Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-12-12 | 541 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Числовые последовательности могут обладать свойствами, которые мы обсуждали при изучении обычных функций.
Определение. Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого n > 1 верно неравенство an > an – 1.
Аналогично дается определение убывающей числовой последовательности.
Вместе возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.
Последовательность a1, a2, … можно изобразить «графиком», который будет состоять из отдельных точек координатной плоскости.
Так же, как и для обычных функций, по графику можно судить о различных свойствах последовательностей. Возрастающие и убывающие последовательности изображаются точками, лежащими на графиках монотонных функций.
Определение. Последовательность a1, a2, a3, … называется ограниченной, если для ее такое число С, что неравенство |an| C выполняется для всех номеров n.
Если последовательность является возрастающей, то для ее ограниченности достаточно найти число С такое, что an C при всех n. Наоборот, для ограниченности убывающей последовательности достаточно проверить неравенство вида an C, которое должно выполняться для всех n. Вообще, если для всех членов последовательности выполняется неравенство an C (an C), то говорят, что она ограничена сверху (снизу). Если мы говорим об ограниченной последовательности, то ясно, что она ограничена как сверху, так и снизу.
Так же, как над произвольными функциями (заданными на одном и том же множестве), над последовательностями можно производить арифметические операции: сложение (вычитание) и умножение (деление).
Суммой двух последовательностей a1, a2, a3, … и b1, b2, b3, … называется последовательность c1, c2, c3, …, образованная суммами соответствующих членов: c1 = a1 + b1, c2 = a2 + b2, c3 = a3 + b3, ….
|
Аналогично перемножаются две последовательности: d1 = a1 b1, d2 = a2 b2, d3 = a3 b3, ….
Если последовательность b1, b2, … постоянна, т. е. если bn = b для любого n, то произведение последовательностей a1, a2, … и b1, b2, … выглядит так: ba1, ba2, … и называется произведением постоянного числа b на последовательность a1, a2, ….
Примеры
1. 1, 4, 9, 16, …, an = n2.
Эта последовательность является возрастающей (аналогично тому, что функция y = x2 возрастает при x 0). Она не является ограниченной, так как n2 может стать сколь угодно большим.
2. 1,
Эта последовательность является убывающей: 1 > что аналогично убыванию функции для x > 0.
Последовательность является ограниченной: |an| 1. Разумеется, так как эта последовательность убывает, то каждый ее член меньше первого: an a1 = 1. Важно то, что она ограничена снизу: an > 0.
3. an – n-ое десятичное приближение с недостатком к числу Эта последовательность возрастает и ограничена:
an <
С каждой последовательностью a1, a2, a3, … можно связать две новых последовательности.
Последовательность сумм
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3 и т. д.
Последовательность сумм можно определить рекуррентно:
s1 = a1; sn = sn – 1 + an.
Последовательность разностей
c1 = a2 – a1,
c2 = a3 – a2,
c3 = a4 – a3 и т. д.
Построим последовательности разностей для нескольких примеров.
1. an: 1, 2, 3, 4, … an = n
cn: 1, 1, 1, … cn = 1
2. an: 1, 3, 5, 7, … an = 2n – 1
cn: 2, 2, 2, … cn = 2
3. an: 1, 2, 22, 23, … an = 2n – 1
cn: 1, 2, 4, … cn = 2n – 1
4. an: 1, 22, 32, 42, … an = n2
cn: 3, 5, 7, … cn = 2n + 1
5. an: 1, 1, 2, 3, 5, 8, … an – числа Фибоначчи
cn: 0, 1, 1, 2, 3, … cn те же числа со сдвинутым номером
6. an: 1, 23, 33, … an = n3
cn: 7, 19, 37, … cn = (n + 1)3 – n3 = 3n2 + 3n + 1
Рассматривая эти примеры, можно заметить несколько закономерностей. Если общий член последовательности записывается многочленом от n, то степень общего члена разностей будет на единицу меньшей. В примерах 1 и 2 член an линейно зависит от n, в примере 4 квадратично, в примере 6 – зависимость кубическая. Соответствующие последовательности разностей постоянны (степень 0), линейны или квадратичны. В последовательности 3 общий член задан показательной функцией. Общий член последовательностей разностей имеет тот же вид.
Аналогичные наблюдения можно сделать и для последовательности чисел Фибоначчи. Оказывается, что имеется общий закон – если последовательность задается как показательная функция от n, то последовательность разностей будет пропорциональна той же показательной функции.
Построение последовательности разностей и ее свойства являются дискретным аналогом вычисления производной. Аналогично суммирование последовательности аналогично другой операции математического анализа – интегрированию.
|
16)Предел последовательности
В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.
Пределом последовательности точек топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Все открытые, в смысле данной топологии, множества, содержащие данную точку, образуют систему окрестностей этой точки. В метрическом пространстве систему окрестностей образуют, например, все открытые шары с центром в данной точке. Поэтому свойство сходимости последовательности элементов метрического пространства к данной точке формулируется как способность «удерживать» на заданном расстоянии все точки последовательности, начиная с некоторого номера.
Сходящиеся последовательности обладают следующим свойством: каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности не может быть двух различных пределов.[1] Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство компактно или, точнее, секвенциально компактно.
|
Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке. Таким образом, у последовательности может быть несколько предельных точек, но, если последовательность сходится, то все предельные точки совпадают друг с другом и совпадают с пределом самой последовательности.
Предел числовой последовательности является основным объектом рассмотрения в математическом анализе. В общей топологии рассматриваются наиболее общие свойства сходимости, а, также, вводятся и изучаются обобщения.
Определение
Пусть дано топологическое пространство T и последовательность Тогда, если существует элемент такой, что
,
где U (x) — открытое множество, содержащее x, то он называется пределом последовательности xn. Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент такой, что
,
где d (x, y) — метрика, то x называется пределом xn.
17)Предел ф-ии. Св-ва пределов
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально, под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.
|
Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).
В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.
Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а, также, описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».
Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.
Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению в данной функции, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).
Определение
Функция имеет предел в точке , предельной для области определения функции , если для каждой окрестности предела существует проколотая окрестность точки , образ которой при отображении является подмножеством заданной окрестности точки .
18)Замечательные пределы
Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:
Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.
Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).
Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.
|
Очевидно, что:
(1)
(где SsectOKA — площадь сектора OKA)
(из : | LA | = tg x)
Подставляя в (1), получим:
Так как при :
Умножаем на sin x:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
Доказательство следствий [показать]
[править] Второй замечательный предел
или
Доказательство второго замечательного предела:
Доказательство для натуральных значений x [показать]
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.
Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда
.
Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Следствия
19)Понятие производной. таблица производной
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.
Определение
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U (x 0) можно представить в виде
f (x 0 + h) = f (x 0) + Ah + o (h)
если существует.
[править] Определение производной функции через предел
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x 0 называется предел, если он существует,
[править] Общепринятые обозначения производной функции y = f (x) в точке x 0
Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).
[править] Дифференцируемость
Основная статья: Дифференцируемая функция
Производная функции f в точке x 0, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x 0 тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:
Для дифференцируемой в x 0 функции f в окрестности U (x 0) справедливо представление
при
20)Правило дифференцирования
Правила дифференцирования
При дифференцировании константу можно выносить за производную:
Правило дифференцирования суммы функций:
Правило дифференцирования разности функций:
Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):
Правило дифференцирования частного функций:
Правило дифференцирования функции в степени другой функции:
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!