П. 18. 4. Замена переменной в двойном интеграле.

П. 18. 4. Замена переменной в двойном интеграле.

 

Пусть требуется найти интеграл

 

 

Предположим, что фигура А связана взаимно однозначно с фигурой В плоскости u u при помощи формул

 

x = x (u, u), y = y (u, u). (1)

 

Будем предполагать, что у функций x (u, u), y (u, u) существуют непрерывные частные производные по u и u. Тогда формула замены переменных в двойном интеграле запишется в виде

 

, (2)

 

где J (u, u) − абсолютная величина якобиана

 

 

а J (u, u) d u d u − элемент площади криволинейных координат.

Если, в частности, преобразование состоит в переходе к полярным координатам, то формула (2) примет вид

 

. (3)

 

При этом надо помнить, что для правой части формулы (3) числа r и q суть уже не декартовы, а полярные координаты точек фигуры А.

 

Тройной интеграл. Основные понятия.

 

Тройной интеграл является аналогом двойного интеграла и вводится для функции трех переменных.

Определение.

Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz задана непрерывная функция U = f (x, y, z). Разобьем область V на п произвольных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами . В каждой области возьмем произвольную точку M (x_i, y_i, z_i) и составим сумму

, (1)

 

которая называется интегральной суммой для функции f (x, y, z) по области V. Обозначим через d наибольший диаметр частичных областей.

Определение. Если интегральная сумма (1) при d ® 0 имеет предел, то этот предел называется тройным интегралом от функции f (x, y, z) по области V и обозначается символом

 

,

 

где dV = dx dy dz – элемент объема.

В этом случае f (x, y, z) называется интегрируемой в области V; V – областью интегрирования, х, у, z – переменными интегрирования.

Теорема (существования). Если функция U = f (x, y, z) непрерывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной суммы (1) при п ® ¥ и существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части ни о выбора точек M (x_i, y_i, z_i) в них.

 

Свойства тройного интеграла:

 

1) , с = const.

 

2) .

 

3) , где V = V ₁ È V ₂,

 

а пересечение V ₁ и V ₂ состоит из границы, их разделяющей.

4) Если f (x, y, z) ³ 0 Þ .

 

Если f (x, y, z) ³ φ (x, y, z) Þ .

 

5) , где V – объем тела.

 

6) , где т, М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f в области V.

 

7) Теорема (о среднем значении). Если функция f (x, y, z) непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка (x ₀, y ₀, z ₀), что

 

,

 

где V – объем тела.

 

П. 19.2. Замена переменных в тройном интеграле.

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и

Сферических координатах.

 

Пусть требуется найти интеграл

 

 

Предположим, что тело А, находящееся в пространстве xyz, связано взаимно однозначно с телом В, находящимся в пространстве u uv, при помощи формул

 

x = x (u, u, v), y = y (u, u, v), z = z (u, u, v). (1)

 

Будем предполагать, что у функций x (u, u, v), y (u, u, v), z (u, u, v) существуют непрерывные частные производные по u, u, v. Тогда формула замены переменных в тройном интеграле запишется в виде

 

, (2)

 

где u, u, v − криволинейные координаты точки (x, y, z), J (u, u, v) − абсолютная величина якобиана

 

 

На практике часто встречаются два вида координат (x, y, z).

I. Цилиндрические координаты. Цилиндрическими координатами точки (x, y, z) называются числа r, j, z, где r и j − полярные координаты точки (x, y).

Ясно, что здесь

x = r cos j, y = r sin j, z = z

 

и потому якобиан этого преобразования

 

 

Стало быть, при переходе к цилиндрическим координатам общая формула (2) примет вид

 

. (3)

 

II. Сферические координаты. Сферическими координатам точки М (x, y, z) называются числа r, q, j, где q − угол между осью Оz и радиусом-вектором точки М, r − длина этого радиус-вектора, т. е. расстояние между началом координат О и точкой М, а j − двугранный угол между полуплоскостью с ребром Oz, содержащей положительную часть оси Ох, и точку М. Из рисунка видно, что

 

OP = r sin q.

 

Так как х и у − проекции на оси Ох и Оу, а z − проекция на ось Oz, то

 

. (4)

 

Полезно отметить также очевидное соотношение r ² = x ² + y ² + z ².

Соответствие, даваемое формулами (4), не взаимно однозначно. Чтобы получить все пространство xyz, достаточно изменять точку (r, q, j) в области, определяемой неравенствами

 

0 ≤ r < + ¥, 0 ≤ q ≤ p, 0 ≤ j ≤ 2p,

 

но и при этом ограничении мы добиваемся взаимной однозначности, так как плоскости r = 0 пространства r qj в пространстве xyz отвечает одна точка (0, 0, 0), а точками (r, 0, 0) и (r, q,2p) отвечает одна и та же точка (r sinq, 0, r cosq). Связанные с этими нарушениями взаимной однозначности осложнения не мешают, однако, применимости к нашему случаю общей формулы (2). Мы примем это без доказательства.

Якобиан в этом случае будет равен

 

 

Тогда формула (2) примет вид

 

.(5)

 

Этой формулой удобно пользоваться тогда, когда f (x, y, z) имеет форму f (x ² + y ² + z ²), а также когда областью А служит шар x ² + y ² + z ² ≤ R ² или какая-нибудь простая часть такого шара и т. п.

Пример. Найти

 

,

 

если А − шар x ² + y ² + z ² ≤ 1.

По формуле (5)

.

 

Переходя к повторному интегралу, получаем

 

.

 

Опуская простые пояснения, находим

 

 

Криволинейные интегралы.

 

Определение. 1. Пусть в декартовых координатах x, y, z в каждой точке M (x, y, z) кривой L задан вектор F, т. е. задана векторная функция F (M) точек M Î L, и определен единичный вектор (М) касательной к этой кривой.

Разобьем кривую L на п частей; Δℓ _i − длины отрезков разбиения (i = 1, 2, ¼, п). Внутри каждого отрезка разбиения произвольно возьмем точку М_i и вычислим в ней вектор F (M_i) и орт касательной (М_i). Вычислим скалярное произведение F (M_i) ∙ (М_i) и составим сумму

 

(1)

 

которую назовем интегральной суммой векторной функции F (M) на кривой L.

Пусть l − длина наибольшего из элементов Δℓ _i.

Если существует предел интегральной суммы (1) при n ® ¥ и l ® 0, то этот предел называется криволинейным интегралом и обозначается

 

.

Таким образом,

. (2)

 

Определение 2. Так как скалярное произведение F (M) e (M) = f (M) − скалярная функция точек М кривой L, то равенство (2) может быть преобразовано в равенство

 

, (3)

 

левая часть которого называется криволинейным интегралом I − рода (или криволинейным интегралом по длине дуги кривой).

Определение 3. В декартовом базисе i, j, k, ассоциированном с принятой здесь системой декартовых координат, векторная функция F (M) и орт касательной e (M) задаются в виде

 

 

где P (M), Q (M), R (M) − скалярные функции точке М кривой L; a, b, g − углы, образуемые касательной к L в точках M Î L с осями координат x, y, z соответственно. Скалярное произведение этих векторов

 

F (M)∙ e (M) = P (M)∙cos a + Q (M)∙cos b + R (M)∙cos g. (4)

 

Пусть Δ x, Δ y, Δ z − проекции отрезка Δℓ на координатные оси. Тогда

Δ x = Δℓ∙cos a, Δ y = Δℓ∙cos b, Δ z = Δℓ∙cos g. (5)

 

Равенства (4), (5) позволяют записать

 

F (M)∙ e (M)∙Δℓ = P (M)∙Δ х + Q (M)∙Δ у + R (M)∙Δ z. (6)

 

С учетом этого равенство (2) преобразуется к виду

 

. (7)

 

Левая часть этого равенства называется криволинейным интегралом второго рода (или криволинейным интегралом по координатам).

Обратим внимание, что все три типа криволинейных интегралов (2), (3), (7) связаны друг с другом.

 

П. 20.4. Формула Грина.

 

Определение. Замкнутая область называется простой, если ее граница пересекается с прямыми, параллельными декартовым осям координат, не более чем в двух точках.

 

 

Рис. 1 Рис. 2

 

Теорема 1. Если G − простая область, ограниченная контуром L, и P (x, y), Q (x, y) − непрерывные с непрерывными частными производными функции в G, включая точки М Î L, то справедливо равенство

 

. (1)

 

называемое формулой Грина.

Определение. Плоская область G называется односвязной, если любой замкнутый контур L, целиком лежащий в G, ограничивает область, целиком принадлежащую области G.

Образно говоря, в односвязной области нет «дыр».

Теорема 2. Площадь А односвязной области G (рис. 1), ограниченной замкнутым контуром L, в декартовых координатах х и у определяется формулой

(2)

 

От пути интегрирования.

 

Теорема 1. Если для любой замкнутой кривой L, целиком лежащей в односвязной области G, выполняется равенство

 

, (1)

 

то для любых точек А, В Î G интеграл

 

(2)

 

не зависит от формы пути интегрирования, а зависит только от расположения точек начала А и конца В пути интегрирования.

Теорема 2. Если во всех точках односвязной области G непрерывные и дифференцируемые функции P (x, y), Q (x, y) связанные равенством

 

, (3)

 

то интеграл (2) не зависит в G от пути интегрирования, а зависит от точек начала и конца пути интегрирования.

Теорема 3. Если в односвязной области G определена непрерывная и дважды дифференцируемая функция U (x, y) такая, что во всех точках G выполняются равенства

 

, (4)

 

т. е. подынтегральная функция в (2) является полным дифференциалом функции U (x, y):

P d x + Q d y = d U,

 

то интеграл (2) не зависит от пути интегрирования, а зависит от точек начала и конца пути интегрирования.

Теорема 4. Если интеграл (2) в односвязной области G не зависит от пути интегрирования и А (х_А, у_А) Î G, B (x_B, y_B) Î G, то справедлива формула

 

. (5)

 

Темы: Поверхностные интегралы (первого и второго рода), Интегральные теоремы математического анализа и элементы теории поля на самостоятельную разработку.

п. 18. 4. Замена переменной в двойном интеграле.

 

Пусть требуется найти интеграл

 

 

Предположим, что фигура А связана взаимно однозначно с фигурой В плоскости u u при помощи формул

 

x = x (u, u), y = y (u, u). (1)

 

Будем предполагать, что у функций x (u, u), y (u, u) существуют непрерывные частные производные по u и u. Тогда формула замены переменных в двойном интеграле запишется в виде

 

, (2)

 

где J (u, u) − абсолютная величина якобиана

 

 

а J (u, u) d u d u − элемент площади криволинейных координат.

Если, в частности, преобразование состоит в переходе к полярным координатам, то формула (2) примет вид

 

. (3)

 

При этом надо помнить, что для правой части формулы (3) числа r и q суть уже не декартовы, а полярные координаты точек фигуры А.

 

Тройной интеграл. Основные понятия.

 

Тройной интеграл является аналогом двойного интеграла и вводится для функции трех переменных.

Определение.

Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz задана непрерывная функция U = f (x, y, z). Разобьем область V на п произвольных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами . В каждой области возьмем произвольную точку M (x_i, y_i, z_i) и составим сумму

, (1)

 

которая называется интегральной суммой для функции f (x, y, z) по области V. Обозначим через d наибольший диаметр частичных областей.

Определение. Если интегральная сумма (1) при d ® 0 имеет предел, то этот предел называется тройным интегралом от функции f (x, y, z) по области V и обозначается символом

 

,

 

где dV = dx dy dz – элемент объема.

В этом случае f (x, y, z) называется интегрируемой в области V; V – областью интегрирования, х, у, z – переменными интегрирования.

Теорема (существования). Если функция U = f (x, y, z) непрерывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной суммы (1) при п ® ¥ и существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части ни о выбора точек M (x_i, y_i, z_i) в них.

 

Свойства тройного интеграла:

 

1) , с = const.

 

2) .

 

3) , где V = V ₁ È V ₂,

 

а пересечение V ₁ и V ₂ состоит из границы, их разделяющей.

4) Если f (x, y, z) ³ 0 Þ .

 

Если f (x, y, z) ³ φ (x, y, z) Þ .

 

5) , где V – объем тела.

 

6) , где т, М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f в области V.

 

7) Теорема (о среднем значении). Если функция f (x, y, z) непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка (x ₀, y ₀, z ₀), что

 

,

 

где V – объем тела.