Сущность доказательств в геометрии

В геометрии термин «доказательство» понимают как доказательство логическое. Логическое доказательство есть мыслительный процесс обоснования данного суждения путем приведения ранее нам известных истинных суждений, из связи которых данное суждение вытекает как необходимое следствие.

Доказательство каждой геометрической теоремы преследует две цели:

1. Оправдание истинности теоремы

2. Выяснение места данной теоремы среди других предложений геометрии.

Итак, доказательство представляет собой систему умозаключений, при помощи которых истинность доказываемого предложения выводится из аксиом и ранее доказанных истин. А истинность дедуктивного вывода обусловлена тем, что в нем мы прилагаем некоторые общие законы к частным случаям, так как совершенно очевидно, что все то, что справедливо вообще и всегда, будет справедливо и для каждого отдельного случая.

Значение доказательств в геометрии.

Доказательство геометрического предложения имеет своей целью установление его достоверности при помощи логического вывода из уже доказанных или известных истин. Существенной особенностью геометрического доказательства в значительной степени определяющей его необходимость, является то, что при помощи доказательства устанавливаются общие свойства фигур. Если доказательство проведено правильно и опиралось на правильные исходные положения, то это дает нам безусловную уверенность в истинности доказываемого положения. Именно поэтому мы убеждены, что любая геометрическая теорема, например теорема Пифагора, справедлива для треугольников любых размеров с длиной сторон и в несколько миллиметров и в миллионы километров.

Наконец, есть еще одна, чрезвычайно важная причина, обусловливающая необходимость доказательства. Дело в том, что геометрия представляет собой не случайный набор истин, описывающих свойства фигур, а научную систему, построенную по строгим законам. В этой системе каждая теорема органически связана с совокупностью ранее установленных предложений, и эта связь раскрывается при помощи доказательства.

Пример 1.

Известная теорема о том, что сумма внутренних углов треугольника равна 180, доказывается на основании свойств параллельных прямых. Что указывает на непосредственную связь между теорией параллельных прямых и свойствами сумм внутренних углов многоугольников.

Точно так же на свойства параллельных прямых опирается вся теория подобия фигур.

Итак, подводя итоги всему изложенному о необходимости доказательства, мы можем сказать следующее:

а) в геометрии только небольшое число основных истин – аксиом – принимается без доказательства. Остальные же истины – теоремы – доказываются на основании этих аксиом путем построения ряда умозаключений.

б) в правильно построенном доказательстве опираться только на известные предпосылки или аксиомы.

в) доказательство необходимо также для обоснования сущности доказываемого предложения, т.е. применимости его ко всем частным случаям.

г) наконец, при помощи доказательств геометрические истины приводятся в стройную систему научных знаний, в которой раскрываются все внутренние связи между различными свойствами пространственных форм

Основные виды теорем и их структура.

Утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называют теоремой. Когда в геометрии формируется свойство какой-нибудь фигуры, то тем самым формируется теорема. Итак, теорема – это высказывание о том, что из свойства А следует свойство В (А=>В).

Рассмотрим некоторые виды теорем. Пусть дана теорема А=>В. Образуем из нее высказывания вида В=>А, А=>В.

Теоремы А=>В и В=>А называются обратными друг другу, теоремы А=>В и -А=>-В - противоположными друг другу. Теорему -В=>-А называют обратной противоположной.

Пример 2.

Пусть дана теорема: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».

Обратная данной: «Если углы при основании треугольника равны,то этот треугольник равнобедренный».

Противоположная теорема данной «Если треугольник не равнобедренный, то углы при основании не равны».

Обратная противоположной «Если в треугольнике углы при основании не равны, то этот треугольник не равнобедренный».

В теореме различают условие и заключение. Во многих современных учебниках написано: «Условие теоремы – это то, что дано, а заключение – то, что требуется доказать». Также про заключение написано, что оно выражает факт, который в силу условия неизбежно имеет место. Ученый Адамар возвращался к этой мысли. Он считал необходимым подчеркнуть ее: «Чтобы провести это рассуждение надо, основываясь на условие теоремы и предполагая, что это условие выполнено, вывести из него факты, указанны в заключении».

В теореме о равенстве треугольников утверждается, что если треугольники имеют по три равные стороны, то они обязательно равны. Авторы учебников понимают, что условие теоремы является необходимой предпосылкой заключения. Но ученикам это остается неизвестным, многим в начале изучения геометрии, а некоторым и в дальнейшем.

Пример 3.[18]

Теорему «Равные треугольники» можно записать в другой форме «Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны». Для чего теорему записывают таким образом? Чтобы сразу было видно, что дано (на что нужно опираться при доказательстве), и что надо доказать.

Яснее становится постановка задачи и, следовательно, легче найти доказательство.

Но, следует помнить, что утверждения бывают истинные и ложные. Что нужно сделать, чтобы опровергнуть неверное суждение? Чтобы опровергнуть неверное утверждение, достаточно привести один противоречащий пример (контрпример) – пример, удовлетворяющий условию этого утверждения, но не удовлетворяющий его заключению. Рассмотрение контрпримеров помогает ученику понять необходимость каждого условия теоремы, облегчает запоминание. Построение контрпримеров позволяет отсекать неверные гипотезы при решении задач, помогает, когда уточняется формулировка теоремы и при поиске ее доказательства. Чтобы класс освоил построение контрпримеров, нужно на одном из уроков рассмотреть несколько контрпримеров и дать подобные задачи на дом. Затем, время от времени, после доказательства теоремы, опустив какое-то условие, предложить классу доказать, что полученное утверждение неверно.

Пример 4. [18]

Если две стороны и угол одно треугольника равны двум сторонам и углу другого треугольника такие треугольники равны. (верно ли это утверждение?) Ответ: Нет.

Контрпример: Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и отметим точку Д на продолжении стороны АС. Тогда треугольники ДВС и ДВА обладают указанным свойством, но не являются равными.

 

Услышав сообщение учителя «Сегодня мы докажем теорему», ученик сразу спрашивает: «А зачем?» Очень трудно осваивать теорему, если считаешь, что она не нужна. Учитель не должен забывать об этом. Не только о первой, но о каждой теореме нужно сказать несколько слов о том, как возникла эта проблема, зачем нужно ее решать. Учителю – то известно ее значение, связь с другим материалом.

1.4. Структура геометрического доказательства, его виды.

Рассмотрим структуру геометрического доказательства. Логическое доказательство состоит из трех частей:

1. Тезис – доказываемое положение

2. Основания или аргументы – суждения, на которые опирается доказательство.

3. Демонстрация или способ доказательства – рассуждение, выводящее из истинности принятых оснований истинность доказываемого тезиса.

Короче их можно охарактеризовать так:

1. Тезис – что доказывается

2. Аргументы – чем доказывается

3. Демонстрация – как доказывается

Абсолютно необходимыми условиями возможности перехода к демонстрации являются:

1. Ясное и четкое понимание самого тезиса и всех предшествующих ему предложений, необходимых для доказательства.

2. Установление точного смысла тезисов, встречающихся в тезисе и аргументах.

Без предварительного выполнения этих условий переход к демонстрации

невозможен.

Сам термин «доказательство» употребляется в математике в смысле «рассуждение», устанавливающее истинность того или иного суждения, связь мыслей, приводящая к определенному выводу относительно тезиса. Иначе говоря, доказательство есть демонстрация – выведение тезиса из аргумента.

Обычно в процессе доказательства в качестве аргументов используются:

а) данные, содержащиеся в условии теоремы;

б) ранее доказанные теоремы;

в) аксиомы;

г) определения.

Аргументы используются в посылках и притом так, чтобы из каждой пары посылок необходимо следовал вывод. Выводное суждение каждого умозаключения (силлогизма) является уже аргументом по отношению к последующим силлогизмам. Выводное суждение последнего силлогизма должно содержать доказываемый тезис.

Следовательно, доказательство представляет собой систему умозаключений, логическую цепь силлогизмов, которая начинается с данных или ранее известных положений и заканчивается доказываемым тезисом. Простейшие доказательства могут состоять из одного силлогизма. В этом случае выводное суждение, являющееся доказываемым тезисом, предшествует посылкам и доказательство сводится к подбору посылок из которых следовал бы тезис.

Пример5.

Доказать, что сумма углов треугольника равна 180 градусов

Подбираем посылки:

1) развернутый угол составляет 180 градусов.

2) углы треугольника в сумме составляют развернутый угол.

Они и служат оправданием тезиса.

Выделяют следующие виды доказательств:

1. Прямое доказательство.

Прямым доказательством называется доказательство, в котором аргументы непосредственно доказывают тезис. Прямые доказательства могут быть синтетическими и аналитическими.

2. Косвенное доказательство.

Косвенным доказательством называется доказательство, в котором истинность тезиса обосновывается посредством опровержения истинности других положений.

Пусть требуется доказать, что «А» есть «В» (тезис).В случае прямого доказательства мы ищем основания, из которых вытекает данный тезис; в косвенном апагогичном доказательстве доказываем ложность суждения, противоречащего тезису, т.е. ложность суждения «А» не есть «В» (антитезис). Косвенное апагогическое доказательство называют «доказательством от косвенного» или от противного.

Пример 6.

При доказательстве теоремы «Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона»

Большая посылка: угол С > угла В

а) либо АВ= АС;

в) либо АВ < АС;

г) либо АВ > АС.

Приводим к нелепости две первые возможности:

Силлогизмы примут вид:

1. Если: угол С > угла В то возможны три случая:

или АВ= АС; либо АВ < АС; либо АВ > АС

Опираясь на ранее изученную теорию, получаем:

2. суждение АВ= АС – ложно

суждение АВ < АС – ложно

Следовательно, суждение АВ > АС – истинно.

Посылками в решении этой задачи служат предложения:

1)У равностороннего треугольника стороны равны.

2)У равнобедренного треугольника две стороны равны.

Это и доказывает наше утверждение.

Силлогизмом – называется дедуктивное умозаключение, в котором из двух данных суждений (посылок) выводится третье суждение (заключение).

Пример 7.

Является ли равносторонний треугольник равнобедренным?

Решение: Треугольник АВС – равносторонний и поэтому ____=____=___.

Поскольку,например, ____= _____, его можно считать равнобедренным с основанием ____. Если рассмотреть другие пары сторон, то его можно считать равнобедренным с основанием _______.

Посылками в решении этой задачи служат предложения:

1)У равностороннего треугольника стороны равны.

2)У равнобедренного треугольника две стороны равны.

Это и доказывает наше утверждение.

Правила:

1. Термин, не распределенный в посылках, не может быть распределен в заключении.

2. Из двух отрицательных посылок нельзя вывести никакого заключения.

3. Если одна из посылок есть отрицательное суждение, то и заключение может быть только отрицательным.

4. Из двух частных посылок не следует никакого заключения.

5. Если одна из посылок частная, то и заключение может быть только частным.

Следует отметить, что доказательство может проходить в нестандартной форме, например, путем возбуждения сомнений в справедливости теоремы. Только зная эти основные моменты, мы можем более детально понять сущность самого процесса доказательства.