Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-12-12 | 241 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Геометрический смысл определённого интеграла
Из истории математики известно, что одной из первых задач, приведшей к понятию определенного интеграла, является задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Определение:
Простейшей криволинейной трапецией будем называть фигуру, ограниченную
сверху – кривой y=f (x)
снизу – осью абсцисс y=0
слева – прямой x=a
справа – прямой x=b (см. рис. 1)
Рис. 1
1. Весь отрезок [ a, b ] разобьем на п частичных промежутков [ xi, хi+1 ] длиной ∆xi = xi – хi-1 , (i=1, 2, …, n), х0 = a, xп = b.
2. В каждом частичном промежутке произвольно выберем точку
3. Составим интегральную сумму
Очевидно, геометрически эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников (см. ниже рис. 2)
Рис. 2
4. Перейдем к пределу при п → ∞ при условии, что
(3)
При достаточно общих предположениях площадь ступенчатой фигуры стремится к площади криволинейной трапеции
Определение
Если существует конечный предел (3), то он называется определённым интегралом от функции f (х) по промежутку [ a, b ] и обозначается
Числа а и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, а функция f (x) – интегрируемой.
Отметим, что построенный по схеме 1) – 4) интеграл называется интегралом Римана. Однако, при менее жестких ограничениях на подинтегральную функцию такой интеграл может не существовать. Тем не менее, потребности прежде всего современной физики привели к созданию интеграла Лебега, обслуживающего более широкий класс функций. В математике используются и другие конструкции интеграла
Механический смысл определённого интеграла
Если известна скорость v (t) некоторого объекта в зависимости от времени t, то с помощью интегрирования можно легко определить пройденный этим объектом путь s (t), а именно,
|
По аналогии, если известно ускорение a (t) некоторого объекта в зависимости от времени t, то с помощью интегрирования можно легко определить скорость движения этого объекта, а именно,
Предположим, что тело движется равноускоренно с ускорением а на временном периоде (0, t), причем в начальный момент времени скорость и путь равны нулю, т.е. a (t)= v ’(t)= a, v (0)= 0, s (0)= 0. Тогда
Итак, справедливы известные из школьного курса физики формулы
Ниже на графике ускорения (рис. 3) скорость тела численно равна площади заштрихованного прямоугольника
Рис. 3
Ниже на графике скорости (рис. 4) путь, пройденный телом за время (0, t), численно равен площади заштрихованного треугольника
Рис. 4
Теорема Ньютона-Лейбница
Пусть функция f (х) определена, непрерывна и интегрируема на отрезке [ a, b ].
Определение
Интегралом с переменным верхним пределом называется интеграл следующего вида:
Здесь х – переменный верхний предел (a<x<b), t – переменная интегрирования (a<t<x). Геометрически интеграл с переменным верхним пределом означает площадь простейшей криволинейной трапеции, ограниченной справа прямой t=x. (см. рис. 5)
Рис. 5
Имеет место утверждение
Производная от интеграла с переменным верхним пределом равна подинтегральной функции
(4)
Доказательство. Рассмотрим приращение функции F (x) в точке х:
По определению имеем
(5)
Из рисунка 5 видно, что правую часть равенства (5) можно интерпретировать так: из трапеции aAD (x+ )вычитается трапеция aACx. Ясно, что после вычитания остается узкая криволинейная трапеция xCD (x+ ) с основанием . Ее площадь выражается интегралом
(6)
Рис. 6
По предположению функция y=f (x) непрерывна на промежутке [ a, b ]. Это позволяет считать, что площадь узкой криволинейной трапеции (на рис. 6 – закрашенная область) приблизительно равна площади прямоугольника с таким же основанием и высотой f (с), где . (см. рис. 7)
|
Рис. 6
Таким образом, равенство (6) можно заменить приближенным равенством
или
Переходя к пределу при , получаем
что и требовалось доказать
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f (х) определена, непрерывна и интегрируема на отрезке [ a, b ]. Тогда определённый интеграл находится по формуле:
Действительно,
{согласно теореме Лагранжа о дифференцируемой функции}
=
В определённом интеграле
Рассмотрим два простейших приема определенного интегрирования. Пусть функция f (x) имеет первообразную F (x). Покажем, что интеграл с переменным верхним пределом также является первообразной функцией относительно f (x).
Вычислим производную от интеграла с переменным верхним пределом:
{воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница}
=
Далее - первообразная f (x)
Верно ли тождество
?
Да, верно. В самом деле, переобозначение переменной интегрирования — это не замена переменной интегрирования.
Не всякий определённый интеграл с переменным верхним пределом может быть выражен в виде комбинации элементарных функций. В качестве примера таких интегралов, которые получили название специальных функций, приведём
— интегральный синус
— интеграл вероятностей
Теорема о среднем
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ]. Тогда найдется такая точка ξ (a, b), что выполняется равенство
, где ξ (a, b)
Для обоснования этого равенства будем исходить из формулы Ньютона-Лейбница
{по теореме Лагранжа} =
=
Каков геометрический смысл теоремы о среднем?
Всегда можно подобрать такую высоту прямоугольника, чтобы его площадь равнялась площади криволинейной трапеции с тем же основанием.
Оценка интеграла
m (b – a) < < М (b – a), где
Это двойное неравенство является очевидным следствием теоремы о среднем
Пусть f [ u (x)] непрерывна, а функция u (х) дифференцируема на [ а, b ], причём u (а) = с, u (b) = d. Тогда
Заметим, что пределы интегрирования изменяются. Итак, формула замены переменной в определенном интеграле такова:
Пример 1. Вычислить .
Решение.
Выполним перенос производной под знаком интеграла , если функции u (х) и v (x) дифференцируемы на отрезке [ a, b ]. Для этого используем формулу дифференцирования произведения функций
|
или
Теперь проинтегрируем это равенство
= 1 < |
и окончательно получим:
Итак, формула интегрирования по частям в сокращенной записи такова:
Пример 2. Вычислить интеграл .
Решение.
Решение.
Найдем объём тела вращения, если он ограничен плоскостями х = а, х = b и поверхностью, образованной вращением кривой у = f (x).
В качестве элемента интегральной суммы примем объём диска:
Переходя к пределу при , получаем следующую формулу вычисления объема тела вращения:
Пример 2. Найти объем шара радиуса R.
Решение. Вращением какой кривой описывается шар? Ответ: Вращением полуокружности. Уравнение верхней центральной полуокружности радиуса R: Отсюда получаем
Несобственные интегралы
До сих пор мы занимались вычислением интегралов на ограниченном промежутке от ограниченной функции. В некоторых случаях эти ограничения на область и на функцию можно снять.Однако, прежде чем вычислять, такие интегралы необходимо сначала исследовать на сходимость.
Интеграл называется несобственным интегралом 1 рода, если его область интегрирования неограниченна, т.е. один из пределов или оба сразу принимают бесконечные значения
Интеграл называется несобственным интегралом 2 рода, если его подынтегральная функция неограниченна, т.е. минимум или (и) максимум функции в некоторой точке промежутка интегрирования принимают бесконечные значения
Говорят, что несобственный интеграл сходится, если существует предел этого интеграла в точке разрыва подынтегральной функции или в бесконечно удалённой точке. В противном случае говорят, что несобственный интеграл расходится
Решение.
.
Ответ: Заданный интеграл расходится
Формула прямоугольников
Формула трапеций
Геометрический смысл определённого интеграла
Из истории математики известно, что одной из первых задач, приведшей к понятию определенного интеграла, является задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Определение:
Простейшей криволинейной трапецией будем называть фигуру, ограниченную
сверху – кривой y=f (x)
снизу – осью абсцисс y=0
|
слева – прямой x=a
справа – прямой x=b (см. рис. 1)
Рис. 1
1. Весь отрезок [ a, b ] разобьем на п частичных промежутков [ xi, хi+1 ] длиной ∆xi = xi – хi-1 , (i=1, 2, …, n), х0 = a, xп = b.
2. В каждом частичном промежутке произвольно выберем точку
3. Составим интегральную сумму
Очевидно, геометрически эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников (см. ниже рис. 2)
Рис. 2
4. Перейдем к пределу при п → ∞ при условии, что
(3)
При достаточно общих предположениях площадь ступенчатой фигуры стремится к площади криволинейной трапеции
Определение
Если существует конечный предел (3), то он называется определённым интегралом от функции f (х) по промежутку [ a, b ] и обозначается
Числа а и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, а функция f (x) – интегрируемой.
Отметим, что построенный по схеме 1) – 4) интеграл называется интегралом Римана. Однако, при менее жестких ограничениях на подинтегральную функцию такой интеграл может не существовать. Тем не менее, потребности прежде всего современной физики привели к созданию интеграла Лебега, обслуживающего более широкий класс функций. В математике используются и другие конструкции интеграла
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!