Логарифмический декремент затухания.

δ = ln (A(t) / A(t + ПИ)) = ln (A0 e (ст. – БЕТА t) / A0 e (ст. – БЕТА (t + ПИ))) = ln (A0 e (ст. – БЕТА t) / A0 e (ст. – БЕТА t) e (ст. – БЕТА ПИ)) = БЕТА T;

δ = БЕТА T = 1 / N; Время релаксации (ТАУ) в течении которого амплитуда затухающих колебаний убывает в e раз; A = A0 / e = A0 e (ст. – БЕТА ТАУ); e (ст. - 1) = e (ст. – БЕТА ТАУ) – БЕТА ТАУ = 1;

ТАУ = 1 / БЕТА; N = ТАУ / T – число колебаний, в течении которых амплитуда убывает в e раз; δ = 1 / N;

Добротность. Q = [2 ПИ W (t)] / [W (t) – W (t + T)]; Добротность Q – это величина, пропорциональная отношению энергии, запасенной в колебательной системе к уменьшению этой энергии за один период. Т.к. энергия, запасенная в колебательной системе пропорциональна квадрату амплитуды, то: Q = 2 ПИ A (ст.2) (t) / A (ст.2) (t) – A (ст.2) (t +T);

A = A0 e (ст. – БЕТА t); Q=2ПИ A0 e(ст.-2 БЕТА t) / A0 (ст.2) e(ст. –2 БЕТА t) – A0 e (ст.-2 БЕТА (t + T)); Q = 2ПИ / (1 – e (ст. –2 БЕТА t)); Q=ПИ / δ – при малых затуханиях.

Вынужденные колебания осциллятора под действием синусоидальной силы.; ma = F; m d2 x / dt (ст.2) = F; Fупр = - kx; Fтр = - b dx / dt; F = F0 sinΩt; (d2 x / dt (ст.2)) + (2 БЕТА dx / dt) + w 0 (ст.2) = (F0 / m) sin Ωt; Это дифференциальное уравнение описывает вынужденные колебания. В общем случае общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: X(t) = X1(t) + X2(t); X1(t) является общим решением однородного диф. уравнения, описывающего свободный гармонический затухающий осциллятор. Видно, что после начала действия вынуждающей силы возникает сложный колебательный процесс, состоящий из суммы 2х колебаний – затухающего колебания X1(t) с частотой wt и незатухающего колебания с частотой Ωt. X1(t) за достаточно небольшой промежуток времени затухает и остается только одно колебание с частотой вынужденной силы Ω0. Это время, в течении которого X1(t) затухает, называется временем установки вынужденных колебаний. Чем больше добротность осциллятора, тем больше время установления ТАУ~10 Q/w0 (это время, в течении которого амплитуда затухающего колебания уменьшится в 100 раз).

В общем случае установившееся вынужденное колебание имеет вид:

X = A sin (Ωt + ФИ); непосредственно подставляя это выражение в дифференциальное уравнение вынужденного колебания можно получить:

A = F0 / m (корень (w 0 (ст.2) – Ω(ст.2) + ФИ БЕТА (ст.2) Ω (ст.2));

tgФИ = - 2 БЕТА Ω / (w 0 (ст.2) – Ω (ст.2))

1. при Ω=0; A = F0 / m w 0 (ст.2) = F0 / k – статическое смещение.

2. при ΩàБЕСКОНЕЧНОСТЬ; Aà0;

Максимум амплитуды вынужденных колебаний достигается при частоте

Ω = (корень w 0 (ст.2) – БЕТА (ст.2));

При частоте w = (корень w 0 (ст.2) – БЕТА (ст.2)) амплитуда достигает максимума: Amax = F0 / 2 m БЕТА Ω

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынужденной силы с соответственной частотой колебаний системы называется резонансом. Амплитуда колебаний при резонансе зависит от затухания, чем оно больше, тем меньше амплитуда. При нулевом затухании амплитуда колебаний при резонансе достигает бесконечно большой величины.

 

Волновые процессы

 

Волна - процесс распространения колебаний в сплошной среде. При распространении волны в какой-либо среде частицы среды совершают колебания около положения равновесия. За счет связей, существующих между частицами среды эти колебания передаются от одних частиц к другим. В среде возникает волна. Особенностью является перенос энергии без переноса вещества. Если направление колебаний частицы совпадает с направлением распространения волны, то такая волна называется продольной. Если направление перпендикулярно, то поперечной. Продольные волны могут возникать в среде, в которой появляются упругие силы при деформации сжатия (разрежения). Поперечные волны возникают в средах, в которой появляются упругие силы при деформациях сдвига.

Пусть поперечная волна распространяется в положительном направлении оси ох со скор. v. Min расстояние между точками волны, колеблющихся в одной фазе называется длиной волны. лямбда=vT. Пусть в точке х=0 находится источник гармонических колебаний. y(0,t)=Asinωt. Возьмем произв. точку волны, расположенную на расстояние х от источника. Колебания от источника дойдут до этой точки через t’=x/v. Таким образом, колебания в этой точке будут запаздывать. y(x,t)=Asin[ω(t-t’)] y(x,t)=Asin[ω(t-x/v)]. ω(t-x/v)= ωt-ωx/v= ω t -2πx/vT= ωt-2πx/λ. k=2π/λ - волновое число

y(x,t)=Asin(ωt-kx) - уравнение бегущей волны (описывает волну, распр.в «+»направлении оси ох. Если распространяется в отриц. направлении то за место «-» будет «+») Бегущая волна переносит энергию.

Стоячая волна образуется в результате наложения (интерференции) прямой волны и обратной, появляющейся при отражении прямой волны от какого-либо препятствия. Прямая волна переносит Е в «+» напр., обратная в «-». В результате этого суммарный перенос энергий этими волнами, а значит и стоячей волны равен 0. При стоячей волне в некоторых точках пространства амплитуда колебаний равна 0. Эти точки называется узлами. Точки, в кот. А достигает max называют пучностями. Стоячая волна образуется в том случае, когда расстояние от источника до преграды кратно λ/2.

Точки волны, колеблющиеся в одной фазе называются волновым фронтом. Если волновая поверхность представляет из себя плоскость, то волна плоская. Если фронт волны является сферой, то волна является сферической. Обычно сферическую волну дают точечные источники. Если плоская волна распространяются в непоглащающей среде, то А-const. Если сферическая, то A пропорционально 1/r

Фазовой скоростью называется скорость перемещения v точки волны с пост. Фазой

dФ = d (wt – kx – φ0) = wdt – kdx à dx / dt = w/k – фазовая скорость волны!

Т.к. строго монохроматическая волна является абстракцией, на практике имеем дело с волной, состоящую из большого числа налагающихся друг на друга волн с близкими частотами. Такая группа называется цугом или волновым пробегом. Для такого волнового пакета вводится понятие групповой скорости - скорости перемещения его максимума. Представим волновой пакет в виде суммы 2-х волн с близкими частотами и длинами волн.

dω<<ω; dk<<k;

y(x,t)=Asin(ωt-kx)+Asin[(ω+dω)t-(k+dk)x]=2A*sin(ωt-kx+(ω+dω)t-(k+dk)x)/2*cos(ωt-kx-(ω+dω)t+(k+dk)x)/2. y(x,t)=2Acos(tdω-xdk)/2*sin(ωt-kx). Из этого выражения видно, что в случае сложения 2-х близких по частоте и длине волн вдоль оси ох будет распространятся волновой пакет, частота которого равна ω, а длина определяется k. Амплитуда будет 2Acos(tdω-xdk)/2. Скорость перемещения этого волнового пакета будет соответствовать скорости перемещения точки с постоянной амплитудой, откуда tdω-xdk=const. u=dx/dt=dω/dk. v=ω/k. Эти скорости связаны. ω=vk. dω=kdv+vdk. dk=[2π/λ(ст2)]dλ. Подставляя эти выражение в формулу u= dω/dk. u=v+kdv/dk=v-(2π/λ)*(dv/2π)*(λ(ст2)/dλ). u=v-λ(dv/dλ). Из этой формулы видно, что групповая скорость зависит от знака производной dv/dλ. Знак этой величины определяется свойствами среды, в которой распространяется волна. Если dv/dλ не равно 0, то такая среда называется дисперсирующей (в ней скорость распр. волны зависит от ее частоты) Если dv/dλ=0, то такая среда называется недисперсирующей. Обычно дисперсия волн не наблюдается только в вакууме. Все реальные среды являются.

Групповая скорость и ее связь с фазовой скоростью. Если среда, в которой распространяются одновременно несколько волн линейно, т.е. ее свойства не зависят от возмущений, создаваемых волнами, то у этой среде применим принцип суперпозиции: при распространении нескольких волн в среде, каждая из них распространяется независимо от других, а результат их совместного действия является простой суммой действия каждой из этих волн.

Волновой пакет – это суперпозиция волн, мало отличающихся по частоте и занимающих в каждый момент времени ограниченную область пространства. (рисунок – график сжатой синусойды – сначало высота по y возрастает, а потом уменьшается, не периодична).

Рассмотрим простой волновой пакет, состоящий из 2х близких по частоте волн с одинаковой амплитудой.

Групповая скорость – это скорость перемещения в пространстве этого волнового пакета.

S1 = Asin (wt - kx); S2 = Asin [(w + dw) t – (k + dk) x]; S = S1+S2;

S=2Asin (wt – kx) cos ((xdk – tdw) / 2); xdk – tdw = const; u = dx/dt;

d (xdk - tdw) = 0; dx dk – dt dw = 0 à dx / dt = dw / dk; u = dw / dk;

w = kv; dw = kdv + vdk; u = v + k (dv / dk); k = 2ПИ / λ;

dk = (2ПИ/ λ(ст.2)) dλ; u = v – λ (dv / dλ); Из этого выражения видно, что в зависимости от свойств среды групповая скорость может быть как больше, так и меньше фазовой скорости. Если среда не дисперсирующая, то dv / dλ = 0 и u = Ф. В теории относительности доказывается, что групповая скорость волны не может быть больше скорости света. На фазовую скорость ограничений не накладывается.

Одномерное волновое уравнение. Распространение волн в однородной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением 2го порядка. Если рассматривать трехмерный случай, то волна будет представлять вот что: S (x, y, z, t)

(д 2 S/ д x (ст.2))+(д 2 S/ д y (ст.2))+(д 2 S/ д z (ст.2)) = (1/v(ст.2)) (д 2 S/ д t (ст.2))

где v – фазовая скорость волны; (если из левой части вынести S, то получим оператор Лапласа, который обозначается перевернутым треугольником).

В одномерном случае будет так:

S (x, t) = Asin (wt – kx + φ0); Непосредственной подстановкой можно убедиться, что эта плоская волна удовлетворяет одномерному волновому уравнению.

 

Основы термодинамики

Термодинамический процесс – это переход термодинамической системы из одного состояния в другое. Термодинамический процесс называется обратимым, если после него можно возвратить систему в исходное состояние, при этом в исходное состояние должны вернуться и все тела, взаимодействующие с системой. Процесс, который не удовлетворяет этим условиям называется необратимым. Необходимым условием обратимого процесса является его равновестность, однако не всякий равновестный процесс обратим.

Работа газа при изменении объема. dA = Fdl; при этом сила постоянна; dA = PS dl; Sdl = dV; dA = p dV; A = (интеграл V1 – V2) P dV;

Графики зависимости термодинамических параметров друг от друга мы имеем право рисовать только для равновесного процесса, т.к. только для равновестного процесса значения этих параметров можно приписать всей термодинамической системе. Для неравновестного процесса, например P может быть разным для различных точек термодинамической системы. Чем медленнее протекает процесс, тем он ближе к равновестному.

Эквиваленты теплоты и работы. Обмен энергией между термодинамической системой и внешними телами может осуществляться 2мя качественно различными способами: путем совершения работы и путем теплообмена. В отсутствии внешних полей работа совершается при изменении объема или формы системы. Работа A’, совершаемая внешними телами над системой численно равна и противоположна по знаку работе, совершаемой самой системой.

Первое начало термодинамики или первый закон термодинамики.

dQ = dU + dA; Теплота, подводимая к термодинамической системе идет на изменение внутренней энергии и на совершение работы.

Внутренняя энергия U определяется только состоянием термодинамической системы, а Q и A являются характеристиками процесса при котором система переходит из одного состояния в другое. Переход системы из одного состояния в другое может осуществляться различными путями, поэтому Q и A зависят от способа перехода системы из одного состояния в другое, в то время, как внутренняя энергия U определяется только состоянием системы и не зависит от того, каким путем система перешла в это состояние.

Теплоемкость многоатомных газов. C = Q / m delta T; C = dQ/ dTm;

Cm = dQ / dT МЮ – молярная теплоемкость. В газе различают теплоемкости при постоянном давлении и теплоемкость при постоянном объеме.

V=const; dV=0; dA=PdV=0; dQ=dU; Ev = dQm / dT; Eт = dUm / dT;

Um = i k T Na/ 2 = i R T / 2; где i – число степеней свободы;

dUm = i R dT / 2; Ev = i R / 2 – теплоемкость при постоянном V;

2) P = const; dAm = dm + dA; dA= pdV; PV=RT; PdV= RdT;

dQm = Cv dT + RdT = Cv + RdT; Cp = dQm / dT= Cv +R; Cp= Cv +R - уравнение Майера; Cp = (iR / 2) + R = ((i +2)/ 2) R; Cp = ((i+2) / 2) R;

γ = Cp / Cv = (i+2) / i – коэффициент Пуассона

Из полученной формулы видно, что теплоемкость газа не зависит от температуры. Экспериментально было установлено, что этот закон соблюдается в достаточно широком интервале температур только для одноатомных газов. Уже для простых молекул – молекул H2 зависимость Cv от температуры имеет вид: Cv = i R / 2 (рисунок – график, ступеньки; оси T, Cv). Такая зависимость теплоемкости от температуры обусловлена тем, что в случае простейшей молекулы нарушается принцип равновестного распределения энергии по степеням свободы. Вращательное и колебательное движение молекул квантуются, т.е. энергия вращательных и колебательных движений не может принимать любые значения, а может иметь только вполне определенные дискретные значения. При низких температурах энергии не достаточно, чтобы возбудить вращательное и колебательное движения молекул, поэтому вращательные и колебательные степени свободы “выморожены” и не участвуют в создании теплоемкости, поэтому при низких температурах молекулы H2 имеют только 3 степени свободы (поступ.) и Cv= 3R / 2. При увеличении температуры возбуждается сначала вращательное движение (i = 5, Cv = 5 R / 2), а затем при достаточно высокой температуре и колебательном движении (i =7, Cv = 7R / 2), т.е. число степеней свободы зависит от температуры.

Применение 1-го начала термодинамики к изопроцессам и адиабатическому процессу.

1) V = const изохорный => dV=0; d = PdV=0; dQ=dU; dU = МЮ dUмол = МЮ Cv dT;

dQ= МЮ Cv dT; Q = (интеграл T1 – T2) МЮ Cv dT = МЮ Cv (T2 – T1) – m Cv (T2 – T1)/ μ

2) T = const изотермический => dT= 0; dQ= МЮ Cv dT = 0; dQ = dA;

dA = PdV; PV = МЮ RT; P= МЮ RT / V; dA = МЮ RT dV / V;

A = (интеграл V1 – V2) МЮ RTdV / V = МЮ RT (интеграл V1 – V2) dV/ V = МЮ RT ln (V2/ V1) = МЮ RT ln (P1/ P2); P1 V1 = P2 V2;

3) P = const изобарический => dQ = PdV; A = (интеграл V1 – V2) PdV = P (V2 – V1); A = P (V2 – V1); dU = МЮ Cv dT; PdV = МЮ RdT; dQ = МЮ Cv dT + МЮ Rdt = МЮ (Cv + R) dT; Q = МЮ Cp (T2 – T1);

4) Q = const Адиабатный dA = dU; dA = МЮ Cv dT; PdV = - МЮ Cv dT; PV = МЮ RT – продифференцированное уравнение Менделеева-Клайперона; PdV + VdP = МЮ R dT; …; lnP = - γ lnP + const; γ – коэффициент Пуассона; lnP + lnV (ст. γ) = const; PV (ст. γ ) = const; (график такой же как и изотермический, только чуть выше вверх).

dA = - dU = - МЮ Cv dT; A = - (интеграл T1 – T2) МЮ Cv dT = МЮ Cv (T1 – T2);

Энтропия. Помимо внутренней энергии, которая является только функциональной составляющей термодинамической системы, в термодинамике используется еще ряд других функций, описывающих состояние термодинамической системы. Особое место среди них занимает энтропия. Пусть Q – теплота, полученная термодинамической системой в изотермическом процессе, а T – температура, при которой произошла эта передача теплоты. Величина Q/ T называется приведенной теплотой. Приведенное количество теплоты, сообщаемое термодинамической системе на бесконечно малом участке процесса будет равно dQ / T. В термодинамике доказывается, что в любом обратимом процессе сумма приведенных количеств теплоты, передаваемая системе на бесконечно малых участках процесса равна нулю. Математически это означает, что dQ/T – есть полный дифференциал некоторой функции, которая определяется только состоянием системы и не зависит от того, каким путем перешла система в такое состояние. Функция, полученный дифференциал которой равен dS=dQ/T – называется энтропией. Энтропия определяется только состоянием термодинамической системы и не зависит от способа перехода системы в это состояние. S – энтропия. Для обратимых процессов delta S = 0. Для необратимых delta S > 0 – неравенство Клаудио. Неравенство Клаудио справедливо только для замкнутой системы. Только в замкнутой системе процессы идут так, что энтропия возрастает. Если система незамкнута и может обмениваться теплотой с окружающей средой, ее энтропия может вести себя любым образом; dQ = T dS; При равновестном переходе системы из одного состояния в другое dQ = dU + dA; delta S = (интеграл 1 – 2) dQ / T = (интеграл) (dU + dA) / T. Физический смысл имеет не сама энтропия, а разность энтропий при переходе системы из одного состояния в другое.

Связь энтропии с вероятностью состояния системы. Более глубокий смысл энтропии скрывается в статической физике. Энтропия связывается с термодинамической вероятностью состояния системы. Термодинамическая вероятность состояния системы – это число способов, которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической системы. Иными словами W – это число микросостояний, которые реализовывают данные макросостояния.

Больцман методами статистической физики показал, что энтропия S системы и термодинамическая вероятность связаны соотношением: S= k ln (W); где k – постоянная Больцмана. Термодинамическая вероятность W не имеет с математической вероятностью ничего общего. Из этого соотношения видно, что энтропия может рассматриваться как мера вероятности состояния термодинамической системы, энтропия является мерой неупорядоченной системы. Чем больше число микросостояний, реализующих данное макросостояние, тем больше ее энтропия.

Второй закон термодинамики -количество теплоты, полученное от нагревателя, не может быть целиком преобразовано в механическую работу циклически действующей тепловой машиной. В циклически действующей тепловой машине невозможен процесс, единственным результатом которого было бы преобразование в механическую работу всего количества теплоты, полученного от источника энергии – нагревателя.

Второй закон связан с необратимостью процессов в природе. Возможна другая формулировка: невозможен процесс, единственным результатом которого была бы передача энергии путем теплообмена от холодного тела к горячему.Второй закон имеет вероятный характер. В отличие от закона сохранения энергии, второй закон применим лишь к системам, состоящим из очень большого числа частиц. Для таких систем необратимость процессов объясняется тем, что обратный переход должен был бы привести систему в состояние ничтожно малой вероятностью, практически не отличимой от невозможности.

Самопроизвольные процессы в изолированной системе всегда проходят в направлении перехода от маловероятного состояния в более вероятное.

Чтобы термический коэффициент по­лезного действия теплового двигателя был h=1, должно быть выполнено условие: тепловой двигатель должен иметь один источник теплоты, а это невозможно. Так, французский физик и ин­женер Н. Л. С. Карно пока­зал, что для работы теплового двигателя необходимо не менее двух источников теп­лоты с различными температурами, иначе это противоречило бы второму началу термодинамики.

Цикл Карно

 

Явление переноса

Физическая кинетика – это микроскопическая теория процессов в неравновестных системах. Физическая кинетика исходит из представления о молекулярном строении рассматриваемой среды и силы взаимодействия между частицами.

Физическая кинетика включает в себя кинетическую теорию газов, основанную на следующих общих положениях классической статистической физики:

1. В системе частиц выполняются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса, электрического заряда и числа частиц.

2. Все частицы являются “меченными”, т.е. тождественные частицы отличны друг от друга.

3. Все физические процессы в системе протекают непрерывно в пространстве и времени (не квантуются).

4. Каждая частица системы может иметь произвольное значение координат и компонент скорости, независимо от других частиц.

Рассмотрим систему, находящуюся в неравновесном состоянии. Если эту систему изолировать от внешних воздействий. которые и вывели ее из равновесного состояния, то через некоторое время она самопроизвольно перейдет в равновесное состояние. Этот процесс называется релаксацией. Переход в равновесное состояние обусловлен хаотическим тепловым движением частиц. Время, за которое первоначальное отклонение какой-либо величины от ее равновесного значения уменьшается в e раз называется временем релаксации.