Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-12-09 | 810 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть изучается система количественных признаков (X, Y). В результате п независимых опытов получены п пар чисел (x 1 y 1), (х 2 y 2),..., (хп, уn).
Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии. Для определенности будем искать уравнение регрессии Y на X: =kx + b.
Поскольку различные значения х признака X и соответствующие им значения у признака Y наблюдались по одному разу, то группировать данные нет необходимости. Также нет надобности использовать понятие условной средней, поэтому искомое уравнение можно записать так:
y = kx + b.
Угловой коэффициент прямой линии регрессии Y на X называют выборочным коэффициентом регрессии Y на X и обозначают через r ух; Итак, будем искать выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X вида
Y = r ух x + b. (1)
Подберем параметры r ух и b так, чтобы точки (x 1 y 1),(х 2 y 2),..., (хп, уn),построенные по данным наблюдений, на плоскости Оху лежали как можно ближе к прямой (1). Назовем отклонением разность Yi – yi (i =l, 2,..., n), где Yi – вычисленная по уравнению (1) ордината, соответствующая наблюдаемому значению хi; уi – наблюдаемая ордината, соответствующая хi.
Подберем параметры r ух и b так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной (в этом состоит сущность метода наименьших квадратов). Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция этих параметров (временно вместо r ух будем писать r):
,
или
Для отыскания минимума приравняем нулю соответствующие частные производные:
Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных уравнений относительно rи b:
. (2)
Решив эту систему, найдем искомые параметры:
|
(3)
Аналогично можно найти выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y: = rxyx + C, где rху – выборочный коэффициент регрессии X на Y.
4.4. Корреляционная таблица
При большом числе наблюдений одно и то же значение х может встретиться пх раз, одно и то же значение у – пу раз, одна и та же пара чисел (х, у)может наблюдаться пху раз. Поэтому данные наблюдений группируют, т. е. подсчитывают частоты пх, пу, пху. Все сгруппированные данные записывают в виде таблицы, которую называют корреляционной.
Пример.
Y | X | ||||
0.4 0.6 0.8 | – | – | – | – | |
n= 60 |
В первой строке таблицы указаны наблюдаемые значения (10; 20; 30; 40) признака X, а в первом столбце – наблюдаемые значения (0,4; 0,6; 0,8) признака Y. На пересечении строк и столбцов находятся частоты пху наблюдаемых пар значений признаков. Например, частота 5 указывает, что пара чисел (10; 0,4) наблюдалась 5 раз. Все частоты помещены в прямоугольнике, стороны которого проведены жирными отрезками. Черточка означает, что соответственная пара чисел, например (20; 0,4), не наблюдалась.
В последнем столбце записаны суммы частот строк. Например, сумма частот первой строки «жирного» прямоугольника равна пу = 5 + 7 +.14 = 26; это число указывает, что значение признака Y, равное 0,4 (в сочетании с различными значениями признака X), наблюдалось 26 раз.
В последней строке записаны суммы частот столбцов. Например, число 8 указывает, что значение призрака X, равное 10 (в сочетании с различными значениями признака Y), наблюдалось 8 раз.
В клетке, расположенной в нижнем правом углу таблицы, помещена сумма всех частот (общее число всех наблюдений n). Очевидно, . В нашем примере
и .
4.5. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным
Ранее для определения параметров уравнения прямой линии регрессии Y на X была получена система уравнений
(1)
Предполагалось, что значения X и соответствующие им значения Y наблюдались по одному разу. Теперь же допустим, что получено большое число данных (практически для удовлетворительной оценки искомых параметров должно быть хотя бы 50 наблюдений), среди них есть повторяющиеся, и они сгруппированы в виде корреляционной таблицы. Запишем систему (1) так, чтобы она отражала данные корреляционной таблицы. Воспользуемся тождествами:
|
(следствие из );
(следствие из );
(следствие из ),
(учтено, что пара чисел (х, у)наблюдалась пху раз)
Подставив правые части тождеств в систему (1) и сократив обе части второго уравнения на п, получим
(2)
Решив эту систему, найдем параметры r ху и b и, следовательно, искомое уравнение
(3)
Однако более целесообразно, введя новую величину – выборочный коэффициент корреляции, написать уравнение регрессии в ином виде. Сделаем это. Найдем b из второго уравнения (2):
Подставив правую часть этого равенства в уравнение (3), получим
(4)
Найдем из системы (1) коэффициент регрессии, учитывая, что
Умножим обе части равенства на дробь
(5)
Обозначим правую часть равенства через rB и назовем ее выборочным коэффициентом корреляции
Подставим rB в (5):
Отсюда
Подставив правую часть этого равенства в (4), окончательно получим выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X вида
Замечание 1. Аналогично находят выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y вида
где .
Замечание 2. Уравнения выборочной прямой регрессии можно записать в более симметричной форме:
Замечание 3. Можно показать, используя метод моментов, что выборочный коэффициент корреляции является оценкой теоретического коэффициента корреляции
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!