Признаки равенства прямоугольных треугольников

В курсе геометрии 7 класса были изучены, а на прошлом уроке – повторены, так называемые признаки равенства треугольников. Напомним их:

1-й признак (по 2 сторонам и углу между ними): если у треугольников равны две стороны и угол между ними, то такие треугольники равны между собой.

2-й признак (по стороне и двум прилежащим углам): если у треугольников равны сторона и два угла, прилежащие к данной стороне, то такие треугольники равны между собой. Примечание: пользуясь тем, что сумма углов треугольника постоянна и равна , легко доказать, что условие «прилежания» углов не является необходимым, то есть признак будет верен и в такой формулировке: «… равны сторона и два угла, то …».

3-й признак (по 3 сторонам): если у треугольников равны все три стороны, то такие треугольники равны между собой.

Естественно, все эти признаки остаются верными и для прямоугольных треугольников. Однако у прямоугольных треугольников есть одна существенная особенность – у них всегда есть пара равных прямых углов. Поэтому данные признаки для них упрощаются. Итак, сформулируем признаки равенства прямоугольных треугольников:

1-й признак (по двум катетам): если у прямоугольных треугольников катеты попарно равны, то такие треугольники равны между собой (см. Рис. 2).

Дано:

Рис. 2. Иллюстрация первого признака равенства прямоугольных треугольников

Доказать:

Доказательство: вспомним, что в прямоугольных треугольниках: . Значит, мы можем воспользоваться первым признаком равенства треугольников (по 2 сторонам и углу между ними) и получить: .

Доказано.

2 -й признак (по катету и углу): если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (см. Рис. 3).

Дано:

Рис. 3. Иллюстрация второго признака равенства прямоугольных треугольников

Доказать:

Доказательство: сразу отметим, что тот факт, что равны углы, прилежащие к равным катетам, не является принципиальным. Действительно, сумма острых углов прямоугольного треугольника (по свойству 1) равна . Значит, если равна одна пара из этих углов, то равна и другая (так как их суммы одинаковы).

Доказательство же данного признака сводится к использованию второго признака равенства треугольников (по 2 углам и стороне). Действительно, по условию равны катеты и пара прилежащих к ним углов. Но вторая пара прилежащих к ним углов состоит из углов . Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников и получить: .

Доказано.

3-й признак (по гипотенузе и углу): если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (см. Рис. 4).

Дано:

Рис. 4. Иллюстрация третьего признака равенства прямоугольных треугольников

Доказать:

Доказательство: для доказательства этого признака можно сразу воспользоваться вторым признаком равенства треугольников – по стороне и двум углам (точнее, следствием, в котором указано, что углы не обязательно должны быть прилежащими к стороне). Действительно, по условию: , , а из свойств прямоугольных треугольников следует, что . Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников, и получить: .

Доказано.

4-й признак (по гипотенузе и катету): если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (см. Рис. 5).

Дано:

Рис. 5. Иллюстрация четвёртого признака равенства прямоугольных треугольников

Доказать:

Доказательство: для доказательства этого признака воспользуемся признаком равенства треугольников, который мы сформулировали и доказали на прошлом уроке, а именно: если у треугольников равны две стороны и больший угол, то такие треугольники являются равными. Действительно, по условию у нас есть две равных стороны. Кроме того, по свойству прямоугольных треугольников: . Осталось доказать, что прямой угол является наибольшим в треугольнике. Предположим, что это не так, значит, должен быть ещё хотя бы один угол, который больше . Но тогда сумма углов треугольника уже будет больше . Но это невозможно, а, значит, такого угла в треугольнике быть не может. Значит, прямой угол является наибольшим в прямоугольным треугольнике. А значит, можно воспользоваться сформулированным выше признаком, и получить: .

Доказано.

Сформулируем теперь ещё одно свойство, характерное только для прямоугольных треугольников.

Свойство

Катет, лежащий против угла в , в 2 раза меньше гипотенузы (см. Рис. 6).

Дано:

Рис. 6.

Доказать:AB

Доказательство: выполним дополнительное построение: продлим прямую за точку на отрезок, равный . Получим точку . Так как углы и – смежные, то их сумма равна . Поскольку , то и угол .

Значит, прямоугольные треугольники (по двум катетам: – общий, – по построению) – первый признак равенства прямоугольных треугольников.

Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Значит, . Откуда: . Кроме того, (из равенства всё тех же треугольников). Значит, треугольник – равнобедренный (так как у него равны углы при основании), но равнобедренный треугольник, один из углов которого равен , – равносторонний. Из этого следует, в частности, что , что и требовалось доказать.

Доказано.

4. Свойство катета, лежащего против угла в

Стоит отметить, что верно и обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике гипотенуза в два раза больше одного из катетов, то острый угол, лежащий напротив этого катета, равен .

Сформулируем ещё один важный признак прямоугольного треугольника.

Примечание: признак означает, что если какое-то утверждение верно, то треугольник является прямоугольным. То есть признак позволяет идентифицировать прямоугольный треугольник.

Важно не путать признак со свойством – то есть, если треугольник прямоугольный, то у него есть такие свойства… Часто признаки и свойства являются взаимно обратными, но далеко не всегда. Например, свойство равностороннего треугольника: в равностороннем треугольнике есть угол . Но это не будет признаком равностороннего треугольника, так как не любой треугольник, у которого есть угол , является равносторонним.

Можно привести и более жизненный пример: свойство слова «хлеб» – в слове «хлеб» 4 буквы. Но наличие 4 букв не является признаком слова «хлеб», так как существует множество слов из 4 букв.

5. Признак прямоугольного треугольника (медиана равна половине стороны, к которой проведена)

Итак, признак прямоугольного треугольника:

Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник является прямоугольным, причём медиана проведена из вершины прямого угла.

Примечание: напомним, что медиана – линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны (см. Рис. 7).

Дано:

Рис. 7.

Доказать:

Доказательство: поскольку , то треугольники – равнобедренные. Значит, углы при основаниях каждого из этих треугольников равны. То есть, , . Тогда сумма углов треугольника равна Значит, . Но: , что и требовалось доказать.

Доказано.

В данном уроке мы рассмотрели основные свойства прямоугольных треугольников, изученные ранее в 7 классе. В частности, вспомнили признаки равенства, а также другие признаки и свойства прямоугольных треугольников.

Домашнее задание

1. В прямоугольном треугольнике , – биссектриса, . Найти длину катета , если см.

2. На гипотенузе прямоугольного треугольника обозначили точку так, что . Докажите, что точка равноудалена от точек , и .

3. Найти острые углы прямоугольного треугольника, если они относятся как 5:13.

4. Медиана , проведенная к гипотенузе, равняется см. .

5. В треугольнике , – биссектриса, . Отрезок на см меньше отрезка . Найти биссектрису .

 

Урок 5: Мно­го­уголь­ни­ки

На этом уроке мы при­сту­пим уже к новой теме и вве­дем новое для нас по­ня­тие «мно­го­уголь­ник». Мы рас­смот­рим ос­нов­ные по­ня­тия, свя­зан­ные с мно­го­уголь­ни­ка­ми: сто­ро­ны, вер­ши­ны углы, вы­пук­лость и невы­пук­лость. Затем до­ка­жем важ­ней­шие факты, такие как тео­ре­ма о сумме внут­рен­них углов мно­го­уголь­ни­ка, тео­ре­ма о сумме внеш­них углов мно­го­уголь­ни­ка. В итоге, мы вплот­ную по­дой­дем к изу­че­нию част­ных слу­ча­ев мно­го­уголь­ни­ков, ко­то­рые будут рас­смат­ри­вать­ся на даль­ней­ших уро­ках.

1. По­ня­тие «мно­го­уголь­ник»

В курсе гео­мет­рии мы изу­ча­ем свой­ства гео­мет­ри­че­ских фигур и уже рас­смот­ре­ли про­стей­шие из них: тре­уголь­ни­ки и окруж­но­сти. При этом мы об­суж­да­ли и кон­крет­ные част­ные слу­чаи этих фигур, такие как пря­мо­уголь­ные, рав­но­бед­рен­ные и пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки. Те­перь при­шло время по­го­во­рить о более общих и слож­ных фи­гу­рах – мно­го­уголь­ни­ках.

С част­ным слу­ча­ем мно­го­уголь­ни­ков мы уже зна­ко­мы – это тре­уголь­ник (см. Рис. 1).

Рис. 1. Тре­уголь­ник

В самом на­зва­нии уже под­чер­ки­ва­ет­ся, что это фи­гу­ра, у ко­то­рой три угла. Сле­до­ва­тель­но, в мно­го­уголь­ни­ке их может быть много, т.е. боль­ше, чем три. На­при­мер, изоб­ра­зим пя­ти­уголь­ник (см. Рис. 2), т.е. фи­гу­ру с пятью уг­ла­ми.

Рис. 2. Пя­ти­уголь­ник. Вы­пук­лый мно­го­уголь­ник

Опре­де­ле­ние. Мно­го­уголь­ник – фи­гу­ра, со­сто­я­щая из несколь­ких точек (боль­ше двух) и со­от­вет­ству­ю­ще­го ко­ли­че­ства от­рез­ков, ко­то­рые их по­сле­до­ва­тель­но со­еди­ня­ют. Эти точки на­зы­ва­ют­ся вер­ши­на­ми мно­го­уголь­ни­ка, а от­рез­ки – сто­ро­на­ми. При этом ни­ка­кие две смеж­ные сто­ро­ны не лежат на одной пря­мой и ни­ка­кие две несмеж­ные сто­ро­ны не пе­ре­се­ка­ют­ся.

Опре­де­ле­ние. Пра­виль­ный мно­го­уголь­ник – это вы­пук­лый мно­го­уголь­ник, у ко­то­ро­го все сто­ро­ны и углы равны.

Любой мно­го­уголь­ник раз­де­ля­ет плос­кость на две об­ла­сти: внут­рен­нюю и внеш­нюю. Внут­рен­нюю об­ласть также от­но­сят к мно­го­уголь­ни­ку.

Иными сло­ва­ми, на­при­мер, когда го­во­рят о пя­ти­уголь­ни­ке , имеют в виду и всю его внут­рен­нюю об­ласть, и гра­ни­цу. А ко внут­рен­ней об­ла­сти от­но­сят­ся и все точки, ко­то­рые лежат внут­ри мно­го­уголь­ни­ка, т.е. точка тоже от­но­сит­ся к пя­ти­уголь­ни­ку (см. Рис. 2).

Мно­го­уголь­ни­ки еще ино­гда на­зы­ва­ют n-уголь­ни­ка­ми, чтобы под­черк­нуть, что рас­смат­ри­ва­ет­ся общий слу­чай на­ли­чия ка­ко­го-то неиз­вест­но­го ко­ли­че­ства углов (n штук).

Опре­де­ле­ние. Пе­ри­метр мно­го­уголь­ни­ка – сумма длин сто­рон мно­го­уголь­ни­ка.

Те­перь надо по­зна­ко­мить­ся с ви­да­ми мно­го­уголь­ни­ков. Они де­лят­ся на вы­пук­лые и невы­пук­лые. На­при­мер, мно­го­уголь­ник, изоб­ра­жен­ный на Рис. 2, яв­ля­ет­ся вы­пук­лым, а на Рис. 3 невы­пук­лым.

Рис. 3. Невы­пук­лый мно­го­уголь­ник

2. Вы­пук­лые и невы­пук­лые мно­го­уголь­ни­ки

Опре­де­ле­ние 1. Мно­го­уголь­ник на­зы­ва­ет­ся вы­пук­лым, если при про­ве­де­нии пря­мой через любую из его сто­рон весь мно­го­уголь­ник лежит толь­ко по одну сто­ро­ну от этой пря­мой. Невы­пук­лы­ми яв­ля­ют­ся все осталь­ные мно­го­уголь­ни­ки.

Легко пред­ста­вить, что при про­дле­нии любой сто­ро­ны пя­ти­уголь­ни­ка на Рис. 2 он весь ока­жет­ся по одну сто­ро­ну от этой пря­мой, т.е. он вы­пук­лый. А вот при про­ве­де­нии пря­мой через в че­ты­рех­уголь­ни­ке на Рис. 3 мы уже видим, что она раз­де­ля­ет его на две части, т.е. он невы­пук­лый.

Но су­ще­ству­ет и дру­гое опре­де­ле­ние вы­пук­ло­сти мно­го­уголь­ни­ка.

Опре­де­ле­ние 2. Мно­го­уголь­ник на­зы­ва­ет­ся вы­пук­лым, если при вы­бо­ре любых двух его внут­рен­них точек и при со­еди­не­нии их от­рез­ком все точки от­рез­ка яв­ля­ют­ся также внут­рен­ни­ми точ­ка­ми мно­го­уголь­ни­ка.

Де­мон­стра­цию ис­поль­зо­ва­ния этого опре­де­ле­ния можно уви­деть на при­ме­ре по­стро­е­ния от­рез­ков на Рис. 2 и 3.

Опре­де­ле­ние. Диа­го­на­лью мно­го­уголь­ни­ка на­зы­ва­ет­ся любой от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий две не со­сед­ние его вер­ши­ны.

3. Тео­ре­ма о сумме внут­рен­них углов вы­пук­ло­го n-уголь­ни­ка

Для опи­са­ния свойств мно­го­уголь­ни­ков су­ще­ству­ют две важ­ней­шие тео­ре­мы об их углах: тео­ре­ма о сумме внут­рен­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка и тео­ре­ма о сумме внеш­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка. Рас­смот­рим их.

Тео­ре­ма. О сумме внут­рен­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка (n-уголь­ни­ка).

, где – ко­ли­че­ство его углов (сто­рон).

До­ка­за­тель­ство 1. Изоб­ра­зим на Рис. 4 вы­пук­лый n-уголь­ник.

Рис. 4. Вы­пук­лый n-уголь­ник

Из вер­ши­ны про­ве­дем все воз­мож­ные диа­го­на­ли. Они делят n-уголь­ник на тре­уголь­ни­ка, т.к. каж­дая из сто­рон мно­го­уголь­ни­ка об­ра­зу­ет тре­уголь­ник, кроме сто­рон, при­ле­жа­щих к вер­шине . Легко ви­деть по ри­сун­ку, что сумма углов всех этих тре­уголь­ни­ков как раз будет равна сумме внут­рен­них углов n-уголь­ни­ка. По­сколь­ку сумма углов лю­бо­го тре­уголь­ни­ка – , то сумма внут­рен­них углов n-уголь­ни­ка:

, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­тель­ство 2. Воз­мож­но и дру­гое до­ка­за­тель­ство этой тео­ре­мы. Изоб­ра­зим ана­ло­гич­ный n-уголь­ник на Рис. 5 и со­еди­ним любую его внут­рен­нюю точку со всеми вер­ши­на­ми.

Рис. 5.

Мы по­лу­чи­ли раз­би­е­ние n-уголь­ни­ка на n тре­уголь­ни­ков (сколь­ко сто­рон, столь­ко и тре­уголь­ни­ков). Сумма всех их углов равна сумме внут­рен­них углов мно­го­уголь­ни­ка и сумме углов при внут­рен­ней точке, а это угол . Имеем:

, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­но.

По до­ка­зан­ной тео­ре­ме видно, что сумма углов n-уголь­ни­ка за­ви­сит от ко­ли­че­ства его сто­рон (от n). На­при­мер, в тре­уголь­ни­ке , а сумма углов . В че­ты­рех­уголь­ни­ке , а сумма углов – и т.д.

4. Тео­ре­ма о сумме внеш­них углов вы­пук­ло­го n-уголь­ни­ка

Тео­ре­ма. О сумме внеш­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка (n-уголь­ни­ка).

, где – ко­ли­че­ство его углов (сто­рон), а , …, – внеш­ние углы.

До­ка­за­тель­ство. Изоб­ра­зим вы­пук­лый n-уголь­ник на Рис. 6 и обо­зна­чим его внут­рен­ние и внеш­ние углы.

Рис. 6. Вы­пук­лый n-уголь­ник с обо­зна­чен­ны­ми внеш­ни­ми уг­ла­ми

Т.к. внеш­ний угол свя­зан со внут­рен­ним как смеж­ные, то и ана­ло­гич­но для осталь­ных внеш­них углов. Тогда:

.

В ходе пре­об­ра­зо­ва­ний мы вос­поль­зо­ва­лись уже до­ка­зан­ной тео­ре­мой о сумме внут­рен­них углов n-уголь­ни­ка .

До­ка­за­но.

Из до­ка­зан­ной тео­ре­мы сле­ду­ет ин­те­рес­ный факт, что сумма внеш­них углов вы­пук­ло­го n-уголь­ни­ка равна от ко­ли­че­ства его углов (сто­рон). Кста­ти, в от­ли­чие от суммы внут­рен­них углов.

Далее мы более по­дроб­но будем ра­бо­тать с част­ным слу­ча­ем мно­го­уголь­ни­ков – че­ты­рех­уголь­ни­ка­ми. На сле­ду­ю­щем уроке мы по­зна­ко­мим­ся с такой фи­гу­рой, как па­рал­ле­ло­грамм, и об­су­дим его свой­ства.

До­маш­нее за­да­ние

1. Су­ще­ству­ет ли вы­пук­лый мно­го­уголь­ник, сумма углов ко­то­ро­го равна: а) ; б) ; в) ?

2. Най­ди­те углы че­ты­рех­уголь­ни­ка, если они про­пор­ци­о­наль­ны чис­лам 2, 3, 10 и 21. Вы­пук­лый или невы­пук­лый этот че­ты­рех­уголь­ник?

3. Вер­ши­ны вы­пук­ло­го пя­ти­уголь­ни­ка со­еди­не­ны через одну. Най­ди­те сумму углов при вер­ши­нах по­лу­чен­ной «звез­ды».

 

Урок 6: Параллелограмм

Данный урок посвящен одному из видов выпуклых четырехугольников, а именно – параллелограмму. Параллелограмм – один из частных видов четырехугольников, который включает в себя такие подвиды, как прямоугольник, ромб, квадрат – фигуры, с которыми каждый из нас знаком еще с детства. Мы рассмотрим определение и свойства параллелограмма, а также решим несколько примеров с использованием этих свойств.

 

Определение параллелограмма

На прошлом уроке мы рассмотрели понятие выпуклого многоугольника. Теперь изучим частный случай многоугольника – четырехугольник, а точнее – частный случай четырехугольника – параллелограмм.

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Параллелограмм

То есть, если даны две параллельные прямые, которые пересекают еще две параллельные прямые, то они образуют фигуру, которая называется параллелограммом .

Из того, что – параллелограмм, можно сделать следующие выводы: . Верно и обратное утверждение: если , то четырёхугольник – параллелограмм.

Помимо данного определения, можно дать ещё несколько эквивалентных, однако мы остановимся именно на таком, классическом определении параллелограмма, и сформулируем свойства данной фигуры, пользуясь параллельностью её противоположных сторон.