Прохождение частиц через потенциальный барьер. Туннельный эффект

Рассмотрим основные закономерности туннельного эффекта на примере преодоления микрочастицей, движущейся с E, потенциального барьера высотой U₀>E.

<РИС>

U(x)={0, -¥<x<0; U₀, 0£x£l; 0, l£x<¥}

Классическая частица с E<U₀ отразится в точке x₀ от барьера и будет двигаться назад.

Поведение квантовой частицы описывается уравнением Шрёдингера, которое выглядит по разному в областях (1,3) и 2.

1,3: d²Y/dx² + (2mE/‚²)Y = 0;

2: d²Y/dx² + (2m/‚²)(E-U₀)Y = 0, E-U₀ < 0; Y = e^lx ;

Подстановка в первое уравнение приводит к характеристическим уравнениям: l² + 2mE/‚² = 0; l=±sqrt(2mE)/‚=±ik;

Общее решение в (1,3) имеет вид падающей и отражённой волны де Бройля:

Y₁=A₁e+ikx+B₁e ^{¾ ikx};

Y₃=A₃e^ik(x-l) + B₃e ^{¾ ik(x-l)}; Т.к. нет отражения, то B₃=0;

В области (2) корни l² + [2m(U₀-E)]/‚² = 0 действительны и равны:

l= ± sqrt(2m(U-E₀))/‚ = ± ƒ;

Решение в области (2): Y₂=A₂e^ƒx + B₂e ^{¾ ƒx};

Коэффициенты можно найти из условия непрерывности Y-функции и её производной на границе барьера:

Y₁(0)=Y₂(0); Y₁’(0)=Y₂’(0); Y₂(l)=Y₃(l); Y₃’(l)=Y₃’(l);

A₁ + B₁ = A₂ + B₂; A₂e^ƒl + A₂e^¾ƒl += A₃ ;

ikA₁ - ikB₁ = ƒA₂ - ƒB₂; ƒA₂e^ƒl - ƒA₂e^¾ƒl = ikA₃;

Отношение квадратов модулей амплитуд называется КОЭФФИЦИЕНТОМ ОТРАЖЕНИЯ, который описывает вероятность отражения частицы от барьера.

R=|B₂|²/|B₁|² ¾ коэффициент отражения; R¹1 даже если E>U₀;

Д=|A₃|²/|A₁|² ¾ КОЭФФИЦИЕНТ ПРОХОЖДЕНИЯ (прозрачности) ¾ вероятность, что частица пройдет через барьер: Д¹0, даже если E<U₀;

Если ввести: n²=ƒ²/k² = (U₀-E)/E;

Д=[16n²/(n²+1)²]e^¾2ƒl» e ^{(¾2/‚)sqrt(2m(U0-E))l} ;

Д зависит от массы частицы, ширины барьера, соотношения высот...

Из неравенства нулю Д при E<U₀ => в туннеле E_k < 0;

В квантовой механике не имеет смысла деление E на E_k и E_p, т.к. это противоречило бы принципу неопределённости. Т.о. R+Д=1;

 

Аналог туннельного эффекта имеет место в классической электромагнитной теории, которая предсказывает, что волна, падающая из более плотной среды в менее плотную, представляет собой тонкий слой между двумя плотными средами, даже при плотном внутреннем отражении проникает в “запрещённую” область и распространяется в виде бегущей волны.

Туннельный эффект ¾ квантовое явления, связанное с волновыми свойствами частиц. Туннельный эффект объясняет ионизацию атомов, холодную эмиссию (вырывание e^¾ из металлов под действием электрического поля), a-распад ядер.

 

 

ВОПРОС-12 {31-33, к: 68-72}: КВАНТОВАНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

 

Важная задача ¾ изучение движения частицы в поле центральных сил.

В классической механике такое движение описывается с помощью моментов импульсов, в квантовой механике ¾ с помощью оператора момента импульса.

Особенность оператора ¾ факт, что ^L_x^L_y ¹ ^L_y^L_x, т.е. операторы момента импульса не коммутируют.

Это значит, что соответствующие проекции не могут быть одновременно измерены: если одна проекция определена, то две остальные ¾ нет.

Однако, каждый из этих операторов коммутирует с квадратом момента импульса: ^L_я^L² ¹ ^L²^L_z ;

Это означает, что момент импульса и одна из его проекций могут одновременно иметь одинаковые значения.

Оператор ^L² имеет общие собственные функции с оператором каждой из его проекций: ^L²Y=L²Y; ^L_zY=L_zY;

 

^L² Y=L²Y; ^L_zY=L_zY; (x, y, z) à (r, Q, j);

x=r×sinQ×cosj; y=r×sinQ×cosj; z=r×cosQ; {0£r<¥, 0£Q£p, 0£j£2p)

L²=‚²l(l+1);

l=0 (s), 1 (p), 2 (d), 3 (f), 4 (g), 5 (h) ¾ азимутальное квантовое число

l=0 => S-состояние; L=‚sqrt(l(l+1));

 

КВАНТОВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ МОМЕНТОВ ИМПУЛЬСА

Найдём вид оператора одной из проекций (L_Z) в сферической системе координат.

^L_zY=L_zY;

(д/дj)=(дx/дj)(д/дx) + (дy/дj)(д/дy) + (дz/дj)(д/дz);

(дx/дj)=-r×sinQ×sinj=-y; (дy/дj)=r×sinQ×cosj=x; (дz/дj)=0;

(д/дj)=-y(д/дx)+x(д/дy);

^P_X=-i‚(д/дx); ^P_Y=-i‚(д/дy); -i‚(д/дj)=x^P_Y-y^P_X=^L_Z à ^L_Z=-i‚(д/дj)

-i‚(дY/дj)=L_ZY; Y=ce^¾(i/‚)Lzj;

Т.к. j ¾ циклическая переменная с T=2p, то из условия однозначности следует: Y(j)=Y(j+2p)

e^¾(i/‚)Lzj = e^{¾(i/‚)Lz(j+2p)} à e^{¾(i/‚)Lz2p} =1; L_z=m‚; m=0, ±1, ±2,... ¾ магнитное квантовое число. Найдём max(m) из условия:

m‚£‚sqrt(l(l+1)); max(m)=l; m=0, ±1, ±2,... ±l и l=0, 1, 2... => L_z<L

Направление момента импульса остаётся неопределённым не совпадает с выбранным направлением. ‚ является естественной единицей момента импульса и его проекции. m ¾ магнитное квантовое число.

Ввиду изотропности пространства нет преимущественного направления, пока оно не выделено физически (например ¾ включением параллельно ему магнитного поля).

Всего ¾ (2l +1) значений.

 

 

ВОПРОС-13 {33-34, к: 72-75}: МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ЗАРЯЖЕННОЙ МИКРОЧАСТИЦЫ

Механический момент импульса неразрывно связан с магнитным моментом, т.к. орбитальное движение создаёт магнитное поле.

L =[ r, p ]; P_m =Is n; L=rm_eJ; P_m=enpr²=[w=2pn; J=wr]=(|e|Jr)/2;

P_m/L=|e|/(2m_e)=g_C ¾ орбитальное гиромагнитное отношение.

P_m=-(eL/2m_e)=[(e‚)/(2m_e)]×sqrt(l(l+1));

m_Б = e‚/2m_e=9,27×10^-24 Дж/тл ¾ магнетон Бора (естественная единица измерения магнитного момента).

P_mz = -(eL_z)/(2m_e)L_z=-(e‚m)/(2m_e)=- m_Бm;

 

ОПЫТЫ ШТЕРНА-ГЕРЛАХА. СПИН ЭЛЕКТРОНА {к: 73-75}

 

L=‚×sqrt(l(l+1)); L_z=‚m; P_m=-m_Б×sqrt(l(l+1)); P_mz=-m_Бm;

Квантование моментов импульса обнаружено в 1921 году. Идея опыта ¾ определение силы, действующей на атомы в неоднородном магнитном поле.

<РИС>

F_z=P_mz(дb/дz);

<РИС>

Если бы P_m мог иметь произвольную ориентацию, то на пластинке наблюдался бы непрерывный растянутый свет с большей плотностью в центре.

Но наблюдалась система узких полос, смещённых по O_z в соответствии с P_mz=-m_Бm => проекция магнитного момента атома на направление магнитного поля квантуется.

У атомов, находящихся в S-состоянии (m=0) (атомы с одним валентным электроном) ¾ вместо одной полоски было две.

Этот факт указывает, что в S-состоянии атом обладает магнитным моментом, проекция которой на направление магнитного поля обладает двумя значениями ±m_Б;

Голдсмит и Уленбек (1925): “Электрон обладает собственным моментом импульса ¾ спином”.

L^S=‚×sqrt(S(S+1)); L^S_z=‚ms; (2s+1)=2 => S=1/2;

P^S_mz=±m_Б; P^S_mz/L^S_z=|e|/m_e=g_S ¾ спиновое гиромагнитное отношение;

g_s=2g_e;

Элементарный магнетик ¾ сам электрон. Так была установлена спиновая природа ферромагнетизма. Спин не имеет аналога в макромире. Спин ¾ одновременно релятивистское и квантовое свойство.

 

ВОПРОС-14: СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

 

СЛОЖЕНИЕ ОРБИТАЛЬНЫХ И СПИНОВЫХ МОМЕНТОВ

Каждому механическому моменту импульса заряженной частицы соответствуют магнитные моменты, которые взаимодействуют между собой как круговые токи.

Это приводит к взаимодействию соответствующих механических импульсов ¾ спин-орбитальному взаимодействию.

Есть два способа взаимодействия:

1. LS-связь: реализуется, если спин-орбитальное взаимодействие мало (в сильных магнитных полях).

При этом складываются порознь все векторы орбитальных моментов системы и спиновых моментов.

Величины результирующих моментов: L=‚×sqrt(L(L-1)), L ¾ орбитальное квантовое число.

Для системы из двух частиц: L= l₁+l₂, l₁+l₂-1,..., |l₁-l₂| ¾ ряд значений. L=‚×sqrt(l(l+1)) ¾ орбитальный момент импульса одной частицы. L_z=m_z‚; m_z=0, ±1, ±2,..., ±L (всего 2L+1);

Спиновые моменты импульса: L_s=‚×sqrt(S(S+1))

Чётные S: от 0 до N(1/2), N=6: S=0, 1, 2, 3,...

Нечётные S: от Ѕ до N(1/2), N=1/2, 3/2, 5/2, 7/2;

Полный момент импульса системы определяется как векторная сумма результирующих орбитальных и спиновых моментов, а его величина = L_I=‚×sqrt(J(J+1)), J ¾ квантовое число результирующих моментов импульса.

В следствие различной взаимной ориентации L и L_s I принимает ряд значений.

J=L+S; L+S-1;...; |L-S|

L=3; S=1; => J=4, 3, 2;

L=3; S=1/2; => J=7/2, 5/2;

Если оперировать квантовомеханическими векторами как обычными, но с учётом квантования их абсолютных величин и их проекций,

L_JZ=m_J‚; m_J=0, ±1, ±2, ±3.... всего (2J+1);

то можно построить наглядную векторную модель, согласно которой вектор может иметь направление образующей конуса и вращаться равномерно вокруг направления z;

Проекции L и L_s сохраняются со временем, т.е. являются интегралами движения.

2. j-j-связь: реализуется в слабых магнитных полях, если спин-орбитальное взаимодействие велико. Складываются векторы орбитальных и спиновых моментов в результирующий момент импульса.

L_j=‚×sqrt(j(j+1)); j=l±S=l±1/2;

А затем результирующий момент импульса частиц складывается в результирующий момент импульса системы: L_j=‚×sqrt(J(J+1)); L_J =SL_j;

 

 

СИМВОЛИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ

Учёт спина приводит к введению новых квантовых чисел J и m_j.

Энергетическое состояние частицы определяется: n, l, j;

Символически оно обозначается nlj, где l=0(s), 1(p), 2(d), 3(f), 4(g), 5(h)

2P_1/2 ¾ главное число n=2, P-состояние=1, j=1/2;

Энергетические состояние системы зависит от взаимной ориентации моментов импульсов отдельных частиц: L, S, J;

Символическое обозначение энергетического состояния системы (“терма”): ^2S+1L_J; 2S+1 = ƒ ¾ мультиплексность терма.

 

ВОПРОС-15 {37-38, к: 80-83}: ФИЗИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ И АТОМНОГО ЯДРА

Масштабы времён, расстояний и масс в физических процессах:

Время	, сек	Размер	, м	Масса	, кг
Возраст Вселенной	1017=1,5×1010 лет	Видимая часть Вселенной	1026	Метагалактика	1053
Распад протона	> 1032 лет	Ядро	10-15	Протон	1,672× 10-27
Время жизни частицы резонанса	10-23	Кварк	10-18	Нейтрино	10-35=?
Планковское время, tп=sqrt(G‚/c5)	~10-44	Планковская длина, lп=sqrt(G‚/c3)	~10-35	Масса Планка, mп=sqrt(c‚/G)	2,8×10-8

 

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Вид взаимод	Интенсивность	Радиус, m	Время, с
Гравитацион.	10-32	¥	¥
Электромагн.	10-2	¥	10-16
Слабое	10-15	10-18	10-10¾10-8
Сильное		10-15	10-23¾10-22

Слабое взаимодействие проявляется:

1. Взрыв сверхновых

2. 2. Радиоактивность (самопроизвольное превращение атомов ядер с использованием элементарных частиц).

dN=-lNdt, N=N₀e^¾lt; N ¾ количество нераспавшихся ядер

t==1/l; T_1/2=ln2/l ¾ период полураспада

A=2N ¾ активность (число распадов в единицу времени).

T_1/2 (плутония-299)= 24390 лет.

n (нейтрино) à p (ротон) + e^¾ (электрон) + n_e^~ (антинейтрино)

Сильное взаимодействие проявляется:

1. Притяжение нуклонов в ядре: E_связи=c²Dm; Dm=[Zm_p+(A-Z)m_n]-m_я

2. X+a=Y+b ¾ ядерный распад ¾ процесс сильного взаимодействия, приводящий к преобразованию ядер: a, b à p, n, a...

Q=c²(Sm - Sm’);

 

ТЕРМОЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ {к: 83}

²₁H + ³₁H = ⁴₂He + ¹₀n (Q=17,6 Мэв)

 

ВОПРОС-16 {38-40, к: 83-86}: КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1. m: m_e, (m_n=10^-35 кг), m_z=200000m_e; E=mc²; p+p à p+p+p+p

2. q:

3. t ¾ время жизни

4. Спин:

а) S=1/2 + n, n=0, 1, 2... ¾ фермионы

б) S=n, n=0, 1, 2, 3... ¾ бозоны

Все элементарные частицы (>300) делятся на 2 группы по участию/неучастию в сильном взаимодействии:

Неучаствующие частицы ¾ лептоны:

Название, обозначен.	Масса	Заряд	Спин	Год открытия
Электрон, e¾		-1	1/2
Электрон-ное ней-трино, n	10-4 =?		1/2
Глюон, m¾		-1	1/2
Глюонное нейтрино, nm			1/2
t-лептон (таон)		-1	1/2
Таонное нейтрино, nt			1/2

Каждая частица имеет античастицу (отличен знак какой-либо характеристики: электрон¾позитрон).

Частицы, участвующие в сильном взаимодействии ¾ адроны:

3 кварка: барионы (тяжёлые)

2 кварка: мезоны

 

Все адроны состоят из 6 частиц:

Назва-ние (аромат)	Масса	Заряд	Спин	Цвет	Год откры-тия
u (up)	5 МЭВ	+2/3	1/2	красный
d (down)	7 МЭВ	-1/3	1/2	¾зелён-
s (strange)	150 МЭВ	-1/3	1/2	ый жёлтый
c (char-med)	1,3 ГЭВ	+2/3	1/2	¾ фиолет;
b (beau-ty)	5 ГЭВ	-1/3	1/2	синий¾ оранжев
t (true)	> 20 ГЭВ	+2/3	1/2

Из e, n, u, d построены все стабильные частицы:

Из... построены:

а) стабильные частицы: e, n, u, d

б) Нестабильные частицы: m, n_m, s, c; t, 1/t, b, t

 

ЧАСТИЦЫ ¾ ПЕРЕНОСЧИКИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ {к: 86}

Взаимод	Частицы	Масса, me	Заряд	Спин	Год откр
Гравит	Гравитон				?
Электром	Фотон
Слабое	W± Z0-бозон		±1
Сильное	8 глюонов

 

 

ВОПРОС-17 {41, к: 86}: ЧАСТИЦЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

 

Название	Э/м	Слабое	Сильное	Гравитац
Частицы	Лептоны	Лептоны, кварки	Кварки	Лептоны, кварки
Заряд взаимо-действия	Электрич заряды	Аромат	Цвет	Масса
Теория взаимо-действия	Квантовая электродинамика, Фейнман, 1952	E>100 ГЭВ Фотоны и W±, Z0 неразличимы	E>1014 ГЭВ лептоны и кварки неразличимы	E>1019 ГЭВ, фермионы и бозоны неразличи
	Теория слабого электро взаимод.(1987)	Теория великого объединения, 1973	мы => “супер-сила”