Переходные процессы в линейных цепях первого порядка

Переходным процессом называют процесс изменения токов и напряжений в цепи при переходе от одного установившегося режима к дру­гому.

Причиной, вызывающей начало переходного процесса, является коммутация.

Коммутация – это процесс замыкания (Рис.1,а) или размыкания (Рис.1,б) выключателей.

Рис. 1. Характер коммутации: а - ключ включен; б- ключ отключен.

 

Ключ, осуществляющий коммутацию, включается или выключается мгновенно и в момент t=0 коммутация уже произошла. Соответственно, момент времени -

время - представляет собой время непосредственно до коммутации, а время - после коммутации, а время при - в момент коммутации.

Переходный процесс в цепи может протекать как за счёт начального запаса энергии, накопленной в реактивных L и C элементах, так и за счёт энергии внешнего источника питания.

1.Энергетические процессы и законы коммутации.

1.1 Энергетические процессы. Физическая сущность переходного процесса заключается в скорости изменения энергии в цепи dW/dt - в переходе от одного энергетического состояния, соответствующего докоммутационному режиму, к другому энергетическому состоянию, соответствующего послекоммутационному режиму.

Причиной переходного процесса является невозможность мгновенного изменения энергии W, накапливаемой или накопленной в магнитном и электрическом полях элементов L и C- и - не может меняться скачкообразно, иначе это означало бы наличие бесконечной мощности.

Мгновенные мощности поступления энергии в индуктивность L и в емкость C равны скоростям прироста(изменении) энергии и соответственно магнитного и электрического полей (при включении L и C по отдельности):

 

(1)

 

(2)

 

В случае их совместном включении в цепь, скорость энергии определяется как сумма энергии магнитного и электрического полей

(3)

 

Энергия W изменяется плавно, обуславливая такое же плавное изменение тока в индуктивной катушке и изменение напряжения на конденсаторе, что обуславливает плавное изменение напряжений (токов) на других ветвях цепи.

 

, (4)

 

, (5)

 

Если энергия W при изменилась скачком на величину ΔW, тогда мощность источника энергии P = dW/dt→ , что невозможно, т. к. в природе не существует источников энергии бесконечной мощности; мощность всегда конечна (по значению).

 

 

1.2 З аконы коммутации: Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений , а для схем с конденсаторами – зарядов на них. На основании (5) и (6), можно сформулировать:

1.В любой ветви с индуктивностью ток и потокосцеплений (магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура), в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения:

2.В любой ветви напряжение и электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения:

На практике допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно: первый закон коммутации – ток через индуктивный элемент L непосредственно до коммутации () равен току через этот же индуктивный элемент L непосредственно после коммутации () (здесь обозначены через и докоммутационные () и послекоммутационные () начальные условия на индуктивности L):

 

(6)

второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе непосредственно до коммутации () равен напряжению на конденсаторе непосредственно после коммутации ():

 

(7)

 

Значение токов в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации называется начальными условиями.

Если ток в индуктивности и напряжение на емкости в первый момент коммутации равняются нулю, то такие условия называются нулевыми начальными условиями.

2.Классический метод. В электротехнике для анализа переходных процессов широко применяется классический метод, который позволяет упростить рассмотрение физических процессов.

Переходные процессы в электрических цепях описываются системами интегрально-дифференциальных уравнений, которые составляются на основе законов Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений.

Интегрально-дифференциальныеуравнения показывают, что процесс, происходящий в цепи, можно рассматривать состоящим из двух накладывающихся друг на друга процессов- принужденного, который как бы наступил сразу, и свободного, имеющего место только вовремя переходного режима. Физически существуют только переходные токи и напряжения, а разложение их на принужденные и свободные составляющие является удобным математическим приемом, облегчающим расчет переходных процессов в линейных цепях. Как известно из курса математики, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме частного решения неоднородного дифференциального и общего решения однородного дифференциального уравнения.

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения находят из анализа установившегося режима после коммутации.

Поэтому этот режим называют принудительным режимом, а токи и напряжения, найденные в этом режиме получили название - установившимися или принужденными напряжениями и токами

Токи и напряжения, найденные при решении однородных дифференциальных уравнений получили название свободных составляющих или свободных - свободным напряжениями и токами .

 

В общем случае напряжения и токи цепи в переходном режиме выражают в виде суммы принужденных (установившихся) и свободных составляющих, т. е.

 

и

Рассмотрим для электрической цепи первого порядка случай, когда источником является постоянный ток:

2.1 Переходные процессы в RL- цепи: При подаче на RL-цепь (рис. 1.1) постоянного напряжения уравнение по второму закону Кирхгофа записывается:

 

(8)

Это уравнение, с матема­тической точки зрения является неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Поэто­му рассматриваемая цепь относится к цепям первого порядка.

Согласно рассмотренной методике для тока в цепи можно записать

(9)

Тогда для первого случая принужденная составляющая тока

. (10)

Характеристическое уравнение

откуда и постоянная времени.

Таким образом,

(11)

Подставляя (4) и (5) в соотношение (3), запишем

(12)

В соответствии с первым законом коммутации . Тогда

,

откуда .

Таким образом, ток в цепи в переходном процессе описывается уравнением

, (13)

а напряжение на катушке индуктивности – выражением

. (14)

Качественный вид кривых и , соответствующих полученным решениям, представлен на рис. 1.1.

2.2 Переходные процессы в RС- цепи, (рис. 1.2), в качестве независимой переменной обычно выби­рается напряжение на конденсаторе и_с.(t). Уравнение по второму закону Кирхгофа при этом будет неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка:

 

(15)

Его математическая идентичность с уравнением (3) позволяет (при нулевых начальных условиях) записать решение в виде

 

(16)

в котором постоянная времени Выражения для тока и напряжения на резисторе записываются в виде:

(17)

(18)

 

Обе величины в момент включения,в отличие от формулы (10),изменя­ются скачком.

2.3 Переходный процесс в случае отключения конденсатора от источника возникает (одновременное замыкание и размыка­ние ключей) и будет энергетически поддерживаться за счёт энергии, запа­сённой в электрическом поле конденсатора.

(19)

Напряжение на конденсаторе при этом будет изменяться по закону:

(20)

а ток:

(21)

В случае питания цепей прямоугольным по форме напряжением передний фронт этого напряжения можно считать моделью замыкания ключа для схем рисунков 1.1 и 1.2, а задний фронт - моделью отключения ключа.