Тема 1. Множества и последовательности

I. Математический анализ

Тема 1. Множества и последовательности

1. Понятия множества, подмножества. Множества конечные и бесконечные. Пустое множество. Мощность множества.

2. Числовые множества. Операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение, декартово произведение) и их свойства.

3. Понятие последовательности. Числовые последовательности и их свойства. Операции над последовательностями.

4. Ограниченность и монотонность числовой последовательности.

5. Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах суммы, произведения, частного последовательностей.

6 Предел числовой последовательности. Сходимость последовательности. Необходимое условие сходимости последовательности.

7. Достаточное условие сходимости последовательности (теорема Вейерштрасса). Теорема о единственности предела сходящейся последовательности.

8. Числовая последовательность. Примеры числовых последовательностей — арифметическая и геометрическая прогрессии. Определение общего члена и суммы n–первых членов прогрессий.

 

Тема 2. Функции одной переменной

9. Понятие функции одной переменной. Область определения и область значений функции. Числовые функции.

10. Элементарные функции, их свойства и графики. Способы задания функции.

11. Ограниченность и монотонность функций.

12. Предел функции на бесконечности и в точке. Правила вычисления пределов.

13. Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций; непрерывность сложной функции.

14. Точка разрыва функции; классификация точек разрыва.

15. Основные свойства непрерывных функций на отрезке: теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях функции; теорема о существовании корня; теорема о промежуточном значении функции, теорема об ограниченности функции.

 

Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

16. Определение производной функции одной переменной. Геометрический, механический и экономический смысл производной.

17. Связь между свойствами непрерывности и дифференцируемости функции.

18. Производные элементарных функций. Основные правила дифференцирования. Производная второго порядка.

19. Правило Лопиталя; раскрытие неопределенностей различных видов.

20. Необходимый и достаточный признаки возрастания (убывания) функции.

21. Необходимое и достаточные условия экстремума функции.

22. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.

23. Точки перегиба функции. Необходимое и достаточное условия перегиба графика функции. Асимптоты графика функции.

24. Определение дифференциала функции. Теорема о единственности дифференциала функции.

25.Связь дифференциала функции с производной. Свойства дифференциала.

26. Понятие производственной функции одной или нескольких переменных. Факторные модели производственно-экономических систем.

27. Средние, приростные и предельные показатели использования факторов производства в однофакторной модели.

28. Приростная и предельная эластичности по его фактору.

29. Показатели эффективности и эластичности для линейной и степенной производственной функции.

30. Функции полезности, спроса, предложения и их показатели эффективности и эластичности.

 

Тема 4. Интегральное исчисление функции одной переменной

31. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.

32. Таблица простейших неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменной и интегрирование по частям.

33. Определенный интеграл. Формула Ньютона–Лейбница. Связь определенного и неопределенного интегралов.

34. Основные свойства определенного интеграла (общие свойства, свойства аддитивности, линейности, монотонности).

35. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, объёма тела вращения. Приложения определенного интеграла в экономических задачах.

 

II. Линейная алгебра иэлементы аналитической геометрии

Тема 6. Векторный анализ

46. Понятие п -мерного вектора. Линейные операции над векторами. Свойства линейных операций.

47. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения векторов.

48. Ортогональные векторы.

49. Линейная комбинация и линейная зависимость векторов.

50. п – мерное линейное векторное пространство. Метрика линейного пространства.

51. Размерность и базис линейного пространства. Разложение вектора по базису. Единичный базис.

52. Евклидово векторное пространство.

 

Тема 7. Система п линейных уравнений с п неизвестными

53. Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.

Ш. Задачи оптимизации

Тема 10. Классические методы оптимизации

75. Общая постановка задачи оптимизации.

76. Классическая задача на условный экстремум. Необходимое и достаточные условия условного экстремума.

77. Метод множителей Лагранжа для решения классической задачи на условный экстремум.

 

Тема 12. Основные понятия теории вероятностей

87. Понятия испытания и случайного события. Частота и относительная частота появления события в серии испытаний. Вероятность случайного события.

88. Совместные и несовместные события. Полная группа событий. Событие, благоприятствующее данному. Равновозможные события. Совокупность элементарных исходов.

89. Классическое определение вероятности. Простейшие свойства вероятности.

90. Основные правила комбинаторики. Сочетания, перестановки, размещения.

91. Частота и относительная частота появления события в серии испытаний. Стохастическая устойчивость случайного события. Статистическое определение вероятности.

92. Вероятность противоположного события. Условная вероятность.

93. Сумма и произведение случайных событий. Теорема сложения вероятностей: для двух произвольных событий, для двух несовместных событий, для нескольких попарно несовместных событий.

94. Теорема умножения вероятностей: для двух произвольных событий; для двух независимых событий; для нескольких событий, независимых в совокупности.

95. Формула полной вероятности.

96. Теорема Байеса.

97. Формула Бернулли.

98. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Тема 13. Cлучайные величины

99. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины. Функция распределения и ее свойства.

100. Дискретная случайная величина. Способы задания закона распределения дискретной случайной величины.

101. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Их основные свойства.

102. Биномиальный закон распределения.

103. Распределение Пуассона.

104. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность вероятности, их основные свойства.

105. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

106. Равномерное распределение.

107. Показательное распределение.

108. Нормальное распределение. Правило трех сигм.

109. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева, её сущность и значение для практики.

I. Математический анализ

Тема 1. Множества и последовательности

1. Понятия множества, подмножества. Множества конечные и бесконечные. Пустое множество. Мощность множества.

2. Числовые множества. Операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение, декартово произведение) и их свойства.

3. Понятие последовательности. Числовые последовательности и их свойства. Операции над последовательностями.

4. Ограниченность и монотонность числовой последовательности.

5. Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах суммы, произведения, частного последовательностей.

6 Предел числовой последовательности. Сходимость последовательности. Необходимое условие сходимости последовательности.

7. Достаточное условие сходимости последовательности (теорема Вейерштрасса). Теорема о единственности предела сходящейся последовательности.

8. Числовая последовательность. Примеры числовых последовательностей — арифметическая и геометрическая прогрессии. Определение общего члена и суммы n–первых членов прогрессий.