Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-12-12 | 302 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Геометрические приложения двойного интеграла
a) с помощью двойного интеграла вычисляют площади плоских фигур: – в декартовых координатах, – в полярных координатах; б) двойной интеграл применяют для вычисления объемов тел. Пусть геометрическое тело ограничено с боков цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси OZ, а сверху и снизу – поверхностями где (x,y) D (D – проекция тела на плоскость OXY) (рис. 6). Тогда объем этого тела вычисляют с помощью двойного интеграла:
13. задачи приводящие к понятию дифференциального уравнения
Задача 1. На плоскости XOY найти кривую, которая в каждой своей точке имеет касательную, образующую с положительным направлением оси Ox угол, тангенс которого равен удвоенной абсциссе точки касания.
Решение. Пусть уравнение искомой кривой y = f (x).
Обозначим через α угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси Ох. Как известно, угловой коэффициент касательной МТ есть tg α, и он равен производной от y по x, так что
tg α = y ' (1.1)
С другой стороны, по условию задачи имеем
tg α = 2x. (1.2)
Приравнивая значения tg α, определяемые формулами (1.1) и (1.2) получим
y ' = 2x. (1.3)
Решением дифференциального уравнения (1.3) является любая первообразная для функции 2x. Например, решением будет
y = x2. (1.4)
Как известно из интегрального исчисления, все первообразные для функции 2x и, следовательно, все решения дифференциального уравнения (1.3) даются формулой
y = x2 + С, (1.5)
где С — произвольная постоянная.
Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, т.е. условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а целое семейство кривых — парабол. Но если в условие задачи добавить точку M0 (x0, y0), через которую проходит искомая кривая, то получим единственную кривую. Для этого достаточно заменить в уравнении (1.5) координаты x и y координатами точки M0
|
y0 = x2 + С. (1.6)
и, найдя из полученного уравнения значение произвольной постоянной С, подставить его в уравнение (1.5). Выполняя указанные выкладки, имеем: С = y0 – , y = x2 – + y0.
Таким образом, искомой кривой будет парабола y = x2 – + y0.
Задача 2. Предположим, что материальная точка P движется по прямой, которую принимаем за ось Ox. Пусть известна скорость движения как функция от времени t; обозначим ее через f (t) и будем предполагать, что она непрерывна при всех рассматриваемых значениях времени t. Требуется найти закон движения точки, т. е. зависимость x от t, х = x(t), если известно, что в некоторый момент времени t0 точка занимает положение x0, так что x(t0) = x0.
Решение. Известно, что скорость движения рассматриваемой точки в момент времени t равна производной от x по t. С другой стороны, эта скорость равна f (t). Поэтому = f (t).
Равенство это есть дифференциальное уравнение движения рассматриваемой точки. Оно задает закон движения в дифференциальной форме. Интегрируя уравнение (1.7), найдем закон движения в конечной форме.
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!