Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-12-12 | 698 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Числовая последовательность { a n } называется ограниченной сверху, если все ее члены меньше некоторого числа А:
a n < А (п = 1, 2, 3,...).
Примером такой последовательности может служить последовательность
1/2, 2/3, 3/4,..., n / n +1,...,
все члены которой меньше 1:
a n < 1.
Здесь в роли А выступает число 1. Вместо него можно было бы выбрать 2, 3, 5/2 и т. д., поскольку любое число рассматриваемой последовательности меньше каждого из этих чисел. Важно не то, какое число выбрано в качестве А, а то, что хотя бы одно такое число существует.
Важным примером последовательности, ограниченной сверху, служит последовательность
p 4, p 8, p 16, p 32,... (1)
периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., вписанных в одну и ту же окружность. Для доказательства ограниченности этой последовательности мы поступим следующим образом. Наряду с данной последовательностью рассмотрим последовательность
Р4, Р8, Р16, Р32,... (2)
периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., описанных около той же самой окружности. Очевидно, что сторона АВ правильного 2 n -угольника, вписанного в окружность, меньше стороны А'В' правильного 2 n -угольника, описанного около этой окружности (рис. 200).
Поэтому
p 2 n < Р2 n (3)
Как было отмечено в предыдущем параграфе, последовательность (2) является монотонно убывающей. Поэтому каждый член этой последовательности, начиная со второго, меньше первого члена Р4. Следовательно, для любого п > 2
P2 n < Р4 (4)
Из (3) и (4) вытекает, что
p 2 n < Р4
Но Р4 = 8 r, где r — радиус окружности. Итак, для всех п >2
p 2 n < 8 r.
Это неравенство и говорит о том, что последовательность (1) ограничена сверху. Роль А в данном случае играет число 8 r.
Если члены ограниченной сверху числовой последовательности изобразить точками числовой прямой, эти все точки расположатся левее точки с абсциссой А (рис. 201).
|
Числовая последовательность { a n } называется ограниченной снизу, если все ее члены больше некоторого числа В:
a n > В (п = 1, 2, 3,...).
Примером такой последовательности может служить натуральный ряд чисел
1, 2, 3, 4, 5.....
Он ограничен снизу, так как все его члены больше нуля (В = 0). В качестве В можно было бы указать и любое отрицательное число или 1/2, 1/3 и т.д. Как и в случав последовательности, ограниченной сверху, здесь важно не то, какое число выбрать в качестве В, а то, что хотя бы одно такое число существует.
Важным примером последовательности, ограниченной снизу, является последовательность
Р4, Р8, Р16,...
периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., описанных около окружности. В этом легко убедиться с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые мы проводили выше при исследовании последовательности
p 4, p 8, p 16,...
Если члены ограниченной снизу числовой последовательности изобразить точками числовой прямой, то все точки расположатся правее точки с абсциссой В (рис. 202).
Числовая последовательность, ограниченная одновременно и снизу и сверху, называется ограниченной.
Другими словами, числовая последовательность a 1, a 2,..., a n,... называется ограниченной, если существуют числа А и В такие, что при любом п
А < a n < В (п = 1, 2, 3,...).
Очевидно, что все точки числовой оси, соответствующие членам такой числовой последовательности, заключены в отрезке, концы которого имеют абсциссы А и В (рис. 203).
Примеры.
1) sin 1, sin 2, sin 3,..., sin n.....
Для этой последовательности a n = sin п. При любом п
—2 <sin n < 2.
Поэтому данная числовая последовательность ограничена.
2) 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;....
Члены этой последовательности представляют собой десятичные приближения числа √2. Очевидно, что 1 < a n < 2, так что эта последовательность также ограничена.
3) Ограниченными будут, очевидно, и рассмотренные выше последовательности:
|
p 4, p 8, p 16, p 32,...
Р4, Р8, Р16, Р32,...
составленные из периметров правильных 2 n -угольников, вписанных и описанных около некоторой окружности.
22 вопрос
Бесконечно малая величина
Последовательность называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .
Свойства бесконечно малых
23 вопрос
Определение
Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.
В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.
Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.
Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.
Частичный предел последовательности — это предел одной изеёподпоследовательностей.
Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.
Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.
Обозначения
Тот факт, что последовательность сходится к числу обозначается одним из следующих способов:
Свойства
Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.[2]
|
Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.
Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.
Свойства
Арифметические свойства
Свойства сохранения порядка
|
Другие свойства
24 вопрос
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!