Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-12-10 | 489 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть Х не пустое множество, X2 — скалярный квадрат множества X, т.е. X2={(a,b)| a,bÎX}.
Определение 1.Отображение f:X2®X называется бинарной алгебраической операцией (БАО), то есть каждой паре элементов (a,b) множества X ставится в соответствие элемент сÎX.
Элемент c называется композицией элементов a и b, обычно записывают c=a°b (где ° — обозначение кокой-то бинарной алгебраической операции).
Примеры:
1) Вкачестве множества X возьмем N — натуральные числа, в качестве операции +:
(a,b)®a+b — отображение и
c=a+b — сумма.
2) Множество матриц над полем P с операциями +, *.
Если X — конечное множество, например X={x1, x2, ¼,xn}, то алгебраическую операцию удобно задавать таблицей:
x1 x2 x3 … xn | |
x1 | |
x2 x3 … xn |
В клетке этой таблицы, расположенной на пересечении строки, проходящей через элемент ak, и столбца, проходящего через элемент al, следует записать композицию элементов ak и al.
Часто алгебраическую операцию называют внутренним законом композиции.
Определение 2.Пусть заданы множество X с бинарной алгебраической операцией °, и любое его непустое подмножество X1. Если "a,b'X1 a°b тоже принадлежит X1 ,то множество X1 называют устойчивым относительно данной бинарной алгебраической операции, а саму бинарную алгебраическую операцию на X1 называют индуцированной.
Определение 3.Пусть на множестве Х задана бинарная алгебраическая операция ° (дальше для краткости просто операция °). Элемент hÎХ называется нейтральным относительно операции °, если x°h=h°x=x "xÎX.
Примеры.
1) В операции умножения на множестве целых чисел Z роль нейтрального элемента играет 1.
2) На множестве 2 Z нет нейтрального элемента относительно умнажения.
Теорема 1.Относительно любой алгебраической операции существует не более одного нейтрального элемента.
|
Доказательство (от противного). Пусть m и n нейтральные элементы относительно операции ° на X, причем m¹n. Тогда по определению нейтрального элемента:
Þ m=n.
Определение 4.Алгебраическая оперция °, заданная на множестве X, называется ассоциативной, если "a,b,cÎX выполняется: (a°b) °c=a°(b°c).
Теорема 2.Пусть на множестве Х задана ассоциативная операция °, тогда:
(a1°…°ai) °(ai+1°…°an)= a1°…°an
Доказательство индукцией (по числу элементов во второй скобке):
1) Если n – i=1, то равенство верно по определению.
2) Если n - i=k, то будем считать утверждение верным.
3) Докажем верность для n - i=k+1.
(a1°…°ai)°(ai+1°…°an)= (a1°…°ai)°((ai+1°…°an-1) °an) так как операция ° ассоциативна, то по-другому расставим скобки и воспользуемся индуктивным предположением
(a1°…°ai)°((ai+1°…°an-1)°an )= =((a1°…°ai)°(ai+1°…°an-1)) °an = a1°…°an.
Следствие.Пусть на множестве Х задана ассоциативная операция °. Тогда композиция конечного числа элементов множества Х не зависит от распределения скобок, указывающих на порядок производимых действий.
Определение 5.Пусть на множестве Х задана операция °, n – нейтральный элемент и x,y —некоторые элементы из множества Х. Элемент y называется симметричным элементу x относительно операции °, если x°y=y°x=n. Если для элемента x есть симметричный, то он называется симметризуемым.
Примеры:
1) На множестве целых чисел, операция +, n=0, симметричный элемент элементу a — противоположный -a.
2) Множество матриц над полем Pn, E — единичная матрица (нейтральный элемент при умножении). Симметричный элемент существует тогда, когда матрица обратима, т.е ее определитель не равен нулю.
Теорема 3.Пусть на множестве X задана ассоциативная операция ° и n — нейтральный элемент. Тогда "xÎX существует не более одного симетричного элемента.
Докозательство (от противного).
Пусть для некоторого элемента x существует несколько симметричных элементов, например: y,z. Тогда рассмотрим композицию: y°x°z=y°(x°z)=y°n=y, с другой стороны y°x°z=(y°x)°z)=n°z=z Þ y=z.
|
Симметричный для x обозначим через x'.
Теорема 4.Пусть на множестве X задана ассоциативная операция °. Элементы x,yÎX — симметризуемы, тогда элемент x°y также симметризуем и симметричный для него (x°y)'= y'° x'.
Доказательство. Рассмотрим композицию: (x°y)°(y'° x')=x°(y°y') °x'=x°x'=n, где n – нейтральный элемент. Аналогично (y'°x') ° (x°y)=n.
Определение 6.Операция ° называется коммутативной, если x°y=y°x "x,yÎX.
35-36.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ, ВАЖНЫЕ ПРИМЕРЫ И СВОЙСТВА ГРУПП
Определение1.Пусть Г не пустое множество элементов произвольной природы. Г называется группой, если выполняются следующие условия:
1) На множестве Г задана операция °.
2) Операция ° ассоциативна.
3) Существует нейтральный элемент nÎГ.
4) Для любого элемента из Г симметричный ему элемент всегда существует и принадлежит также Г.
Пример.
Множество Z – чисел с операцией +.
Определение 2.
Группа называется абелевой, если она коммутативна относительно заданной операции °.
Важные примеры групп
1) GL(n,P) — полная линейная группа над полем P степени n. Рассмотрим множество матриц порядка n над некоторым полем P, определитель которых отличен от нуля: GL(n,P)={A Î Pn, |A|¹0}. Проверим, что это группа:
1. Операция ° задана, ибо произведение невырожденных матриц — невырожденная матрица;
2. Операция ° ассоциативна, ибо произведение матриц ассоциативно;
3. Существует нейтральный элемент — единичная матрица;
4. Обратная матрица существует и принадлежит GL(n,P), а это и есть симметричный элемент.
2) SL(n,P)={AÎPn, |A|=1} — специальная линейная группа степени n над полем. Это множество матриц над полем P порядка n, с определителем равным 1.
1. Операция ° задана, ибо |AB| = |A||B|=1;
2. Операция ° ассоциативна;
3. Существует нейтральный элемент — единичная матрица, ибо |E|=1;
4. Существует элемент симметричный — обратная матрица, так как определитель не равен нулю, и она принадлежит SL(n,P).
3) S(X) — симметричная группа на множестве X, где X — не пустое множество, S(X) — множество биективных отображений из X в X. Тождественное отображение принадлежит , следовательно, S(X) ¹Æ
1. Операция ° задана, ибо произведение биективных отображений — биективное отображение;
2. Операция ° ассоциативна, ибо произведение отображений ассоциативно;
|
3. Существует нейтральный элемент ex (тождественное отображение на X);
4. Существует обратное отображение, для любого биективного отображения и оно принадлежит S(X).
Если X — конечное множество и состоит из n элементов |C|=n, то в этом случае S(X) обозначается Sn, так как природа элементов не существенна, то полагаем Х={1,…,n}.
4) Рассмотрим множество четных подстановок An на множестве из n элементов. An ¹Æ, ибо тождественное отображение принадлежит An.
1. Операция ° задана (произведение четных подстановок— четная подстановка);
2. Операция ° – ассоциативна;
3. Тождественная подстановка играет роль единицы;
4. Для любой подстановки из An существует обратная подстановка (она тоже четная).
An — знакопеременная группа степени n.
Простейшие свойства групп
В группе существует единственный нейтральный элемент
В группе для каждого элемента существует единственный симметричный ему элемент
Пусть Г — группа с операцией °, тогда уравнения вида:
a°x=b и x°a=b (1) — разрешимы и имеют единственное решение.
Доказательство. Рассмотрим уравнения (1) относительно x. Очевидно, что для а $! а'. Так как операция ° — ассоциативна, то очевидно x=b°a' — единственное решение.
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!