Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-12-09 | 251 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Макросостояние системы имеет определенные значения термодинамических характеристик. Одному макросостоянию соответствует множество различных микросостояний.
Фазовый ансамбль есть множество микросостояний с одинаковыми значениями макрохарактеристик, т. е. относящихся к одному макросостоянию.
Функция распределения микросостоянийфазового ансамбля
Вероятность обнаружения микросостояния в единице объема фазового пространства около точки X называется плотностью вероятности
. (2.3а)
Любое микросостояние занимает одинаковый фазовый объем. Тогда равно числу микросостояний в единице объема фазового пространства, т. е. плотности микросостояний фазового ансамбля. Вероятность нахождения системы в объеме
. (2.3)
Интегрируя
, (2.2)
находим число микросостояний
. (2.3б)
Условие нормировки
. (2.4)
Теорема Лиувилля
Идеальный газ описывается гамильтонианом .
Фиксируем макросостояние, т. е. термодинамические параметры. Макросостояние реализуется ансамблем микросостояний. В фазовом пространстве они отображаются множеством точек, которые передвигаются с течением времени.
Теорема Лиувилля утверждает – движение точек фазового ансамбля подобно течению несжимаемой жидкости, сохраняющей свой объем и плотность. Плотность микросостояний зависит от гамильтониана и не изменяется с течением времени.
Теорему доказал Жозеф Лиувилль в 1838 г. Теорема используется для получения функции распределения состояний в фазовом пространстве.
Доказательство теоремы:
Рассмотрим бесконечно малый объем фазового пространства в форме цилиндра с осью вдоль . Основания перпендикулярны к оси, длина образующей .
|
Микросостояния с плотностью входят в объем и выходят из него.
За 1с входит число состояний, заполняющих цилиндр сечением и длиной образующей, равной скорости :
.
От точки к точке меняется плотность и скорость, тогда число выходящих состояний
,
где использовано
.
Если с течением времени плотность w изменяется, тогда в объеме рождаются или исчезают состояния. За 1с в объеме появляется число состояний
.
Каждое состояние описывает реальную систему, поэтому число состояний сохраняется и выполняется баланс
«число появившихся» = «число вошедших» – «число вышедших»:
.
Сокращаем подобные и получаем
.
Результат обобщаем на случай изменения координат
.
Раскрываем круглые скобки
.
Последняя скобка равна нулю согласно уравнениям Гамильтона (2.1)
, .
Учитывая
,
получаем
.
Плотность микросостояний фазового ансамбля не изменяется при его движении.
Следствия теоремы
А. Согласно теореме число микросостояний ансамбля и плотность микросостояний сохраняются, тогда фазовый объем элемента ансамбля не изменяется с течением времени
,
изменяется лишь форма объема. Учитываем
,
где J – якобиан преобразования между начальными и текущими координатами. Тогда
= 1.
Модуль якобиана, связывающего начальные и текущие фазовые координаты, равен единице.
Б. Проекция фазового объема на любую координатную плоскость независима от других. Фазовый объем не изменяется, тогда площадь каждой проекции постоянна. Для одной частицы в проекции на плоскость
. (2.5)
В. Для стационарной системы функция распределения не изменяется с течением времени и может зависеть только от интегралов движения. Если система как целое неподвижна и не вращается, то функция распределения зависит от полной энергии, т. е. от гамильтониана:
. (2.6)
|
Г. Для равновесной консервативной системы
.
Система с равной вероятностью обнаруживается в любом из доступных микросостояний.
Д. Теорема не выполняется для диссипативных систем, т. е. при наличии трения, неупругих соударений, когда уравнения Гамильтона (2.1) неприменимы.
ПРИМЕР
Одномерный гармонический осциллятор (двухатомная молекула с упругой связью, матический маятник, шарик на пружине, и т. д.) колеблется с частотой ω и имеет энергию E. Найти фазовую траекторию. Проверить выполнение теоремы Лиувилля.
1. Если энергия системы фиксирована, то микросостояния в фазовом пространстве движутся по гиперповерхности. Для одномерной системы из одной частицы координаты фазового пространства (x, p). Гамильтониан осциллятора приравниваем полной энергии
.
2. Получаем уравнение фазовой траектории, по которой двигаются микросостояния:
.
Микросостояния отличаются начальной фазой. Сравниваем с уравнением эллипса на плоскости (y, z)
,
находим полуоси вдоль p и x
, .
3. Число микросостояний
. (2.3б)
При , интеграл равен площади эллипса
,
тогда
, (П.2.4)
где . Следовательно, энергия осциллятора квантуется
, , (П.2.4а)
спектр эквидистантный. Горизонтальная линия на рис. соответствует состоянию с определенной энергией. – интервал эквидистантного спектра осциллятора.
4. Для получения якобиана
необходимо найти и , где – начальные координата и импульс, т. е. при .
Используем уравнения Гамильтона
, . (2.1)
Подставляем гамильтониан осциллятора
,
получаем
– связь скорости с импульсом,
– 2-й закон Ньютона ,
где – коэффициент жесткости упругой силы F;
.
Дифференцируем первое уравнение
и подставляем второе
.
Общее решение
,
.
Начальные значения
,
дают
, ,
тогда координаты микросостояния
,
.
С течением времени микросостояние движется по эллипсу по часовой стрелке.
5. Вычисляем якобиан
.
Теорема Лиувилля выполняется.
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!