Согласно классическому определению вероятности

,

где N - число всех равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов; M_A - число исходов, благоприятствующих событию А.

В нашем случае - число всевозможных сочетаний из 12 писем по 4 письма.

Найдем число исходов, благоприятствующих событию А. Так как среди вынутых четырех писем будет только одно городское, то остальные три будут иногородние. Число способов, которыми можно вынуть одно письмо из пяти городских, равно . Три иногородних письма берут из имеющихся семи писем. Число сочетаний из семи по три равно . При этом каждое городское письмо может появиться с любой тройкой иногородних, поэтому

.

Таким образом, .

б) Пусть событие B - среди вынутых 4 писем городских и иногородних поровну. Вероятность события В

,

где (см. пункт а); число исходов, благоприятствующих событию В, , так как каждая пара городских писем может появиться с любой парой иногородних. При этом два письма из пяти городских можно выбрать способами, а два письма из семи иногородних - .

Тогда .

 

Задание 2. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором и третьем ящике, равны 0,5; 0,8; 0,6, соответственно. Найти вероятность того, что нужная деталь содержится:

а) во всех трех ящиках;

б) только в одном ящике;

в) по крайней мере, в одном ящике.

Литература: 1, гл. 2. С. 14-23.

2, гл. 1. С. 12-18.

Решение. Введем обозначения:

событие - нужная деталь содержится в первом ящике;

событие - нужная деталь содержится во втором ящике;

событие - нужная деталь содержится в третьем ящике.

По условию ; ; .

а) Пусть событие А - нужная деталь содержится во всех трех ящиках. Это событие является произведением событий , и , и , то есть .

Учитывая, что события , , - независимые, по теореме умножения вероятностей для независимых событий будем иметь

.

б) Пусть событие В - нужная деталь содержится только в одном ящике. Это событие можно представить так:

,

где событие означает, что нужная деталь содержится в первом ящике, а во втором и третьем ящиках нужной детали нет. Аналогично, событие - нужная деталь есть во втором, а в первом и третьем ящиках ее нет. Событие - нужной детали нет в первом и во втором ящиках, в третьем она есть.

События, являющиеся слагаемыми последней суммы, несовместны, поэтому по теореме сложения вероятностей для несовместных событий получим

.

Каждое слагаемое этой суммы можно найти, используя теорему умножения вероятностей для независимых событий

;

;

.

Учитывая, что

;

;

,

окончательно получим

в) Пусть событие С - нужная деталь содержится, по крайней мере, в одном ящике.

Рассмотрим противоположное событие - нужной детали нет ни в одном ящике, то есть . Тогда

.

Следовательно, .

 

Задание 3. В сборочный цех завода поступили однотипные детали, изготовленные на трех автоматах. При этом с первого автомата поступило 600 деталей, со второго и третьего, соответственно, в 2 и 3 раза меньше. Известно, что первый автомат дает 3% брака, второй - 1%, а третий - 2% брака. а) Найти вероятность попадания на сборку годной детали, если деталь отбирается случайным образом. б) Наугад взятая деталь из сборочного цеха оказалась годной. Какова вероятность того, что она изготовлена на втором автомате?

Литература: 1, гл. 2. С. 23-26.

2, гл. 1. С. 26-28.

Решение. Пусть событие В - взятая наугад деталь оказалась годной. Это событие может произойти только вместе с одним из трех событий-гипотез:

событие - деталь изготовлена на первом автомате;

событие - деталь изготовлена на втором автомате;

событие - деталь изготовлена на третьем автомате.

События , , образуют полную группу событий. Из условия задачи ясно, что на первом автомате изготовлено 600 деталей, на втором -300, а на третьем - 200 деталей. Отсюда находим

;

;

.

В условии задачи даны условные вероятности события (наугад взятая деталь бракованная), противоположного событию В, при гипотезах , и :

а) Вероятность события В найдем по формуле полной вероятности

.

б) Наугад взятая деталь оказалась годной, то есть событие В наступило. Вероятность того, что эта деталь изготовлена на втором автомате, вычисляем по формуле Байеса:

.

Задание 4. Станок-автомат производит валики, причем контролируется размер их диаметра Х. Считая, что Х - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием, равным 10 мм, и дисперсией, равной 0,01 мм²; найти: а) вероятность того, что размер диаметра валика будет от 9,8 до 10,3 мм; б) интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадает размер диаметра наугад взятого валика.

Литература: 1, гл. 5. С. 81-95.

2, гл. 2. С. 78-80.

Решение. Диаметр валика - случайная величина Х, имеющая нормальный закон распределения со следующими параметрами:

; .

а) Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой

,

Здесь значения функции Лапласа Ф (3) и Ф (2) найдены по прил. 2.

б) Найдем искомый интервал с помощью формулы

.

Учитывая, что неравенство равносильно неравенству , получим .

По условию эта вероятность равна 0,9973, следовательно:

.

По таблице значений функции Лапласа (прил. 2) находим . Отсюда, . Таким образом, или . Искомый интервал - (9,7; 10,3) мм.

Задание 5. На ферме по схеме случайного повторного отбора были отобраны 100 коров. Распределение их по дневному надою (Х, л) следующее:

 

Дневной надой, л
Число коров

Вычислить выборочные характеристики: средний надой, моду, медиану, размах вариации, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Литература: 1, гл. 7. С. 125-130.

2, гл. 4. С. 110-114.

Решение. Признак Х - дневной надой коров. Для расчета выборочных характеристик данного распределения удобнее использовать таблицу:

Дневной надой (хi, л)	Число коров (mi)	хi mi	Н (хi)	(хi - )2 mi	хi 2 mi
				63,48 54,08 18,72 58,80 80,92
Итого			-	276,00

11,6 (л) - средний дневной надой коров данной фермы.

Легко убедиться, что в случае дискретного признака Х в ранжированном вариационном ряду x_j = x_i при Н (х_i) + 1 £ j £ Н (х_{i +1}). Для рассматриваемого примера: x_j = 11 при 12£ j £ 63.

Объем выборки n = 100 - число четное. Пусть n = 2 j, тогда j = 50. Поэтому медиана

11 (л).

Частота достигает максимума: m_i = m _max = 52 при x_i = 11, поэтому мода

х _мо = 11 (л).

Очевидно, х _мo= х _ме¹ . Таким образом, распределение признака Х асимметричное.

Размах вариации R = х _max - х _min = 15 - 7 = 8 (л).

Дисперсию можно вычислить двумя способами:

1)

2)

= 137,32 - (11,6)² = 2,76.

Среднее квадратическое отклонение (л) (дневной надой каждой коровы данной фермы отклоняется от среднего дневного надоя коров в среднем на 1,67 л).

Коэффициент вариации »14,32 %.

На практике считают, что если < 33 %, то совокупность однородная. В данном случае исследуемая совокупность однородная.

Замечание. Если в условии задан интервальный ряд распределения признака Х, то сначала необходимо перейти к дискретному ряду, заменив интервалы их серединами.

 

Задание 6а. Установить при уровне значимости 0,05, случайно или значимо расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами, которые вычислены, исходя из предположения, что некоторый признак Х распределен нормально:

Литература: 1, гл. 9. С. 148-160.

2, гл. 5. С. 135-145.

Решение. Выдвигаем нулевую гипотезу Н ₀ и ей конкурирующую Н ₁.

Н ₀: признак Х имеет нормальный закон распределения.

Н ₁: признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального.

В данном случае рассматривается правосторонняя критическая область. Проверим гипотезу с помощью случайной величины , которая имеет распределение c ² с k = s - 3 = 7 - 3 = 4 степенями свободы. Вычислим наблюдаемое значение критерия c ² по выборочным данным. Расчеты представим в таблице:

			1,78 1,64 0,13 1,33 0,25 12,25 0,33
Итого			17,71

Итак, » 17,71. По прил. 3 находим критическое значение (0,05; 4) = 9,5. Сравниваем и (0,05;4).

Так как > (0,05; 4), то есть наблюдаемое значение критерия попало в критическую область, нулевая гипотеза отвергается, справедлива конкурирующая гипотеза, то есть признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами значимо.

 

Задание 6б. На предприятии разработаны два метода изготовления определенной продукции. Для проверки - одинаково ли материалоемки эти методы - собраны статистические данные о расходе сырья в расчете на единицу готовой продукции в процессе работы обоими методами. Получены следующие данные. При работе первым методом: количество наблюдений n _x = 9, среднее значение _в = 3,8, исправленное среднее квадратическое отклонение S_x = 0,6; при работе вторым методом: количество наблюдений n _y = 8, среднее значение _в = 2,7, исправленное среднее квадратическое отклонение S_y = 0,5. Согласно имеющимся данным проверить гипотезу о том, что средний удельный расход сырья при работе обоими методами одинаков, считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей. Уровень значимости a = 0,05.

Литература: 1, гл. 9. С. 161-172.

2, гл. 5. С. 152-155, 158-163.

Решение. Даны совокупности Х и Y, имеющие нормальный закон распределения, где Х - расход сырья при работе первым методом, Y - расход сырья при работе вторым методом. Требуется проверить гипотезу: Н ₀: М (Х) = М (Y).

Так как о генеральных дисперсиях ничего неизвестно, то с помощью случайной величины , которая имеет распределение Фишера - Снедекора с k ₁ = n _х - 1 = 8 и k ₂ = n _y - 1 = 7 степенями свободы (n ₁ = n _х, так как = (0,6)² = 0,36, больше чем = (0,5)² = 0,25) предварительно проверим вспомогательную нулевую гипотезу:

Н ₀: D (Х) = D (Y) при Н ₁: D (Х) > D (Y).

Находим F _набл = = 1,44. По прил. 5 определим критическое значение F _крит(a, k ₁, k ₂) = F _крит(0,05; 8; 7) = 3,73.

Сравниваем F _набл и F _крит(0,05; 8; 7). Так как F _набл < F _крит(0,05; 8; 7), то есть F _набл попало в область принятия гипотезы, нет оснований отвергать нулевую гипотезу, по данным наблюдения D (Х) = D (Y), расхождение между исправленными выборочными дисперсиями ( и ) случайное. Следовательно, можно проверить основную гипотезу.

Предварительно выбираем конкурирующую гипотезу. В данном случае их может быть две: 1) Н ₁: М (Х) ¹ М (Y) (двусторонняя критическая область); 2) Н ₁: М (Х) > М (Y), так как _в > _в (правосторонняя критическая область).

Проверяем гипотезу Н ₀ в первом случае:

Н ₀: М (Х) = М (Y), Н ₁: М (Х) ¹ М (Y).

Для проверки используется случайная величина

которая имеет распределение Стьюдента с k = n _x + n _y - 2 = 9 + 8 - 2 = 15 степенями свободы.

Вычислим Т _набл » 4,075.

По таблице критических точек распределения Стьюдента (прил. 4) находим t _{крит.дв}(0,05; 15) = 2,13 (при двусторонней критической области). Сравниваем Т _набл и t _{крит.дв}(0,05; 15). Так как ½ Т _набл½> t _{крит.дв}(0,05; 15), то есть Т _набл попало в критическую область, нулевая гипотеза отвергается, справедлива конкурирующая: М (Х) ¹ М (Y), следовательно, расхождение между выборочными средними значимо. Таким образом, средний удельный расход сырья при работе обоими методами различен.

Проверим гипотезу Н ₀ во втором случае:

Н ₀: М (Х) = М (Y), Н ₁: М (Х) > М (Y).

Так как Т _набл» 4,075, t _{крит.пр}(0,05; 15) = 1,75 (при односторонней (правосторонней) критической области), то Т _набл > t _{крит.пр}(0,05; 15), то есть Т _набл попало в критическую область, вывод аналогичен предыдущему.

Замечание. В контрольную работу входит либо задание 6а, либо задание 6б (см. свой вариант).

Задание 7. В результате исследования зависимости выпуска валовой продукции (Y, тыс. руб.) от основных фондов (Х, тыс. руб.) однотипных предприятий получены следующие данные:

Х
Y

Полагая, что между Х и Y имеет место линейная зависимость, определить выборочный коэффициент корреляции, объяснить его смысл, проверить значимость коэффициента корреляции при уровне значимости 0,05. Построить уравнение регрессии и объяснить его. Вычислить предполагаемый выпуск валовой продукции, если основные фонды составят 80 тыс. руб.

Литература: 1, гл. 10. С. 182-196.

2, гл. 6. С. 177-182.

Решение. Признак Х - основные фонды, тыс. руб. (факторный признак). Признак Y - выпуск валовой продукции, тыс. руб. (результативный признак). Предполагаем, что признаки имеют нормальный закон распределения. Признаки находятся в статистической зависимости, так как выпуск валовой продукции зависит не только от основных фондов, но и от многих других факторов, которые в данном случае не учитываются. Определим форму связи. Построим точки с координатами (х_i, y_i) и по их расположению определим форму связи (см. рисунок).

Рис.

Итак, форма связи линейная.

Проведем корреляционный анализ. Вычислим выборочный линейный коэффициент корреляции:

.

Расчеты представим в таблице:

	хi	yi	хi × yi
Итого

.

Таким образом,

Проверим значимость выборочного коэффициента корреляции. Для этого выдвигаем гипотезы:

Н ₀: r _ген = 0, Н ₁: r _ген ¹ 0.

Уровень значимости .

Для проверки нулевой гипотезы используем случайную величину , имеющую распределение Стьюдента с k = n - 2 = 3 степенями свободы. По выборочным данным найдем наблюдаемое значение критерия Т _набл = » 8,53. По таблице критических точек распределения Стьюдента определим t _{крит.дв}(0,05; 3) = 3,18. Сравниваем Т _набл и t _крит(0,05; 3). Так как ½ Т _набл½ > t _{крит.дв}(0,05; 3), то есть Т _набл попало в критическую область, нулевая гипотеза отвергается, справедлива конкурирующая гипотеза: r _ген ¹ 0. Признаки Х и Y коррелированны, r _в значим. Так как ½ r _в½ близок к единице, следовательно, выпуск валовой продукции и основные фонды находятся в тесной корреляционной зависимости.

Найдем коэффициент детерминации. D = r _в² × 100 % = 95,8 %, то есть вариация выпуска валовой продукции в среднем на 95,8 % объясняется вариацией основных фондов.

Выразим эту связь аналитически в виде линейного уравнения регрессии:

- » a ₁(х - ),

;

или .

Таким образом, - 10,8» 0,31 (x - 35) или » 0,31 x - 0,05.

Из уравнения следует, что с увеличением основных фондов на 1 тыс. руб. выпуск валовой продукции увеличится в среднем на 0,31 тыс. руб.

Найдем по уравнению регрессии выпуск валовой продукции, если основные фонды составят 80 тыс. руб.:

» 0,31 × 80 - 0,05 = 24,75 (тыс. руб.)

варианты Контрольной работы

 

Вариант № 1

(Первая буква фамилии студента: Щ, Э, Ю, Я)

1. В партии готовой продукции, состоящей из 25 деталей, 5 бракованных. Определить вероятность того, что при случайном выборе четырех деталей: а) все окажутся небракованными; б) бракованных и небракованных изделий будет поровну.

2. В городе три коммерческих банка, оценка надежности которых 0,95; 0,90 и 0,85, соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития города администрацию интересует ответ на вопрос: какова вероятность того, что в течение года: а) обанкротятся все три банка; б) обанкротится хотя бы один банк.

3. В ящике находятся изделия, сделанные на трех станках: 20 - на первом станке, 18 - на втором и 14 - на третьем. Вероятности того, что изделия, изготовленные на первом, втором и третьем станках, отличного качества, соответственно, равны 0,7; 0,85; 0,9. Взятое наудачу изделие оказалось отличного качества. Какова вероятность того, что оно изготовлено на втором станке?

4. Диаметр деталей, изготовленных автоматом, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Дисперсия ее равна 4 мм², а математическое ожидание - 20,5 мм. Найти вероятность брака, если допустимые размеры диаметра должны быть (20±3) мм.

5. Группа рабочих изготавливает одинаковую продукцию. Дан ряд распределения рабочих по числу изготавливаемых за смену деталей:

Число деталей
Число рабочих

Вычислить выборочные среднюю, размах вариации, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

6. В результате специального обследования получено выборочное распределение стажа работников завода (Х - стаж работы, лет; - эмпирические частоты; - теоретические частоты нормального распределения):

x i

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки.

7. Средняя урожайность пшеницы и глубина вспашки по фермерским хозяйствам даны в следующей таблице:

Глубина вспашки, см
Средняя урожайность, ц\га	8,1	8,3	8,2	9,1	10,3	10,8

При a = 0,05 проверить значимость корреляционной связи глубины вспашки и средней урожайности пшеницы. Если связь значима, составить уравнение регрессии. Объяснить его. Спрогнозировать урожайность пшеницы при глубине вспашки в 11,5 см.

 

Вариант № 2

(Первая буква фамилии студента: Ц, Ч, Ш)

1. Из партии, в которой 10 деталей без дефектов и 5 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность того, что: а) все 3 детали без дефектов; б) по крайней мере, одна деталь без дефектов.

2. В автопробеге участвуют три автомобиля. Первый может сойти с маршрута с вероятностью 0,15; второй и третий не дойдут до финиша, соответственно, с вероятностью 0,05 и 0,1. Требуется определить вероятность того, что до финиша дойдут: а) только один автомобиль; б) два автомобиля; в) по крайней мере, два автомобиля.

3. Часы изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40% продукции, второй - 45%, а третий - 15 %. В продукции первого завода не спешат 80% часов, второго - 70% и третьего- 90%. Какова вероятность того, что купленные часы спешат?

4. Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001 см², математическое ожидание - 2,5 см. В каких границах с вероятностью 0,98 можно гарантировать диаметр детали?

5. Имеются выборочные данные о дневном сборе хлопка (Х, кг):

Х	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45
Число сборщиков

Вычислить выборочные среднюю, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

6. В результате специального обследования получено выборочное распределение времени простоя фрезерных станков одного цеха (Х - время простоя, мин; - эмпирические частоты; - теоретические частоты нормального распределения):

x i	5,5	10,5	15,5	20,5	25,5	30,5	35,5

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки.

7. Имеются следующие данные по группе предприятий о выпуске продукции (Х, тыс. шт.) и себестоимости одного изделия (Y, руб.):

 

Х	2,0	3,5	4,0	4,5	5,5	6,0
Y	1,9	1,7	1,8	1,6	1,5	1,4

Вычислить коэффициент корреляции на основе этих данных. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции в генеральной совокупности. Построить уравнение линейной регрессионной зависимости и объяснить его смысл. Спрогнозировать среднюю себестоимость одного изделия при выпуске 6,5 тыс. шт.

Вариант № 3

(Первая буква фамилии студента: У, Ф, Х)

1. Партия состоит из 10 деталей I сорта, 7 деталей II сорта и 5 деталей III сорта. Наудачу берутся 2 детали. Какова вероятность того, что детали будут одного сорта?

2. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго - 0,8, для третьего - 0,9. Найти вероятность того, что: а) все трое промахнутся; б) только один стрелок попадет в цель.

3. Электролампы поставляются магазину тремя заводами. В очередной раз первый завод поставил 100 шт., второй - 150 шт., а третий - 200 шт. Продукция первого завода содержит 97% стандартных ламп, второго - 98%. Продукция третьего завода содержит только стандартные изделия. Определить вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется нестандартной.

4. Диаметр стальных стержней, выпускаемых цехом, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием 75 мм и средним квадратическим отклонением 0,3 мм. Найти вероятность брака, если допустимые размеры диаметра стержня (75±0,5) мм.

5. Дано распределение времени простоя станка за смену (Х, мин):

Х	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
Число станков

Вычислить выборочные среднюю, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

6. В результате обследования получено следующее распределение дневной выручки от продажи продукции в промтоварных магазинах (Х - дневная выручка, руб.; - эмпирические частоты (число магазинов); - теоретические частоты, вычисленные в предположении о нормальном законе распределения):

x i

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности.

7. Определить тесноту связи общего веса некоторого растения (Х, г) и веса его семян (Y, г) на основе следующих выборочных данных:

Х
Y

Проверить значимость коэффициента корреляции при a = 0,05. Построить линейное уравнение регрессии и объяснить его.

 

Вариант № 4

(Первая буква фамилии студента: С, Т)

1. Собрание, на котором присутствуют 25 чел., в том числе 9 женщин, выбирает делегацию из трех человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут: а) две женщины и один мужчина; б) хотя бы одна женщина.

2. К испытываемому устройству подключены три прибора. Вероятности выхода из строя прибора, соответственно, равны: 0,3; 0,2; 0,15. Найти вероятность того, что за время проведения испытаний останутся работоспособными: а) один прибор; б) два прибора; в) хотя бы два прибора.

3. Количество продукции, поступающей на механическую обработку от трех литейных цехов, определяется соотношением 3: 4: 5. На 100 единиц продукции первого цеха приходится в среднем 3 единицы брака, второго и третьего цехов, соответственно, 2 и 4 единицы. Наудачу взятая отливка оказалась годной. Какова вероятность того, что она отлита во втором цехе?

4. В некоторой партии гаек средний диаметр оказался равным 82,6 мм, а среднее квадратическое отклонение 1,2 мм. Считая, что размер диаметра гайки подчиняется нормальному закону распределения, найти поле допуска, если брак составляет 1,24%.

5. В результате выборочного обследования получено распределение времени на выполнение технологической операции (Х, с) 20 рабочими:

Х	25-30	30-35	35-40	40-45	45-50
Число рабочих

Вычислить выборочные среднюю, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

6. В результате обследования получено выборочное распределение времени, затрачиваемого операторами бухгалтерских машин на обработку документов складского учета (Х - время, с; - эмпирические частоты (количество документов); - теоретические частоты, вычисленные в предположении о нормальном законе распределения):

x i

Используя критерий Пирсона, при a = 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности с эмпирическим распределением выборки.

7. Представлены данные, отражающие статистическую связь издержек обращения (Y, тыс. руб.) и товарооборота (Х, тыс. руб.):

Y	5,0	5,2	5,8	6,4	6, 6	7,0
Х	17,6	17,5	18,0	18,1	18,2	18,5

При a = 0,1 проверить значимость указанной статистической связи. Построить уравнение регрессии, объяснить его. Спрогнозировать издержки обращения при заданном товарообороте в 17,9 тыс. руб.

Вариант № 5

(Первая буква фамилии студента: П, Р)

1. Группа студентов-спортсменов, состоящая из 5 студентов II курса и 4 студентов III курса, проводит тренировку. Одновременно тренируются двое. Какова вероятность того, что, войдя случайно на тренировку, мы застанем тренирующимися двух студентов одного курса?

2. Служба контроля качества проверяет партии деталей, изготовленных тремя рабочими. Вероятность того, что будет признана годной партия, изготовленная первым рабочим, составляет 0,97, вторым и третьим рабочим, соответственно, 0,95 и 0,92. Какова вероятность того, что среди партий деталей окажутся забракованными: а) одна партия деталей; б) две партии деталей; в) хотя бы одна партия деталей?

3. На двух станках изготавливают одинаковые детали. Вероятность того, что изготовленная деталь стандартная, для первого станка равна 0,8; для второго - 0,9. Производительность второго станка вдвое больше производительности первого. Найти вероятность того, что взятая наудач