История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-12-11 | 295 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим, какую роль играют определители n –го порядка в решении системы n линейных уравнений с n неизвестными и вычислении обратной матрицы. Предварительно докажем следующие две теоремы.
Теорема 1: Какую бы строку (столбец) определителя n –го порядка мы ни взяли, определитель всегда равен сумме произведений элементов этой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Иными словами, имеет место такое разложение определителя по элементам строки или столбца:
(1) или
(2).
Доказательство: В силу свойства равноправности строк и столбцов можно ограничиться выводом разложения (1). По свойству 6, (§ 3)
по теореме 2 (из предыдущего параграфа). Что и требовалось доказать.
Пример:
Теорема 2: Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) определителя равна нулю.
Иными словами: ,
.
Кроме данного определителя рассмотрим вспомогательный , у которого -я и -я строки одинаковы, а все строки, за исключением -й и -й, совпадают с соответствующими строками определителя .
Он по свойству 3 из § 3 равен 0, с другой стороны, разлагая по элементам - й строки, получим: (3) ,
где - алгебраические дополнения элементов -й строки определителя . При составлении алгебраического дополнения мы вычеркиваем в -ю строку (и -й столбец), т.е. вычеркиваем единственную строку, отличающую от .Следовательно, , где - алгебраическое дополнение элемента -й строки определителя . Таким образом, равенство (3) принимает следующий окончательный вид:
Справедливость теоремы для столбцов очевидна в силу свойства равноправности строк и столбцов.
Обратная матрица
|
Определение 1: Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или неособенной), если ее определитель отличен от нуля.
Произведение матриц, хотя бы одна из которых вырожденная, вновь вырожденная матрица.
Роль единицы в умножении матриц играет единичная матрица , причем она перестановочная с любой матрицей данного порядка, (доказывается это равенство непосредственным применением правила умножения матриц).
Рассмотрим вопрос о существовании для данной матрицы обратной матрицы. Ввиду некоммутативности умножения матриц, мы будем говорить о правой обратной матрице, т.е. о такой матрице , что произведение матрицы справа на эту матрицу дает единичную матрицу
(1).
Если матрица вырожденная, то если бы матрица существовала, произведение, стоящее в правой части равенства (2), было бы, как мы знаем, вырожденной матрицей, в то время как на самом деле матрица , стоящая в правой части этого равенства, является невырожденной, т.к. ее определитель равен единице. Таки образом, вырожденная матрица не может иметь правой обратной матрицы. Такие же соображения показывают, что она не имеет и левой обратной и поэтому для вырожденной матрицы обратная матрица вообще не существует.
Рассмотрим случай с невырожденной матрицей; для этого введем следующие вспомогательные понятия. Пусть дана матрица -го порядка
и .
Матрица составлена из алгебраических дополнений к элементам матрицы , причем алгебраическое дополнение к элементу стоит на пересечении -й строки и -го столбца. Эту матрицу назовем присоединенной матрицей к матрице .
Найдем произведения и . Используя известную теорему о разложении определителя по строке или столбцу, а также теорему о сумме произведений элементов любой строки или столбца на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки или столбца и обозначая через определитель матрицы .
, мы получим:
(2).
Отсюда вытекает, что если матрица невырожденная, то ее присоединенная матрица также будет невырожденной, причем определитель матрицы равен -й степени определителя матрицы . В самом деле, из равенства (2), если перейдем к определителям, то получим: , откуда ввиду .
|
Теперь легко доказать существование обратной матрицы для всякой невырожденной матрицы и найти ее вид. Заметим сначала, что если мы рассмотрим произведение двух матриц и все элементы одного из множителей, например , разделим на одно и то же число , то все элементы произведения также разделятся на это число: для доказательства нужно лишь вспомнить определение умножения матриц. Таким образом, если , то из равенства (2) вытекает, что обратной для матрицы будет служить матрица, получающаяся из присоединенной матрицы делением всех ее элементов на число :
.
Действительно, из (2) вытекают равенства (3).
Можно показать, что определяется однозначно.
Пример: , , .
= = E
Правило Крамера
Рассмотрим систему (4) n линейных уравнений с n неизвестными. Составим определитель из коэффициентов при неизвестных системы (4); его называют определителем системы. Покажем, как при помощи теоремы 1 и теоремы 2 можно решить при систему уравнений
(4) .
Перейдём к матричной записи системы (4): (5), где , , .
Если , то существует обратная матрица . Покажем, что матрица - единственное решение системы (4). Действительно,
,
т.е. - решение уравнения (5), а значит и системы (4).
Если - какое – то решение уравнения (5), то . Тогда .
Следовательно, матрица - единственное решение уравнения (5) и системы (4).
Наряду с определителем рассмотрим определители , где получается из заменой - го столбца столбцом из свободных членов: . Раскладывая определитель , , по - му столбцу, получаем:
. Выясним, как же выглядит матрица . Так как , тогда
.
Тогда . Эти формулы называют формулами Крамера.
Таким образом, мы доказали теорему:
Теорема: Если определитель системы линейных уравнений с неизвестными отличен от 0, то система имеет единственное решение, выражаемое формулами: .
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!