Полагаем, что в произвольном подмножестве натуральных чисел всегда есть наименьшее.

Делимость целых чисел.

 

Полагаем, что в произвольном подмножестве натуральных чисел всегда есть наименьшее.

Определение. Пусть a, bÎ Z. Если существует qÎ Z, что a = bq, то b делит a, или a делится на b, обозначаем b|a.

Простейшие свойства делимости:

1) Если a|b, b|c Þ a|c. Если a делит b и b делит c, то a делит c.

2) Если a,b,с и с не равно 0, то a делит b тогда и только тогда, когда ac делит bc, т. е. a|b; c¹0 Û ac|bc, a, b, cÎ Z.

3) d|a_i; i=1,…,n,

x₁,…,x_nÎ Z Þ d|a₁ x₁ +…+a_n x_n.

4) a|b; b|a Þ a =±b.

Доказательство всех свойств однообразно: используется только определение делимости. Докажем 4):

a = bq и b = aq₁ Þ a = aqq₁ Þ a(qq₁ – 1) = 0 Þ qq₁ = 1, т. к. a¹0 Þ q = ±1.

Теорема (о делении с остатком).

Для любых a, bÎ Z; b ¹ 0 существует единственная пара q, rÎ Z такая, что a = bq+r, 0£ r<|b|.

Доказательство: Р ассмотрим множество M = {a – bq, qÎZ}. Очевидно, что M∩{N, 0}¹Ø.

В любом таком множестве $ наименьшее r. Очевидно, что |b|>r ≥0.

Докажем единственность.

Пусть ещё a = bq₁ + r₁. Тогда вычитанием из первого второе получим

0 = b(q – q₁) + r – r₁. Отсюда следует, что r – r₁ кратно b, но |r – r₁|<|b|.

Следовательно, r – r₁ = 0, а поэтому и q – q₁ = 0.

Упражнение. Доказать теорему о делении с остатком геометрически (использовать геометрическую интерпретацию чисел).

Следствие из теоремы.

b делит a тогда и только тогда, когда r = 0 (b|a Û r = 0);

r называют остатком, а q – частным.

Построение комплексных чисел.

Уравнение x²+1=0 не имеет решения в области действительных чисел. Построение комплексных чисел попутно решает задачу о расширении множества действительных чисел до такого множества, чтобы уравнение x²+1=0 имело решение.

В качестве исходного материала для построения комплексных чисел возьмём множество точек плоскости. Будем их обозначать z₁, z₂,…, z_n. Если на плоскости выбрана Декартова система координат, то между точками на плоскости и множеством пар чисел (a, b), где a и bÎR, можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е.

z (a, b), где – равно по определению.

Введём операции сложения и умножения точек плоскости.

Определение 1. Под суммой точек z₁=(a, b) и z₂=(c, d) будем понимать точку z = z₁+z₂ (a+c, b+d).

Определение 2. Под произведением точек z₁=(a, b) и z₂=(c, d) будем понимать точку z = z₁z₂ (ac–bd, ad+bc)

Теорема 1.

1) z₁+z₂=z₂+z₁ — коммутативность сложения;

2) (z₁+z₂)+z₃= z₁+(z₂+z₃) — ассоциативность сложения;

3) z₁z₂= z₂z₁ — коммутативность умножения;

4) (z₁z₂)z₃= z₁(z₂z₃) — ассоциативность умножения;

5) (z₁+z₂)z₃ = z₁z₃+z₂z₃ — дистрибутивность умножения относительно сложения.

Для любых z₁, z₂, z₃.

Доказательство утверждений 1) – 5) сводится к подсчёту правой и левой частей и проверке их равенства. Докажем, например, 3):

z₁z₂ = (ac–bd, ad+bc) = (ca–db, cb+da) = z₂z₁ Þ z₁z₂= z₂z₁.

Введённые операции сложения и умножения обладают теми же свойствами, что и числа.

Определение 3. Под разностью точек z₁=(a, b) и z₂=(c, d) будем понимать точку z = (x, y) такую, что z₂+ z = z₁, т.е.

z₂+z = z₁ Û Þ

z₁–z₂ = (a – c, b – d).

Определение 4. Пусть z₁ = (a, b), z₂ = (c, d), z₂ ¹ (0, 0).

Частным двух точек z₁ и z₂ называют точку z = (x, y) такую, что z₂z = z₁, т.е.

Þ

x = ; y = .

Точка с координатами (0, 0) играет роль нуля. Роль единицы играет точка с координатами (1, 0). Противоположной точке z₁ = (a, b) будет точка z₂ = (–a, –b).

Упражнение. Найти обратную точку для точки z₂ = (c, d)≠(0,0).

Множество точек плоскости с так введёнными операциями сложения, умножения, вычитания и деления называют множеством комплексных чисел и обозначают C.

Точки с координатами (a, 0) на оси Ox и

(a, 0)+(b, 0) = (a+b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0).

По своим свойствам множество таких точек ничем не отличаются от R, поэтому будем отождествлять (a, 0) и a. После этого отождествления множество C содержит R (C É R).

В множестве C имеет решение уравнение x²+1=0.

Это точка с координатами (0, 1): (0, 1) (0, 1) = (–1, 0).

Точка (0, 1) — обозначается i и называется мнимой единицей. Очевидно, что

(a, b) = (a, 0)+(0, b) = a+(b, 0)(0, 1) = a+bi, где a+bi — алгебраическая форма комплексного числа.

Замечание. Введенные ранее операции над комплексными числами приспособлены к алгебраической форме записи комплексного числа. Например, для умножения двух чисел имеем:

(a+bi)(c+di) = ac+adi+cbi+bdi²=(ac–bd)+i(ad+bc).

Пусть z = a+bi, тогда:

a = Re z — действительная часть комплексного числа,

b = Im z — мнимая часть комплексного числа.

Множество точек плоскости может служить геометрическим изображением комплексных чисел.

Определение 5. Два комплексных числа равны, если равны их мнимые и действительные части (следует из геометрической интерпретации комплексных чисел).

Два комплексных числа называют сопряжёнными, если их действительные части равны, а мнимые — противоположны (сопряжённое к z обозначаем через ).

Упражнение 1. Сумма и произведение двух комплексных чисел z и (сопряжённых) — действительное число.

Теорема 2.

Справедливы следующие соотношения:

1) = + ;

2) = – ;

3) = ;

4) = .

Доказательство.

Доказательство 1) – 4) однообразно и сводится к подсчёту левой и правой частей и их сравнению. Например: z₁=a+bi, z₂=c+di. Докажем

1) = + . По определению

= a-bi; =c-di и

= (a+c)–(bi+di),

+ = (a–bi)+(c–di) = (a+c)–(bi+di).

Значит = + .

 

§3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА

КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

 

Пусть z = a+bi, полагаем r =|z|, r — модуль комплексного числа z.

a+bi = , положим

= cos и = sin .

Пусть z¹0, тогда угол j определен однозначно с точностью до 2pk. Если 0£j£2p, то он определен однозначно. Угол j называют аргументом комплексного числа z, r и j — полярные координаты точки.

Из тригонометрии мы знаем как искать j, если известно a и b.

Если r=0, то j может быть любой, то есть аргумент нуля не определён; r¹0, то аргумент определен с точностью до 2πk.

z = r(cosj+i sinj) (1)

Назовем выражение (1) тригонометрической формой комплексного числа.

Если два комплексных числа равны, то их модули равны, а их аргументы, вообще говоря, отличаются на 2pk.

Теорема 1.

Пусть z₁ = r₁ (cosj₁+i sinj₁), z₂ = r₂ (cosj₂+i sinj₂). Тогда:

1) z₁z₂ = r₁r₂(cos(j₁+j₂)+i sin(j₁+j₂))

(модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов);

2)

(модуль частного комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент – разности аргументов).

Доказательство:

Докажем 1).

z₁z₂ = r₁r₂(cosj₁cosj₂– sinj₁sinj₂+i(sinj₁cosj₂+cosj₁sinj₂)) = =r₁r₂cos(j₁+j₂)+i sin(j₁+j₂)).

Аналогично с частным.

Следствие 1.

Пусть z = r (cosj+i sinj), тогда z = (cos(–j)+i sin(–j)).

Доказательство:

z = = = = (cos(–j)+i sin(–j)).

Следствие 2 (формула Муавра).

Пусть z = r (cosj+i sinj). Тогда zⁿ = rⁿ(cos(nj)+i sin(nj)) для любого nÎZ.

Доказательство:

Если n — натуральное, то формула Муавра следует из правила умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.

Если n — отрицательное, то можно представить zⁿ = (z ^-1)^-n и применить следствие (1) и доказанную формулу Муавра для nÎN.

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ

ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

Пусть z = a+bi.

Надо извлечь корень из z.

—?

обозначим через z₁, то z = z.

Пусть z₁ = x+iy, тогда

(x²–y²)+2xyi = a+bi,

Решив эту систему, мы найдем подходящие значения z₁.

Если так действовать и для извлечения корней более высокой степени, то придётся уметь решать уравнения соответствующих степеней.

Для извлечения корня из комплексного числа хорошо приспособлена тригонометрическая форма комплексного числа.

Пусть z = r(cosj+i sinj), надо найти = z₁, положим

z₁=ρ (cosy+i siny), z ==ρⁿ(cos(ny)+i sin(ny), r = ρⁿ Þ ρ = , j = ny+2pk y = .

Получим

= (cos +i sin ) (1),

где k — любое целое число, то есть корень n–той степени из произвольного комплексного числа z всегда существует и его можно посчитать по формуле (1), причем формула (1) даёт все корни, если k пробегает множество целых чисел (достаточно ограничиться k = 0,…, n–1)

Если возьмем k – любое, то мы можем разделить его с остатком на n:

k = nq+s; 0£s£n–1

.

Углы [2] и [3] отличаются на кратное 2p, и поэтому косинусы и синусы от них совпадают, следовательно формула (1) при угле [2] и при угле [3] даёт одинаковое значение.

Если брать k от 0 до n–1, то мы получим все значения. Нетрудно заметить, что все эти значения разные (смотри геометрическую интерпретацию).

Теорема 4.

Извлечение корня степени n из комплексного числа всегда возможно, и даёт n различных значений, получающихся по формуле (1).

Теорема нами доказана ранее.

Замечание (геометрическая интерпретация).

Все значения расположены на окружности радиуса с центром в начале координат и делят окружность на n равных частей:

 

§5. КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ.

1 = cos0+i sin0 = cos +i sin , .

Корни расположены на окружности единичного радиуса и делят эту окружность на n равных частей.

Теорема 1.

Все значения корня n–той степени из комплексного числа z можно получить умножением одного из них на все корни из 1.

Доказательство:

Возьмём a = = (cos +i sin ), где s–фиксированное число.

e₁, e₂,…, e_n – так обозначим все корни .

Домножим каждый из корней e₁,…, e_n на a. Они разные, все являются корнями n–той степени из z, ибо (ae_i)ⁿ = z и их штук.

Теорема доказана.

Теорема 2.

Произведение двух корней n–той степени из единицы есть корень степени n из единицы.

Следствие.

Степень корня n–той степени из единицы есть корень степени n из единицы.

Все ли корни из 1 равноправны?

n=4; 1, –1, i, –i — корни из единицы.

i; –i — первообразные корни; если i возводить в степени 0, 1, 2, 3, то получим все корни.

Определение 1.

Корень n–той степени из 1 называется первообразным, если он не даёт единицу в степени меньше, чем n.

ЧИСЛОВОЕ ПОЛЕ.

В множествах Q Ì R Ì C возможны четыре операции +, –, ×,:.

Определение 1. Подмножество K Ì C множества комплексных чисел C, состоящее более, чем из одного элемента, называют числовым полем, если выполняются следующие условия:

1) " a, bÎK Þ a+bÎK, то есть в множестве K всегда возможно сложение;

2) " aÎK Þ –aÎK;

3) " a, bÎK Þ abÎK, то есть задано умножение в K (K замкнуто относительно умножения);

4) " a ¹ 0; a ^-1ÎK.

Из 2) с учётом 1) получаем, что в K всегда возможно вычитание.

Из 4) с учётом 3) получаем, что в K всегда возможно деление на число не равное 0.

Q — поле рациональных чисел;

R — поле вещественных чисел;

C — поле комплексных чисел.

Умножение матриц.

Мы никак не мотивировали операцию сложения матриц, но едва ли это вызвало недоумение в силу своей естественности. Операция умножения матриц уже не обладает этим качеством.

Пусть A = (a_ij)_{m x n}, B = (b_ij)_{n x p}. Под произведением АВ понимают

матрицу С с элементами c_ij =.

 

АВ:= С= (с_ij)_{m x p}.

 

Например, А = и В =.

 

 

Тогда AВ =

 

 

5=1 · 0 + 2 · 1 + 3 · 1

6=1 · 1 + 2 · 1 + 3 · 1

7= 1 · 4 + 2 · 0 + 3 · 1 и т.д.

 

Берется i-тая строка матрицы А и j-тый столбец матрицы В, перемножаются покомпонентно и результаты складываются. Это есть элемент матрицы С на позиции i,j.

Свойство. Произведение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА, в том числе и квадратных.

 

Пример (доказывающий свойство):

=

 

=

 

Замечание 1. Запись A = (a_ij)_{m x n} обозначает, что матрица А имеет размеры

m x n.

Замечание 2. В двойной сумме результат суммирования не зависит от порядка суммирования, т.е.

, ибо левая часть равенства и правая часть есть сумма элементов матрицы .

Транспонирование матриц.

Определение 1. Пусть A = (a_ij)_{m x n}. Транспонирование матрицы — это такое ее преобразование, при котором строка с номером i записывается в столбец с тем же номером.

Обозначение: А^t, А^tr, А'.

Пример:

, то .

Теорема 5. Имеют место следующие равенства:

1. (А^t)^t = A.

2. (αA + βB)^t = αA^t + βB^t.

3. (AB)^t = В^tА^t .

Причем, А и В — матрицы подходящих размеров, α и β — любые числа.

¢ 1. А = (а_ij)_{m x n}

(A)^t = (а_ji)_{n x m} (А^t)^t = A.

2. Доказать самостоятельно.

3. Пусть имеем А = (а_ij)_{m x n} и B = (b_ij)_{n x s}. Тогда A^t = ( _ij)_{n x m}, B^t = =( _ij)_{s x n}, AB = (c_ij)_{m x s}, B^tА^t = (d_ij)_{s x m} , (AB)^t = ( _ij)_{s x m}.

Матрица В^tA^t и (AB)^t одинаковых размеров, и чтобы доказать, что В^tA^t = (AB)^t, надо показать, что на одинаковых местах стоят одинаковые элементы.

.

Мы получили, что на позиции ij у матрицы В^tA^t и матрицы (AB)^t стоит один и тот же элемент. £

Определение 2. Матрица А называется симметрической, если А^t = А, и кососимметрической, если А^t = -А.

Пример. Симметрическая матрица:

 

 

 

кососимметрическая матрица:

 

 

Упражнение. Будет ли произведение симметрических (кососимметрических) матриц симметрической (кососимметрической) матрицей? Если будет, доказать. Если не будет, привести пример.

 

Перестановки.

 

Пусть X — непустое множество элементов произвольной природы, так как природа элементов для нас несущественна, то в случае конечного множества считаем X = .

Определение 1. Любое упорядоченное расположение элементов множества X называется перестановкой множества X.

Пример:

Если X = , то (2,5,3,4,1) - перестановка множества X.

Перестановку элементов множества X обозначают , причем среди (i = 1,2,…, n) нет равных.

Определение 2. Две перестановки множества X называются равными, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые элементы.

Теорема 1. Число различных перестановок множества из n элементов равно n!

◄ Докажем эту теорему индукцией по числу . При 1 имеется одна перестановка, т.е. 1!.

Пусть >1 и число различных перестановок, которые можно составить из заданных () элементов, равно . Всякая перестановка данных элементов с фиксированным первым числом а имеет вид:

,

где произвольная перестановка оставшихся () элементов. По индуктивному предположению число таких перестановок равно .В качестве а, можно взять любой из данных элементов, поэтому число различных перестановок заданных элементов равно сумме n слагаемых, каждое из которых есть , т.е. n!►

Определение 3. Будем говорить, что в перестановке чисел два числа образуют инверсию если > , но i < j. В противном случае образуют порядок.

Пример:

В перестановке (1 3 4 2) инверсии: 4,2; 3,2, а остальные пары образуют порядок.

Определение 4. Количество пар чисел, образующих инверсию в перестановке, называют числом инверсий данной перестановки. Отображение X X будем называть преобразованием множества X.

Пусть множество X состоит не менее чем из двух элементов X.

Определение 5. Преобразование множества Х называют транспозицией элементов и , если , , .Такое преобразование обозначают .

Определение 6. Перестановку называют четной, если число инверсий в ней четно, и нечетной в противном случае.

Теорема 2. Однократное применение транспозиции к перестановке изменяет ее характер четности на противоположный.

◄ Пусть имеется перестановка . Применим к ней транспозицию , получим . Рассмотрим несколько случаев:

1. Пусть и стоят рядом. Если и в образуют инверсию, то образуют порядок. Поэтому характер четности изменяется на противоположный, ибо число инверсий изменяется на единицу.

2. Пусть и не стоят рядом . От к можно перейти следующим способом: менять с рядом стоящим элементом дойти до и перегнать на место . Всего нам придется применить S+1+S=2S+1 транспозиций соседних чисел, где число элементов между и , поэтому характер четности перестановок и различны.►

Следствие. При 2 число четных перестановок равно числу нечетных перестановок и равно .

◄ Пусть число четных перестановок равно S, нечетных — T. Если к каждой четной перестановке мы применим транспозицию двух элементов, мы превратим их в нечетные S , аналогично наоборот T T=S

=S+T =2S

S=T= .►

Теорема 3. Пусть даны две различные перестановки одних и тех же чисел, тогда существует последовательность транспозиций переводящих первую перестановку во вторую.

◄ Пусть

есть произвольные перестановки из n чисел. Если , то применив к перестановке транспозицию получим перестановку n чисел вида

Если , то к перестановке применим транспозицию .В результате получим перестановку . Продолжаем этот процесс получаем требуемое.►

Замечание. В доказательстве теоремы содержится алгоритм нахождения последовательности транспозиций, переводящих одну перестановку в другую.

Пример:

(1, 2, 3, 4)

(3, 1, 4,2)

 

(1,2,3,4) (3,2,1,4) (3,1,2,4) (3,1,4,2).

(6) (7)

Такая последовательность транспозиций не однозначна (это может быть не самый короткий путь перехода от одной перестановки к другой).

 

Подстановки.

 

Пусть X X, при этом если — биективно, то часто называют подстановкой. Мы ограничимся случаем, когда число элементов конечно, и равно n.

X = , тогда отображение можно записать в виде таблицы:

 

 

Если подстановка, тогда — перестановка. Запись отображения в виде таблице (1) позволяет хорошо перемножать отображения.

Пример.

Теорема 1. Всякая подстановка конечного множества, содержащая не менее двух элементов, может быть представлена в виде произведения транспозиций.

◄ Пусть имеем .Согласно теореме 3 предыдущего параграфа, существует последовательность транспозиций переводящая первую перестановку во вторую, пусть это будет следующая последовательность транспозиций . Тогда очевидно, что , ибо отображения действуют на одном и том же множестве и результат их действия одинаков. ►

Замечание. Разложение подстановки в произведение транспозиций, вообще говоря, неоднозначно.

Теорема 2. Характер четности числа сомножителей во всех разложениях подстановки в произведение транспозиций один и тот же.

 

◄ Пусть подстановка вида (1) разлагается в произведение k транспозиций. Это значит, что существует последовательность k транспозиций, переводящая перестановку (2) в перестановку (3). Однократное применение транспозиции меняет характер четности перестановки, поэтому k — четное число тогда и только тогда, когда перестановки(2) и (3) одного характера четности. Это и доказывает теорему.►

Определение 1. Подстановка называется четной, если она разлагается в произведение четного числа транспозиций, и нечетная в противном случае.

Упражнение. Число четных подстановок равно числу нечетных и равно .

 

Определители и их свойства.

Пусть А — некоторая матрица размеров n x n над полем Р.

 

A =

 

Возьмем из каждой строки и каждого столбца матрицы по одному элементу . Тогда (i_1..........i_n) (1) будет некоторой перестановкой чисел 1,2, …, n. Возьмем произведение этих элементов и умножим на (-1) ^t, где t — число инверсий в перестановке (1). Получим (-1) ^t (2). Это произведение (2) принято называть членом определителя матрицы А.

Определение. Определителем (детерминантом) матрицы А назовем сумму всех членов определителя матрицы А.

Определитель матрицы А обозначается одним из символов: | A |, det A.

Замечание. Количество членов определителя матрицы А равно n!

Примеры:

1) n=1; A = (a₁₁). Определитель матрицы равен a₁₁.

 

2) n=2; A =, тогда det A = а₁₁а₂₂ – а₁₂а₂₁.

 

 

3) n=3; A =, тогда det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ –

– a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₂a₂₁a₃₃ – a₁₁a₂₃a₃₂.

 

 

Если , считать определитель по определению становится уже громоздким. Для того, чтобы считать определитель, нужно использовать его свойства.

Свойства определителей.

1) Определитель матрицы не изменяется при ее транспонировании, т.е.

det A = det A^t.

2) Если у матрицы поменять местами две строки, то ее определитель изменит знак на противоположный.

 

3) Определитель матрицы с нулевой строкой равен 0.

 

4) Определитель матрицы, содержащий две равные строки, равен 0.

 

5) Постоянный множитель всех элементов какой-нибудь строки определителя можно выносить за знак определителя.

 

6) Определитель матрицы, содержащей две пропорциональные строки,

равен 0.

 

 

7)

d = = +,

 

 

|| ||

d₁ d₂

где a_ik=b_ik+c_ik, где к = 1,..., n.

Определитель матрицы d, у которой i-тая строка представлена в виде a_ik=b_ik+c_ik, где к = 1, …, n, равен сумме определителей d₁ и d₂ , которые отличны от d i - той строкой, а именно, у d₁ i–тая строка b_ik, у d₂ - c_ik, .

8) Если в определителе к какой–нибудь строке прибавить другую строку, умноженную на произвольное число, то определитель при этом не изменится.

¢ Доказательство всех этих свойств основано на определении определителя и несложных наблюдениях.

Докажем, например, свойство 1.

Пусть А = (a_ij), A^t = (b_ij) — транспонированная к А матрица, т.е.

b_ij = a_ji. (3)

Требуется доказать, что | A | = | A^t |.

Рассмотрим произвольный член определителя | A^t |: (-1)^t (4),

где t — число инверсий в перестановке j₁, j₂, …, j_n (5). Учитывая (3), перепишем (4) в виде (-1)^t = (-1)^t (6). Так как (5) — перестановка из n чисел, то правую часть (6) можно переписать следующим образом: (-1)^t = (-1)^t (7). Это равносильно тому, что подстановка (8) записывается в виде (9).

Из (6) и (7) получаем (-1)^t = (-1)^t (10).

Правая часть равенства (10) есть с точностью до знака член определителя | A |. Покажем, что перестановка l₁, l₂, …, l_n (11) имеет тот же характер четности, что и перестановка (5).

Действительно, перестановка (11) имеет ту же четность, что и подстановка (9), равная подстановке (8). Четность подстановки (8) совпадает с четностью обратной к ней подстановки (12). Наконец, подстановка (12) имеет ту же четность, что и перестановка (5). Итак, если k — число инверсий в перестановке (11), то с учетом (10) имеем (-1)^t = (-1)^k , т.е. член определителя |A^t|, соответствующий перестановке (5), равен члену определителя |A|, соответствующий перестановке (11). Отсюда и следует равенство определителей |A| и |A^t|.

Докажем теперь свойство 7.

Если (-1)^t есть произвольный член определителя (напомним, что t — число инверсий в перестановке j₁,..., j_i,..., j_n), то

d = å(-1) ^t = å(-1) ^t =

= å(-1) ^t + å(-1) ^t = d₁ + d₂ . £

Замечание. Так как при транспонировании матрицы столбцы становятся строками, то из свойства 1 следует, что все утверждения, доказанные нами для строк определителя, верны и для его столбцов.

Пример 1. det = det = 1 · 1 · 2 · 7 = 14.

 

Пример 2. det = а₁₁… а_nn.

 

Обратная матрица.

Пусть A = (a_ij)_{n x n} квадратная матр