Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе

Аналитическое уравнение параболы имеет вид:

. (24)

Параметры уравнения a, b и c определяются на основе МНК.

Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:

(25)

При соблюдении принципа отсчёта времени t от условного нулевого начала система нормальных уравнений (25) преобразуется к следующему виду:

(26)

Решение системы уравнений (26) относительно неизвестных a,b,c позволяет определить параметры уравнения параболы (24).

Методику расчёта параметров уравнений прямой и параболы для данных последнего года рассматриваемого периода (табл.1) иллюстрирует табл.5.

Таблица 5

Расчётная таблица для определения параметров уравнений прямой и параболы

Месяцы
январь	1 262,3	-6		-7 573,8	45 442,8	1 296
февраль	1 250,7	-5		-6 253,5	31 267,5
март	1 612,0	-4		-6 448,0	25 792,0
апрель	1 950,0	-3		-5 850,0	17 550,0
май	2 350,8	-2		-4 701,6	9 403,2
июнь	2 628,0	-1		-2 628,0	2 628,0
июль	2 606,0			2 606,0	2 606,0
август	2 178,2			4 356,4	8 712,8
сентябрь	1 857,3			5 571,9	16 715,7
октябрь	1 544,0			6 176,0	24 704,0
ноябрь	1 200,7			6 003,5	30 017,5
декабрь	1 144,7			6 868,2	41 209,2	1 296
Итого	21 584,7			-1 872,9	256 048,7

 

При подстановке итоговых данных гр. 2 в формулу (22), итоговых данных гр. 4 и 5 – в формулу (23) параметры уравнения прямой получают следующие значения:

;

.

Таким образом, основная тенденция развития ряда отображается уравнением прямой:

Для определения параметров уравнения параболы итоговые данные гр. 2, 4-7 необходимо подставить в систему уравнений (26):

Решая систему, из 2-го уравнения определяют значение b:

.

Затем из 1-го уравнения выражают значение а, через параметр с:

.

Подставляя значение а в 3-е уравнение системы, получаем уравнение относительно с:

.

Решение последнего уравнения позволяет определить значение параметра c, а затем параметра а:

.

.

Таким образом, параболическая модель ряда имеет вид:

.

Правильность расчёта уровней выровненного ряда динамики проверяется следующим способом: сумма значений уровней эмпирического ряда должна совпадать с суммой значений уровней выровненного ряда , то есть:

(27)

Для того, чтобы определить, какое из полученных уравнений наиболее адекватно исходному ряду динамики, для каждого из них рассчитывают среднеквадратическое отклонение (среднеквадратическую ошибку) , которое определяется по следующей формуле:

, (28)

где m – число параметров в уравнении тренда (для уравнения прямой m =2, для уравнения параболы m =3).

 

С целью проверки правильности проведённых расчётов параметров уравнений прямой и параболы, а также выбора наиболее адекватной модели развития изучаемого явления, построена расчётная табл. 6:

 

 

Таблица 6

Расчётная таблица

Месяцы		для уравнения	для уравнения	для уравнения
прямой	параболы	прямой	параболы	прямой	параболы
январь	1 262,3	1860,5	1030,2	-598,2	232,1	357808,5452	53850,9154
февраль	1 250,7	1850,2	1458,3	-599,5	-207,6	359376,2704	43102,7425
март	1 612,0	1839,9	1806,7	-227,9	-194,7	51933,3963	37900,3024
апрель	1 950,0	1829,6	2075,3	120,4	-125,3	14496,6416	15711,6197
май	2 350,8	1819,3	2264,3	531,5	86,5	282484,8090	7480,5201
июнь	2 628,0	1809,0	2373,6	819,0	254,4	670734,7923	64733,6072
июль	2 606,0	1788,4	2353,0	817,6	253,0	668414,1644	64014,0601
август	2 178,2	1778,1	2223,1	400,1	-44,9	160045,6032	2020,1429
сентябрь	1 857,3	1767,9	2013,6	89,4	-156,3	8000,9447	24429,6900
октябрь	1 544,0	1757,6	1724,4	-213,6	-180,4	45608,3007	32526,8439
ноябрь	1 200,7	1747,3	1355,4	-546,6	-154,7	298738,7649	23932,7088
декабрь	1 144,7	1737,0	906,8	-592,3	238,0	350794,4138	56620,2025
Итого	21 584,7	21584,7	21584,7	0,0	0,0	3268436,6466	426323,3555

Равенство итоговых значений гр.2,3,4 показывает, что согласно критерию 27 расчёты коэффициентов уравнений прямой и параболы выполнены правильно. Графики соответствующих сглаживающих кривых представлены на рис.4.

 

0,0

500,0

1 000,0

1 500,0

2 000,0

2 500,0

3 000,0

Месяцы

Рис. 4. Сглаживание ряда динамики объёмов реализации продукции методом аналитического выравнивания по прямой и параболе

 

Для выбора наиболее адекватной модели развития ряда (прямой или параболы) необходимо рассчитать среднеквадратическое отклонение по формуле (27) с использованием итоговых данных гр.7,8 табл.6.

Для уравнения прямой:

.

Для уравнения параболы:

.

Вывод. Величина среднеквадратической ошибки , рассчитанная для уравнения параболы значительно меньше, чем для уравнения прямой. Следовательно, уравнение параболы

является более адекватной моделью описания тенденции ряда динамики объёмов реализации продукции по сравнению с уравнением прямой

Этот же вывод подтверждают графики сглаживания ряда динамики на рис.4.

Параболическая форма ряда может объясняться разными причинами, в том числе наличием сезонной компоненты в развитии явления.

Аналитическое выравнивание рядов динамики широко используется при построении прогнозов на основе метода экстраполяции. Применение программных продуктов позволяет при помощи компьютеров оперативно определить адекватное уравнение тренда, на основании которого при необходимости можно делать прогноз.

Задание 3

На основании помесячных данных о динамике объёмов реализации продукции за пятилетний период (табл. 1) необходимо выполнить следующее:

· определить индексы сезонности реализации продукции;

· построить график сезонной волны.

Сделать выводы по результатам выполнения задания 3.

Выполнение задания 3

Целью выполнения данного задания является выявление сезонной компоненты в динамике объёмов реализации продукции.