Таким образом, среднегодовая продажа мясных консервов за 5 лет составила 1316 млн. руб.

Среднегодовой абсолютный прирост мясных консервов рассчитаем по выражению:

млн. руб.

Среднегодовой темп роста продажи мясных консервов за период 2003-2007 гг. составляет:

;

При статистическом анализе и сопоставлении стохастически взаимосвязанных рядов динамики, характеризующих различные социально - экономические явления, рассчитывают коэффициент опережения. Он показывает, во сколько раз один ряд динамики растет быстрее другого, и определяется сопоставлением коэффициентов роста или темпо прироста двух рядов динамики. Коэффициент опережения можно рассчитать по формулам:

 

(6.9)

где максимальный коэффициент роста; минимальный коэффициент роста; максимальный темп прироста; минимальный темп прироста.

Одной из задач анализа рядов динамики, является установление закономерностей изменения уровней изучаемого показателя во времени.

В некоторых случаях эта закономерность развития объекта вполне ясно отображается уровнями динамического ряда. Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, когда уровни ряда претерпевают самые различные изменения. В подобных случаях для определения основной тенденции развития, достаточно устойчивой на протяжении данного периода, используют особые приёмы обработки рядов динамики.

Уровни ряда динамики формируются под совокупным влиянием множества длительных и кратковременных факторов, в том числе различных, случайных обстоятельств. В то же время выявление основной тенденции изменения уровня ряда предполагает её количественное выражение, которое свободно от случайных воздействий. Существуют различные методы выявления тенденции развития динамики. Одним из приёмов выявления основной тенденции является метод укрупнения интервалов. Этот способ основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

Другой метод - метод скользящей средней. Суть метода состоит в замене абсолютных данных средними арифметическими за определённые периоды. Расчёт средних ведётся способом скольжения, т.е. постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включением следующего. Пример 4. На основе данных о производстве стиральных машин фирмой за 15 месяцев 1996-1997 гг. нужно произвести сглаживание ряда методом трехчленной скользящей средней.

Таблица 6.5 -Динамика производства стиральных машин и расчёт скользящих средних.

Месяцы	Стиральные машины, тыс. шт.	Трёхчленные скользящие средние
		- 161,7 153,7 152,0 145,3 145,0 140,7 134,3 137,7 142,3 153,0 155,3 152,3 154,0 -

 

Взяв данные за первые три месяца, исчисляем трёхчленные суммы, а затем среднюю:

и т.д.

Интервал скольжения можно также брать чётный (четыре, шесть и т.д.). Нахождение скользящей средней по чётному числу членов осложняется тем, что средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами. Чтобы ликвидировать этот сдвиг, применяется центрирование, т.е. нахождение средней из средних для отнесения полученного уровня к определённой дате. При центрировании необходимо также находить скользящие суммы, скользящие средние по этим суммам и средние из средних.

После сглаживания основная тенденция стала вполне отчётливой. Кроме того, можно проследить и её характер, т.е. сначала значения уровней ряда снижаются, а затем возрастают.

Уменьшение числа звеньев скользящей средней по сравнению с числом исходных уровней ряда несколько сужает, конечно, возможности изучения характера выявленной тенденции в начале и в конце этапа развития. Тем не менее, скользящая средняя обладает достаточной гибкостью, позволяющей всё же уловить особенности изменения тенденции. Однако скользящая средняя не даёт аналитического выражения тренда.

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени:

.

Модели для аналитического выравнивания рядов динамики имеют вид:

- линейная функция;

- парабола второго порядка;

- показательная функция.

Выбор формы тренда (вида кривой ) практически редко сделать на основе одного только содержательного анализа. Обычно на 1-м этапе выбора отбирают функции, пригодные с позиций содержательного анализа, а на 2-м этапе вид функции конкретизируется с помощью иных подходов и приёмов, имеющих эмпирический характер.

Наиболее простой эмпирический приём - визуальный: выбор форм тренда на основе графического изображения ряда - ломаной линии. В случае очень сильных и резких колебаний уровня целесообразно использовать график скользящей средней. Нередко, однако, ни график уровней, ни график скользящей средней не могут дать ответ об оптимальной форме тренда. В таких случаях целесообразен анализ цепных абсолютных приростов и темпов прироста (включая их сглаживание с помощью скользящей средней).

Если цепные абсолютные приросты относительно стабильны, не имеют отчётливой тенденции к росту или снижению, т.е. если уровень явления изменяется с достаточно постоянной абсолютной скоростью (D»const), то в качестве формы тренда нужно принять прямую линию (линейную функцию):

. (6.10)

Если же относительно стабильными являются цепные темпы прироста, т.е. если уровень явления растёт с более или менее постоянной относительной скоростью (Т i» const), то в качестве формы тренда следует принять показательную кривую:

. (6.11)

В тех же случаях, когда цепные абсолютные приросты более или менее равномерно увеличиваются (или уменьшаются), т.е. если уровень ряда динамики изменяется с равномерно возрастающей (или убывающей) абсолютной скоростью, в качестве формы тренда (аппроксимирующей функции) можно принять параболу второй степени:

. (6.12)

После выбора вида кривой вычисляются её параметры. Расчёт параметров обычно производится методом наименьших квадратов. Это означает, что ставится и решается задача: из множества кривых данного вида найти ту, которая обращает в минимум сумму квадратов отклонений фактических уровней динамического ряда от соответствующих им во времени выровненных (расчётных) уровней, лежащих на искомой кривой:

(6.13)

где фактические, выровненные (расчетные) уровни.

Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики по прямой (6.10). Параметры и искомой прямой, удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находятся путём решения такой системы нормальных уравнений:

(6.14)

где t – время (порядковый номер интервала или момента времени).

Решают эту систему и получают числовые значения параметров линейного тренда и .

Чтобы найти неизвестные параметры параболы второго порядка переходят к системе уравнений, которая имеет вид:

(6.15)

На основании решении этой системы можно рассчитать числовые значения параметров.

Аналогичным образом определяют неизвестные параметры и для других трендовых моделей.

Аналитическое выравнивание позволяет не только определить общую тенденцию изменения явления на рассматриваемом отрезке времени, но и выполнять расчеты для таких периодов, в отношении которых отсутствует информация.

Нахождение по имеющимися данными за определенный период времени некоторых недостающих значений признака внутри этого периода называется интерполяцией. Нахождение значений признака за пределами анализируемого периода называется экстраполяцией.

Применение экстраполяции для прогнозирования должно базироваться на предположении, что найденная закономерность развития внутри динамического ряда сохранятся и вне этого ряда. Это означает, что основные факторы, сформировавшие выявленную закономерность изменения уровней ряда во времени, сохранятся и в будущем.

При составлении прогноза уровней социально – экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. При этом границы интервалов определяются по формуле:

, (6.16)

где точечный прогноз, рассчитанный по отобранной модели;

коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости ;

среднее квадратическое отклонение тренда.

При этом среднее квадратическое отклонение тренда рассчитывается по формуле:

 

, (6.17)

где и соответственно фактические и выравненные значения уровней динамического ряда;

число уровней ряда;

число определяемых параметров трендовой модели.

При экстраполяционном прогнозировании экономической динамики на основе динамических рядов с использованием трендовых моделей выбираются несколько конкурирующих моделей. После выполнения необходимых вычислении производится выбор наилучшей модели тренда.

В качестве грубого критерия отбора иногда применяют среднее квадратическое отклонение, вычисленное по формуле (6.16). Выбирается тот тренд, для которого меньше среднее квадратическое отклонение.

Проиллюстрируем выравнивание ряда динамики по прямой и по параболе второго порядка.

Пример 5. В табл.6.6 представлена динамика производства мяса в регионе.

Таблица6.6

Годы	Мясо в убойном весе, тыс. т.,	Годы	Мясо в убойном весе, тыс. т.,
		-	-

 

Необходимо рассчитать прогноз производства мяса в регионе на 2012год с вероятностью 0,99, исходя из предположения, что тенденция ряда может быть описана: а) линейной моделью (6.10); б) параболической моделью (6.12).

Решение. Расчета коэффициентов нормальных уравнений линейного тренда (6.14) и параболического тренда (6.15) сведем в таблицу 6.7.

Таблица 6.7. Расчет параметров систем нормальных уравнений трендовых моделей.

Таблица 6.7

Годы
Итого

 

На основании таблицы 6.7 составим нормальные уравнения линейного тренда (6.13), которые имеют вид:

После решения этой системы были получены числовые значения неизвестных параметров: =160,73; =3. Следовательно, модель линейного тренда примет вид:

. (6.18)

Теперь необходимо составить систему нормальных уравнений параболического тренда (6.14):

Решение этой системы дает результат: =149,05; =7,12; =-0,26.

Далее для уравнений параболы (6.12) составим модель параболического тренда:

. (6.19)

Аналитическое выравнивание ряда динамики не только делает более чётким направление основной тенденции, но одновременно даёт также числовую её характеристику. В частности, при выравнивании по прямой параметр это абсолютный прирост выровненного уровня за единицу времени , или средний абсолютный прирост с учётом тенденции к равномерному росту (росту в арифметической прогрессии). Так, в нашем примере, =3 означает, что выровненный валовой сбор ежегодно увеличивался на 3 млн. т.

В дальнейшем необходимо рассчитать выравненные значения уровней для трендовых моделей (6.18) и (6.19). С этой целью в подобранные модели последовательно необходимо подставить текущие номера уровней t. Результаты подсчетов сведем в табл. 6.8.

Таблица 6.8 - Расчётная таблица при выравнивании по прямой и по параболе ряда динамики производства мяса в регионе.

 

Годы	Мясо в убойном весе, тыс. т.,	Обозначение времени t	Выравненные уровни по линейному тренду,	Выравненные уровни по параболическому тренду,
			163,73 166,73 169,73 172,73 175,73 178,73 181,73 184,73 187,73 190,73 193,73 196,73 199,73 202,73 205,73	155,91 162,25 168,07 173,37 178,15 182,41 186,15 189,37 192,07 194,25 195,91 197,05 197,67 197,77 197,35

 

После выравнивания уровней динамического ряда посредством двух моделей стало очевидным тенденция к росту производства мясо в регионе.

Для выполнения прогноза производства мясо в регионе необходимо рассчитать средние квадратические отклонения каждой модели. Необходимые вычисления сведем в табл. 6.9.

 

Таблица 6.9 - Расчёт сумм квадратов остаточных отклонений

Годы	Линейный тренд	Параболический тренд
	7,27 -18,73 0,27 -10,73 11,27 2,27 -13,73 38,27 8,27 -50,73 30,27 -0,73 37,27 -23,73 -16,73	52,85 350,81 0,07 115,13 127,01 5,15 188,51 1464,59 68,39 2573,53 916,27 0,53 1389,05 563,11 279,89	15,09 -14,25 1,93 -11,37 8,85 -1,41 -18,15 33,63 3,93 -54,25 28,09 -1,05 39,33 -18,77 -8,35	227,71 203,06 3,72 129,27 78,32 1,99 329,42 1130,98 15,44 2943,06 789,05 1,10 1546,85 352,31 69,72
Итого	-	8094,89	-	7822,01

 

На основании этой таблицы рассчитаем средние квадратические отклонения моделей:

линейный тренд:

 

24,95;

тренд параболы:

 

25,53.

Так как модель линейной функций имеет меньшую среднеквадратическую ошибку то она и будет использоваться для прогнозирования.

Для этого в подобранный модель (6.18) вместо параметра t подставляется время упреждения . В результате получим точечный прогноз показателя:

208,73 тыс. т.

Далее по числу степеней свободы и заданной вероятности 0,99 из специальных таблиц найдем коэффициент доверия к прогнозу. И он равен . На основании выражения (6.16) запишем границы прогнозируемого показателя:

.

Подставляя сюда рассчитанные величины получим:

 

.

Таким образом с вероятностью 0,99 можно ожидать, что производство мясо в регионе 2012 г. будет не ниже 188,31 тыс. т., но и не выше 229,15 тыс. т.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

6.1. Укажите, к какому виду относятся ряда, характеризующие размеры (объёмы) следующие социально-экономических явлений:

а) численность населения (по данным переписи населения);

б) протяжённость автомобильных дорог с усовершенствованным покрытием (по состоянию на конец каждого года);

в) объём реализованной продукции по кварталам;

г) жилищный фонд (общая площадь на конец года);

д) удельный вес объёма перевезённого железнодорожным транспортом груза в общем объёме перевозок по годам;

е) средний размер дохода населения по годам;

ж) удельный вес городского и сельского населения региона;

з) среднемесячная (списочная) численность работников предприятия;

и) численность студентов (на конец учебного года);

к) объём инвестиций, вложенных в различные отрасли экономики;

л) количество дорожно-транспортных происшествий в регионе;

м) численность врачей на 1000 жителей района;

н) коэффициент текучести кадров на предприятии по месяцам;

о) число вкладов населения в учреждениях Сберегательного банка России;

п) удельный вес затрат на услуги связи в общем объёме затрат предприятий и организаций, отдельных отраслей экономики;

р) удельный вес иностранных инвестиций в предприятия и организации транспорта и связи;

с) число приватизированных предприятий (объём) транспорта.

6.2. Производство основных товаров длительного пользования для населения России характеризуется следующими данными (тыс. шт.) (табл. 6.10).

Таблица 6.10

Наименование товара	2005 г.	2006 г.	2007 г.	2008 г.	2009 г.
Телевизоры
Холодильники
Легковые автомобили
Фотоаппараты

 

Определите показатели динамики (цепные, базисные) производства каждого вида товара динамики, используя среднегодовые показатели динамики.

Сформулировать вывод.

6.3. Численность населения РФ на начало года характеризуется следующими данными (табл. 6.11).

Таблица 6.11

Год
Численность населения млн. чел.	147,9	147,6	147,1	146,7	146,3	145,6

 

Требуется, используя данные о численности населения и производстве товаров длительного пользования (задача 6.2):

а) построить ряды динамики выпуска каждого вида товаров на душу населения;

б) проанализировать динамику полученных показателей, исчислив коэффициенты опережения среднегодовых темпов прироста;

в) изобразить графически динамику выпуска каждого вида товаров на душу населения.

6.4. Число вкладов населения в учреждениях Сберегательного банка России по региону на начало года представлено в табл. 6.12.

Таблица 6.12

Год
Число вкладов, млн.	141,0	203,7	210,9	234,2

 

Определить ежегодные абсолютные приросты, коэффициенты роста и темпы прироста числа вкладов с постоянной и переменной базой.

6.5. Известны темпы роста инвестиций по двум регионам (в % к 1998 г.) (табл. 6..13).

Таблица 6.13

Регион	2009 г.	2010 г.	2011 г.
А
Б

 

Определить темпы роста инвестиций за каждый год по сравнению с предшествующим годом и среднегодовые темпы роста инвестиций для каждого региона.

Сформулировать вывод.

6.6. Имеются следующие данные о мощности электростанций региона (на конец года, млн. кВт), табл. 6.14.

 

Таблица 6.14

Год	Мощность электростанций (на конец года), млн. кВт.	Цепные показатели динамики
Абсолютный прирост, млн. кВт.	Коэффициент роста	Темп прироста, %	Абсолютное значение 1% прироста, млн. кВт.
	22,3
		1,3
				2,12	0,24
			1,041
			1,071
				1,85

 

6.7. Имеются следующие данные о приёме студентов в высшее учебные заведения страны, тыс. чел. (табл. 6.15).

Таблица 6.15

Год	Принято студентов, тыс. чел.	Цепные показатели динамики
Абсолютный пророст, тыс. чел.	Темп роста, %	Темп прироста, %	Абсолютное значение 1% прироста, тыс. чел.
			106,2
				9,5
					35,98

 

Требуется:

1) исчислить отсутствующие в таблице сведения о приёме студентов за 2006 – 2010 гг.;

2) проанализировать динамику изучаемого явления, опираясь на рассчитанные показатели динамики.

6.8. В табл. 6.16 представлены данные о пассажирообороте автобусного транспорта региона.

Таблица 6.16

Год	Пассажирооборот, млрд. пасс.-км.	Цепные показатели динамики
Абсолютный прирост, млрд. пасс.-км.	Коэффициент роста	Темп прироста, %	Абсолютное значение 1% прироста, млрд. пасс.-км.
	360,2	-	-	-	-
		14,5
			1,037
		10,8			4,018

 

Определить недостающие уровни и цепные показатели динамики.

6.9. В табл. 6.17 представлены данные о перевозке грузов речным пароходством.

 

Таблица 6.17

Год	Объём перевозок грузов, млн. т.	Цепные показатели динамики
Абсолютный прирост, млн. т.	Темп роста, %	Темп прироста, %
	520,6	-	-	-
			105,4
		-0,9
				5,8
		26,4
			101,7

 

6.10. По группе предприятий имеются следующие данные (табл. 6.18).

 

Таблица 6.18

№ предприятия	Удельный вес в общем объёме продукции в прошлом году, %	Прирост объёма производства продукции против прошлого года, %
	30,5	7,3
	24,3	10,5
	45,2	18,4

 

Определить удельные веса предприятий в общем объёме продукции в отчётном году.

6.11. Выработка изделия на предприятии в 2007 г. составила 4 тыс. шт., а в 2010 г. 4,6 тыс. шт.

Определить методом интерполяции выработку изделия в 2008 и 2009 гг.

6.12. Приведены следующие данные (табл. 6.19).

Таблица 6.19

Год
Уровень ряда

Определить неизвестные уровни, предполагая их линейное изменение.

 

6.13. Среднее расстояние перевозки грузов в международном сообщении по годам характеризуется следующими данными (табл. 6.20).

Таблица 6.20

Год
Среднее расстояние перевозки, км.

 

Произвести аналитическое выравнивание с последующей экстраполяцией для 2011 г.

6.14. Удельный вес городского населения региона увеличился с 1 января 2005 г. По 1 января 2010 г. с 36,2 до 42,8%.

Определить показатели динамики численности городского и сельского населения региона, если общая численность населения данного региона за этот период возросла на 8,4%.

6.15. Поступление денежных средств от реализации продукции, работ и услуг за отчётный год по предприятию следующие (табл. 6.21).

Таблица 6.21

Месяц	Фактически поступило на расчётный счёт, млн. руб.	Месяц	Фактически поступило на расчётный счёт, млн. руб.
Январь	15,2	Июль	16,1
Февраль	14,8	Август	17,3
Март	14,5	Сентябрь	16,9
Апрель	16,0	Октябрь	15,8
Май	16,7	Ноябрь	17,5
Июнь	15,4	Декабрь	18,0

 

Требуется:

1) определить начальный, конечный и средний уровень ряда динамики;

2) построить ряд динамики с нарастающими итогами по кварталам года;

3) определить среднемесячный уровень поступления денежных средств за каждый квартал.

 

6.16. Динамика объёма реализации услуг коммунальных предприятий города в процентах к 2006 г. составила: 2007 г. – 108,0; 2008 г. – 110,5; 2009 г. – 125,0; 2010 г. – 153,2.

Определить:

1) коэффициенты роста для 2009 и 2010 гг. по сравнению с 2008 г.;

2) среднегодовой темп прироста за период 2006-2010 гг.

6.17. На 1 октября в списке предприятий «Акрос» числилось 25 человек; с 10 октября были приняты на работу 6 человек, а с 12 октября были уволены по собственному желанию 4 человека. С 25 октября на предприятие были приняты 6 человек.

На предприятии «Восход» на 1 октября числилось 32 человека; с 15 октября были приняты на работу 5 человек, а с 28 октября уволилось 6 человек.

Требуется:

1) определить, на каком предприятии и насколько среднесписочная численность в октябре была больше (в абсолютном выражении и в процентах);

2) изобразить динамику численности работников каждого предприятия с помощью линейной диаграммы.

6.18. Жилищный фонд России характеризуется следующими данными (табл. 6.22).

Таблица 6.22

	На 1 января 1997 г.	На 1 января 1998 г.	На 1 января 1999 г.	На 1 января 2000 г.
Весь жилищный фонд, млн. кв. м.

 

Определить, на сколько кв. м. и процентов в среднем ежегодно увеличивался жилищный фонд России.

6.19. Имеются следующие данные о числе пассажиров, перевезённых метрополитеном по городам России (табл. 6.23).

Таблица 6.23

	1996 г.	1997 г.	1998 г.
Перевезено пассажиров, млн. чел.

 

Определить среднегодовой темп роста и темп прироста перевозок пассажиров метрополитеном.

6.20. Погрузка вагонов по отделению дороги характеризуется следующими данными за апрель отчётного года (табл. 6.24).

 

Таблица 6.24

Числа месяца	Погружено вагонов		Числа месяца	Погружено вагонов

 

Требуется:

1) для погашения колебаний и выявления основной тенденции роста числа погружённых вагонов произвести сглаживание динамического ряда с помощью трёхчленной переменной и скользящей средней;

2) объяснить полученные результаты.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ

 

1. Практические занятия. Изучая данную тему необходимо обратить особое внимание на специфику расчета средних по рядам динамики. Необходим также остановиться на следующих вопросах: сопоставимости уровней рядов динамики; сглаживание уровней динамических рядов; экстраполяции тренда на будущее.

2. Задание для самостоятельной работы студентов может включать решение индивидуальных задач по расчету и анализу показателей динамики, по аналитическому выравниванию динамических рядов и прогнозирование на их основе экономических показателей.

3. Контрольная аудиторная работа может включать решение типовых задач из данного сборника, а также промежуточное тестирование по данной теме.