Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-12-10 | 227 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
О: Точка называется точкой максимума (минимума)
функции (х, у), если
Максимумы и минимумы функции называются ее экстремумами (рис. 12.1).
Рис. 12.1
Примеры: 1)
Очевидно т. (1, 2) является т. mm, так как все остальные значения х и у дадут z > -1
2) В данном случае т. (0, 0) является т. max, так как
Т: (необходимое условие экстремума)
Если функция г = (х,у) имеет экстремум в т. то
или обращаются в нуль, или не существуют
Пусть у = тогда — функция одной переменной. Так как при х = она имеет экстремум, то
Доказательство при х = аналогично Эти условия не являются достаточными.
Пример: обращаются в нуль в т. О(0,0),
но ху> 0 при х > 0, у > 0, ху< 0 при х < 0, у > 0, т.е. определение экстремума не выполняется.
Приведем достаточные условия экстремума для стационарных
т. в которых
Т: (достаточные условия экстремума) Пусть в некоторой области, содержащей т. функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно и эта точка является стационарной.
Пусть
Доказательство см. в [11.С. 419].
Пример: Исследовать на экстремум
— стационарные точки,
1) — точка минимума,
2)т. — точка
максимума,
3) экстремума нет,
4) экстремума нет
Для функции п переменных определение экстремума и
необходимые условия сохраняются. Необходимое условие в случае дифференцируемой функции кратко запишется в виде:
Сформулируем достаточные условия экстремума.
Т: Если в стационарной т. второй дифферен-
циал
является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой, то — точка min (max)
Доказательство см. в [11.С. 424].
Сформулированные ранее достаточные условия экстремума для функции являются следствием данной теоремы
|
Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. | ||||||||||||||||||||||||||||||||
Определение первообразной и неопределенного интеграла
Функция F (x) называется первообразной функции f (x), если
Множество всех первообразных некоторой функции f (x) называется неопределенным интегралом функции f (x) и обозначается как
Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение
где С - произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла
В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f, а, k, C - постоянные величины.
·
·
·
·
Таблица интегралов
В формулах ниже предполагается, что a, p (p ≠ 1), C - действительные постоянные, b - основание показательной функции (b ≠ 1, b > 0).
|
Метод подстановки (замена переменной интегрирования) |
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) где – монотонная, дифференцируемая функция; б) – новая переменная. В первом случае формула замены переменной имеет вид: . (6.1) Во втором случае: . (6.2) В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой. Пример 12. (положим тогда Пример 13. (положим тогда ) = = (используем формулу ) = = = Возвращаясь к старой переменной, использовали выражение: Замечание. В примерах 12 и 13 использовали подстановку вида: и формулу (6.1). Подстановку выбирают так, чтобы правая часть формулы (6.1) приобрела более удобный для интегрирования вид. Пример 14. (положим тогда ) = = Пример 15. (положим тогда ) = Замечание. Примеры, рассмотренные в п.4 можно было решить методом замены переменной, используя подстановку вида Так, например, (положим тогда ) = Вычислим используя подстановку Имеем Тогда . |
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!