равенство в развернутой форме:
|
.
Учитывая, что, получим после умножения матриц:
, откуда следует, что для любого.
На основании свойства 9 определителей, где - определитель матрицы, полученной из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Следовательно .
Решение системы линейных уравнений с неизвестными
Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными.
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы: .
Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:
Теорема 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. , то система имеет единственное решение.
Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. , то система является неопределенной и имеет бесконечное множество решений.
Определение. Базисным минором матрицы называется любой ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.
Определение. Те неизвестных, коэффициенты при которых входят в запись базисного минора, называются базисными (или основными), остальные неизвестных называются свободными (или неосновными).
Решить систему уравнений в случае - это значит выразить базисные переменные через свободные. При этом имеем общее решение системы уравнений. Если все свободные переменные равны нулю, то решение системы называется базисным.
Пример. Решить систему методом Гаусса:
Р е ш е н и е. Выпишем и преобразуем расширенную матрицу системы. Сначала прибавим к элементам третьей строки элементы первой строки, умноженные на –1. А затем элементы второй строки умножим на –1 и прибавим к элементам третьей строки:
.
Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду.
. Так как ранг матрицы равен 2, а количество неизвестных равно 4, то система имеет бесконечное множество решений. В качестве базисных неизвестных возьмем и (т.к. определитель, составленный из их коэффициентов не равен нулю ), тогда и - свободные неизвестные.
Выразим базисные переменные через свободные.
Из второй строки полученной матрицы выразим переменную :
|
, .
Из первой строки выразим : ,
.
Общее решение системы уравнений: , .
8. Понятие функции, способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры.
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!