История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-12-12 | 217 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Однородная система уравнений
(1)
есть частный случай системы (10.1). Легко видеть, что система (1) всегда имеет нулевое решение , и поэтому она совместна. Нулевое решение является единственным тогда, когда ранг матрицы системы равен количеству неизвестных n. В частности, это справедливо для невырожденной системы n уравнений с n неизвестными. Если ранг матрицы А системы (1) меньше n, то однородная система (1) будетиметь ненулевые решения. Например, однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения в том случае, если она вырождена.
18. Понятие вектора. По аналогии со школьным курсом геометрии дадим геометрическое толкование вектора, как направленного отрезка (п. 1.10) на плоскости или в пространстве.
Связанным вектором с началом в точке А и концом в точке В называют направленный отрезок АВ, в котором точка А является началом, а точка В – концом. Начало вектора называют еще точкой его приложения.
Векторы также обозначают одной буквой с чертой над ней, например, . Направление вектора на рисунке указывают стрелкой (рис. 1).
Рис. 1 |
Длина отрезка АВ называется также длиной вектора . Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается или просто 0.
Векторы и называются коллинеарными (параллельными), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, при этом пишут .
Векторы и называются одинаково направленными, если полупрямые и одинаково направлены, и противоположно направленными, если эти полупрямые противоположно направлены.
|
Отметим, что коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково (сонаправлены, см. рис. 2б)) или противоположно направлены (см. рис. 2а)).
Векторы и называются равными (), если выполнены два условия:
а) ;
б) и одинаково направлены.
Рис. 2а) Рис. 2б) |
Из определения равенства векторов следует, что каков бы ни был вектор и точка О, всегда можно построить единственный вектор с началом в точке О, равный вектору , или, как говорят, отнести начало вектора к точке О
(см. рис. 3). Такие векторы в аналитической геометрии называют свободными: их можно отнести к общему началу. Проекция вектора на ось. Пусть в пространстве заданы ось и некоторый вектор . Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные данной оси и обозначим через и точки пересечения этих плоскостей с осью (рис.4). В общем случае векторырасположены на скрещивающихся прямых. Для наглядности изображений далее, как правило, будут рассматриваться рисунки на плоскости.
Рис. 4 Рис. 5а) Рис. 5б)
Проекцией вектора на ось называется величина на оси , которая обозначается .
Согласно пункту 1.10, имеем: , если направление совпадает с направлением оси ; , если направление противоположно направлению оси .
Покажем, что имеет место равенство
, (1)
где – угол между вектором и положительным направлением оси .
19. Координаты вектора. Пусть в пространстве задана декартова система координат и произвольный вектор . Обозначим: и назовем эти числа (проекции вектора на оси координат) координатами вектора . Будем писать (символ для краткости, как правило, далее опускаем).
Докажем, что для любых точек и координаты вектора определяются формулами:
. (2)
Длина вектора. Рассмотрим произвольный вектор считая, что его начало совпадает с началом координат . Пусть вектор не лежит ни в одной координатной плоскости.
|
Рис. 7 |
Известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, т.е.
.
Но
Тогда имеем или
. (3)
Формула (3) выражает длину вектора через его координаты и справедлива и в том случае, если вектор будет лежать в какой-либо координатной плоскости (тогда в (3) одна из координат будет равна нулю).
Пример 1. Даны две точки и Найти расстояние между ними.
Решение. Определим расстояние между точками А и В, как длину вектора
. □ (4)
Направляющие косинусы вектора. Обозначим через углы между вектором и осями координат (рис.7). Из формул (1) и (3) получаем:
(5)
Числа называются направляющими косинусамивектора .
Возводя в квадрат каждое из равенств (5) и складывая полученные результаты, получим
(6)
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
20.Линейными операциями над векторами называют операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Пусть даны два вектора и . Суммой называется вектор, который имеет началом начало вектора и концом – конец вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (или диагональ параллелограмма, построенного на векторах и ).
Отсюда следует, что сумму неколлинеарных векторов и можно найти по правилу треугольника (рис. 8а)) или параллелограмма (рис. 8б)).
Рис. 8а) Рис. 8б)
По определению суммы двух векторов можно найти сумму любого числа заданных векторов. В частности, пусть заданы три вектора и . Сложив и , получим вектор Прибавив к нему вектор , получим вектор
Разностью векторов и называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор .
Пусть даны вектор и число Произведением называют вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную , и направление такое же, как и вектор , если , и противоположное, если (рис. 9). Если среди сомножителей есть 0, то под произведением понимается нулевой вектор.
Рис. 9 |
|
Утверждение 1. Если векторы и коллинеарны и , то существует единственное число , что .
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!