Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-12-11 | 341 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
Физический смысл производной. Итак, мы видим, что по аналогии с мгновенной скоростью, производная функции в точке . показывает скорость изменения функции в этой точке.
Если зависимость расстояния от времени представляет собой функцию , то, чтобы найти скорость тела в момент времени , нужно найти значение производной функции в точке :
Если функции u = u (x) и v = v (x) дифференцируемы в точке х, то
(u · v) ' = u '· v + v ' · u.
Доказательство. По определению производной имеем
Здесь учтена связь между дифференцируемостью и непрерывностью:
.Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):
49. Горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты и их нахождение. Различают вертикальные и наклонные асимптоты (в частности, горизонтальные). Прямаях = аназывается вертикальной асимптотой, если хотя быодин из односторонних пределов
f (а + 0), f (а – 0) равен бесконечности или не существует, то есть в точке х = а функция терпит разрыв второго рода. Асимптотой графика функции называется прямая, к которой неограниченно приближается график функции при или Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов
1.
2.
45. Правило Лопиталя. Правило Лопиталя очень широко применяется для вычисления пределов, когда имеет место неопределенность вида ноль делить на ноль ,бесконечность делить на бесконечность . К этим видам неопределенностей сводятся неопределенности ноль умножить на бесконечность и бесконечность минус бесконечновть . Дифференцирование функции и нахождение производной является неотъемлемой частью правила Лопиталя, так что рекомендуем обращаться к этому разделу. Формулировка правила Лопиталяcледующая: Если , и если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки , то . Пример. Вычислить предел, используя правило Лопиталя Решение. Подставляем значение Пределы с неопределенностью данного типа можно находить по правилу Лопиталя: Ответ: | 46 Производные высших порядков. Пусть y = f (x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f: Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы: В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид |
36. Физический смысл производной функции.
Если положение точки при её движении по числовой прямой задаётся функцией S = f(t), где t – время движения, то производная функции S – мгновенная скорость движения в момент времени t. По аналогии с этой моделью вообще говорят о том, что производная функции у = f(x) – скорость изменения функции в точке х.
Правило дифференцирования произведения функций.
Производная (дифференциал) произведения двух дифференцируемых функций равна
сумме произведений производной (дифференциала) первого сомножителя на второй
и производной (дифференциала) второго сомножителя на первый т.е.
(u·v)/=u/v+v/u
37.Правило дифференцирования частного функций.
Производная (дифференциал) дроби (частного двух дифференцируемых функций)
равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а
числитель представляет собой разность между произведением знаменателя данной
дроби на производную (дифференциал) ее числителя и произведения числителя на
производную (дифференциал) знаменателя.
38.Правило дифференцирования сложной функции.
(дифференцирование сложной функции). Пусть
функция x = f(t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = f(t). Тогда сложная функция y = f(f(t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула (f(f(t)))' = f'(x)f'(t). (3)
Доказательство. Зададим x = f(t) отличное от нуля приращение D t. Этому приращению отвечает приращение D x = f (t+D t)-f (t) функции x = f(t). Приращению D x отвечает приращение D y = f(x+ D x)-f(x). Так как функция y = f(x) дифференцируема, то ее приращение D y представимо в виде (1):
D y =f'(x)D x +a (D x) D x,
гдеlimD x® 0a (D x) = 0. Поделив данное выражение на D t № 0, будем иметь:
D y/D t=f'(x)D x/D t+ a (D x)D x/D t.
Из дифференцируемости функции x = f (t) в точке t вытекает, что
limD t® 0D x/D t = f'(t).
Отметим, что из дифференцируемости функции x = f(t) следует, что D x® 0 при D t® 0. Следовательно, limD t® 0a (D x) =0. Таким образом, получим необходимую формулу (3).
Пример 5. Найтиy', еслиy = 5cosxy' = 5cosx(-sinx)ln 5=-5cosxsinxln 5.
39. Обратная функция.
Пусть задана функция y = f (x), Тогда каждому числу соответствует единственное число Иногда приходится по значению функции y0 находить значение аргумента x0, то есть решать уравнение f (x) = y0 относительно x. Это уравнение может иметь несколько или даже бесконечное количество решений (решениями являются абсциссы всех точек, в которых график y = f (x) пересекается с прямой y = y0).
Если функция f такова, что каждому значению соответствует только одно значение то эту функцию называют обратимой. Для такой функции уравнение y = f (x) можно при любом y однозначно разрешить относительно x, то есть каждому соответствует единственное значение Это соответствие определяет функцию, которую называют обратной к функции f и обозначают символом f–1.
Пусть g = f–1. Тогда:
D (g) = E (f), E (g) = D (f);
для любого g (f (x)) = x,
для любого f (g (x)) = x;
графики функций y = f (x) и y = g (x) симметричны друг другу относительно прямой y = x.
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!