История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-12-10 | 862 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ
Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены уравнений равны нулю:
Однородная система всегда совместна, поскольку она всегда имеет тривиальное (нулевое) решение. Однако наибольший интерес представляют нетривиальные решения.
Теорема 1. Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных: r(A)=r<n.
Справедливо следующее утверждение: линейная комбинация решений однородной системы линейных уравнений также является ее решением.
Максимальная линейно независимая система решений называется фундаментальной системой решений однородной системы уравнений. Фундаментальная система решений содержит (n-r) векторов. Любое решение системы может быть представлено в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы решений.
Для нахождения фундаментальной системы решений нужно:
1) r базисных переменных выразить через свободные переменные;
2) выбрать линейно независимую систему (n-r) векторов (n-r)-мерного пространства (например, это могут быть единичные векторы);
3) поочередно заменить свободные переменные координатами векторов выбранной системы и вычислить значения базисных переменных.
Полученные решения , , …, образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение однородной системы уравнений имеет вид
,
где - произвольные числа.
Билет 13
МНОГОЧЛЕН
МНОГОЧЛЕН (полином), сумма одночленов, которые являются произведениями, состоящими из числового множителя (коэффициента) и одной или нескольких букв, каждая из которых взята с тем или иным показателем степени. В общем виде, многочлен имеет форму Pn(x)=аnхn+an-1xn-1+аn-2хn-2+....+а2х2+a1х+а0, где а0....аn-1, аn - КОЭФФИЦИЕНТЫ многочлена. Степенью многочлена является самый высокий показатель степени в этой сумме с ненулевым коэффициентом. Например, Р4(х)=2x4-3x3+x2+х+5 является многочленом со степенью четыре. В этом примере значения многочлена при х=0; 1 и 2 равны Р4(0)=5, Р4(1)=6, Р4(2)=19 соответственно. Многочлен может быть представлен графически, путем отметки значения у=Рn(х) на графике в соответствии со значениями х.
|
Арифметические операции над многочленами
Суммой многочленов
P (x)= a 0 xn + a 1 xn −1+...+ an −1 x + an,
Q (x)= b 0 xm + b 1 xm −1+...+ bm −1 x + bm
называется многочлен S (x), коэффициенты которого при каждой степени x равны сумме коэффициентов при этой степени x многочленов P (x) и Q (x). О многочлене S (x) говорят, что он получен в результате сложения многочленов P (x) и Q (x), и пишут S (x)= P (x)+ Q (x).
Произведением многочленов
P (x)= a 0 xn + a 1 xn −1+...+ an −1 x + an,
Q (x)= b 0 xm + b 1 xm −1+...+ bm −1 x + bm
называется многочлен M (x) степени n + m, коэффициенты которого c 0, c 1,..., cn + m вычисляются по формулам
c 0= a 0 b 0, c 1= a 1 b 0+ a 0 b 1,... ck = akb 0+ ak −1 b 1+...+ a 1 bk −1+ a 0 bk, cn + m = anbm,
т.е. коэффициент ci есть сумма произведений коэффициентов al и bk многочленов P (x) и Q (x) таких, что сумма их индексов равна i = l + k. О многочлене M (x) говорят, что он получен в результате умножения многочлена P (x) на многочлен Q (x), и пишут M (x)= P (x) Q (x).
Операции сложения и умножения многочленов ассоциативны, коммутативны и связаны между собой законом дистрибутивности.
Противоположным для многочлена
P (x)= a 0 xn + a 1 xn −1+...+ an −1 x + an
называется многочлен
− a 0 xn − a 1 xn −1−...− an −1 x − an
Многочлен, противоположный многочлену P (x), обозначают − P (x). Сумма многочлена P (x) и противоположного ему многочлена − P (x) равна нулю: P (x)+(− P (x))=0
Разностью многочленов P (x) и Q (x) называется многочлен L (x), являющийся суммой многочлена P (x)и многочлена, противоположного многочлену Q (x):
|
L (x)= P (x)+(− Q (x))
О многочлене L (x) говорят, что он получен в результате вычитания многочлена Q (x) из многочлена P (x), и пишут L (x)= P (x)− Q (x).
Сумма, произведение и разность любых двух многочленов - тоже многочлены.
Деление с остатком
Определение. Пусть и — многочлены, . Будем говорить, что поделен на с остатком, если представлен в виде , где и — многочлены, причем .
Полином называется остатком от деления на , — неполным частным.
Пример. .
.
Теорема. (о делении с остатком). Пусть и — полиномы над полем , . Тогда существуют единственные многочлены и над полем такие, что и .
Доказательство. Существование.
Пусть . Положим .
.
Предположим, что теорема верна не для любого полинома ( фиксируем). Среди всех многочленов , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его :
Пусть . Положим
Коэффициент при в многочлене равен . Следовательно, . Значит, для многочлена теорема верна. Существуют такие и , что . Тогда
Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.
Единственность. Предположим, что
1) . Значит, ,
2) .
Получили противоречие. Этот случай невозможен.
Схе́ма Го́рнера (или правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы мономов (одночленов), при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена[1], а также вычислить производные полинома в заданной точке. Схема Горнера также является простым алгоритмом для деления многочлена на бином вида . Метод назван в честь Уильяма Джорджа Горнера (англ.).
Описание алгоритма
Задан многочлен :
.
Пусть требуется вычислить значение данного многочлена при фиксированном значении . Представим многочлен в следующем виде:
.
Определим следующую последовательность:
…
…
Искомое значение . Покажем, что это так.
В полученную форму записи подставим и будем вычислять значение выражения, начиная со внутренних скобок. Для этого будем заменять подвыражения через :
Использование схемы Горнера для деления многочлена на бином
При делении многочлена на получается многочлен с остатком .
При этом коэффициенты результирующего многочлена удовлетворяют рекуррентным соотношениям:
, .
Таким же образом можно определить кратность корней (использовать схему Горнера для нового полинома). Так же схему можно использовать для нахождения коэффициентов при разложении полинома по степеням :
|
Билет 14
Корень многочлена (не равного тождественно нулю)
над полем k — элемент , такой что выполняются два следующих равносильных условия:
§ данный многочлен делится на многочлен ;
§ подстановка элемента c вместо x обращает уравнение
в тождество.
Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.
Свойства
§ Число корней многочлена степени не превышает даже в том случае, если кратные корни учитывать кратное количество раз.
§ Всякий многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень (основная теорема алгебры).
§ Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля (по определению).
§ Более того, многочлен с вещественными коэффициентами можно записать в виде
где — (в общем случае комплексные) корни многочлена , возможно с повторениями, при этом если среди корней многочлена встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем.
§ Число комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени , учитывая кратные корни кратное количество раз, равно . При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности, таким образом, многочлен четной степени с вещественными коэффициентами может иметь только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное.
§ Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.
Теорема Безу
Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на двучлен равен .
Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).
Доказательство
Поделим с остатком многочлен на многочлен :
|
Так как , то — многочлен степени не выше 0. Подставляя , поскольку , имеем .
Следствия
· Число a является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится без остатка на двучлен (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена тождественно множеству корней соответствующего уравнения ).
· Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
· Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k.
Кратные корни
· Определение. Число называется корнем полинома , если .
· В силу теоремы Безу это равносильно тому, что .
· Определение. Число называется корнем кратности полинома , если и . Корни кратности 1 называются простыми корнями, корни кратности больше 1 называются кратными корнями.
· Теорема. Если — корень кратности полинома , то — корень кратности полинома . Если — общий корень , то — кратный корень .
· Доказательство. Пусть — корень кратности полинома .
·
·
· 1. Если , то — корень кратности многочлена .
· 2. Если корень , то и, значит, — кратный корень многочлена .
Теорема Виета
·
· Как связаны между собой корни квадратного трехчлена x 2 + px + q и его коэффициенты p и q? Ответ на этот вопрос дает теорема, которая носит имя “отца алгебры”, французского математика Ф. Виета, жившего в конце XVI века.
Теорема.
Сумма корней квадратного трехчлена x 2 + px + q равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q.
Доказательство. Пусть x 1 и x 2 – различные корни квадратного трехчлена x 2 + px + q. Теорема Виета утверждает, что имеют место следующие соотношения:
x 1 + x 2 = – p
x 1 x 2 = q
Для доказательства подставим каждый из корней в выражение для квадратного трехчлена. Получим два верных числовых равенства:
x 12 + px 1 + q = 0
x 22 + px 2 + q = 0
Вычтем эти равенства друг из друга. Получим
x 12 – x 22 + p (x 1 – x 2) = 0
Разложим разность квадратов и одновременно перенесем второе слагаемое в правую часть:
(x 1 – x 2) (x 1 + x 2) = – p (x 1 – x 2)
Так как по условию корни x 1 и x 2 различны, то x 1 – x 2 ¹ 0 и мы можем сократить равенство на x 1 – x 2. Получим первое равенство теоремы:
x 1 + x 2 = – p
Для доказательства второго подставим в одно из написанных выше равенств (например, в первое) вместо коэффициента p,равное ему число – (x 1 + x 2):
x 12 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0
Преобразуя левую часть, получаем:
x 12 – x 12 – x 2 x 1 + q = 0
x 1 x 2 = q, что и требовалось доказать.
Комментарий. Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x 1 + x 2 и x 1 x 2. Так, еще не зная, как вычислить корни уравнения x 2 – x – 1 = 0, мы, тем не менее, можем сказать, что их сумма должна быть равна 1, а произведение должно равняться –1.
|
Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена. Так, находя корни квадратного уравнения x 2 – 5 x + 6 = 0, можно начать с того, чтобы попытаться разложить свободный член (число 6) на два множителя так, чтобы их сумма равнялась бы числу 5. Это разложение очевидно: 6 = 2 × 3, 2 + 3 = 5. Отсюда должно следовать, что числа 2 и 3 являются искомыми корнями. Эту догадку можно аккуратно доказать.
Теорема. Если числа x 1 и x 2 удовлетворяют соотношениям x 1 + x 2 = – p и x 1 x 2 = q, то они удовлетворяют квадратному уравнению x 2 + px + q = 0.
Доказательство. Из первого из данных равенств выразим x 2 и подставим во второе: x 2 = – p – x 1, x 1 × x 2 = x 1 × (– p – x 1) = q. Получаем – x 12 – px 1 = q или x 12 + px 1 + q = 0. Это означает, что число x 1 является корнем квадратного уравнения x 2 + px + q = 0. Если бы наоборот мы выразили x 1 через x 2, то получили бы и для x 2 аналогичное соотношение: x 22 + px 2 + q = 0. Теорема доказана.
Формулы Виета — формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни.
Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.
Формулировка
Если — корни многочлена
(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:
Иначе говоря равно сумме всех возможных произведений из корней.
Если старший коэффициент многочлена , то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.
[править]Доказательство
Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (теорема единственности), получаем формулы Виета.
Билет 16
Алгоритм Евклида для целых чисел
Пусть и — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
определена тем, что каждое — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть
Тогда НОД(a, b), наибольший общий делитель и , равен , последнему ненулевому члену этой последовательности.
Существование таких , то есть возможность деления с остатком на для любого целого и целого , доказывается индукцией по m.
Корректность этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
Пусть , тогда НОД (a, b) = НОД (b, r).
Доказательство [показать]
НОД(0, ) = для любого ненулевого (т.к. 0 делится на любое целое число, кроме нуля).
Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа и и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!