Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-12-10 | 133 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
, (9)
где и - постоянные действительные числа.
Непосредственно можно доказать, что справедлива следующая теорема.
Теорема 2.1 Если функции и являются решениями уравнения (9), то функция также является решением этого уравнения при любых значениях постоянных и .
Из теоремы 2.1, как следствие, вытекает, что если и - решения уравнения (9), то решениями его будут также функции и . Итак, функции вида с произвольными постоянными и являются решениями уравнения (9). Естественно возникает вопрос, не является ли выражение общим решением уравнения (9)? Для ответа на вопрос введем понятия линейной зависимости и линейной независимости функций и .
Функции и называются линейно зависимыми на , если существуют такие числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для имеет место равенство
(10)
Очевидно, что функции и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. выполняется равенство , или const.
Функции и называются линейно независимыми на , если не существуют таких чисел , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для имеет место равенство (10). Другими словами, равенство (10) выполняется для тогда и только тогда, когда .
Например, функции и линейно зависимы: const; функции и - линейно независимы:
const.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2.2 (о структуре общего решения однородного уравнения). Если два частных решения и уравнения (9) являются линейно независимыми на , то общее решение этого уравнения имеет вид
, (11)
где и - произвольные постоянные.
|
Из теоремы 2.2 следует, что для отыскания общего решения уравнения (9) достаточно найти два линейно независимых частных решения и составить выражения (11) с произвольными постоянными и .
Будем искать эти частные решения уравнения (9) в виде
, (12)
где const. Здесь - действительное или комплексное число, подлежащее определению. Тогда , . Подставляя эти выражения в уравнение (9), получим . Отсюда, учитывая, что , имеем:
(13)
Уравнение (13) называется характеристическим уравнением линейного однородного уравнения (9). Заметим, что характеристическое уравнение получается из дифференциального заменой на , на и на 1. Характеристическое уравнение (13) и дает возможность найти параметр .
Уравнение (13) является квадратным уравнением и возможны три случая.
Случай 1. Корни и действительные и различные: ().
В этом случае по формуле (12) получим два частных решения , которые являются линейно независимыми.
Действительно,
const.
По теореме 2.2 следует, что общее решение уравнения (9) будет
(14)
Пример 5 Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .
Решение: Составляем характеристическое уравнение , откуда . Поэтому общее решение есть . Найдем частное решение, т.е. постоянные и .
Дифференцируя общее решение, получим .
Согласно заданным начальным условиям имеем:
Таким образом, искомое частное решение имеет вид
Случай 2. Корни характеристического уравнения (13) действительные и равные: .
В этом случае имеем лишь одно частное решение . Вторым частным решением является функция (докажите самостоятельно!)
Заметим, что решения и линейно независимы:
const.
Следовательно, общее решение уравнения (9) имеет вид
(15)
Пример 6 Найти общее решение уравнения
Решение: Характеристическое уравнение
имеет действительные и равные корни . Поэтому согласно формуле (15) искомое общее решение имеет вид .
Случай 3. Корни характеристического уравнения (13) комплексные:
|
Можно доказать, что следующие функции
,
являются решениями уравнения (9). Эти решения линейно независимы, так как сonst. Поэтому общее решение уравнения (9) в случае комплексных корней имеет вид
(16)
Пример 7 Найти общее решение уравнения
Решение: Характеристическое уравнение имеет вид . Находим его корни:
Отсюда . Поэтому . Согласно формуле (16) общее решение имеет вид .
Вывод: Таким образом, нахождение общего решения однородного уравнения (9) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (13) и использованию формул (14)-(16) общего решения уравнения.
Задания для самостоятельного решения
Найти общие решения уравнений:
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
5) ,
6) ,
7) ,
8) ,
9) ,
10) .
Найти решения задач Коши:
11) , , ;
12) , , ;
13) , , ;
14) , , .
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!