Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.

2017-12-09

227

0.00 из 5.00 0 оценок

Заказать работу

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Определение 1: Максимальное число линейно независимых

строк матрицы называется рангом матрицы и обозначается | r |А.

Определение 2: Рангом матрицы называется наивысший порядок

отличного от нуля минора матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда

ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Если ранг матрицы А равен числу неизвестных (R=0), то система

имеет единственное решение.Если ранг матрицы А меньше числа

неизвестных (R<n), то система имеет бесконечное множество решений.

7. Комплексные числа. Определение 1. Комплексным числом z

называется упорядоченная пара действительных чисел a и

b: z = (a;b) = a + bi, где i – мнимая единица, а – действительная

часть комплексного числа, a = Rez, b – мнимая часть

комплексного числа, b = lmz. Определение 2. Два

комплексных числа z1 = (a1, b1) и z2 = (a2, b2) равны,

если равны их действительные и мнимые части:

z1 =z2 <=> a1 =a2, b1 = b2. Определение 3. Суммой

двух комплексных чисел z1 = (a1, b1) и z2 = (a2, b2)

называется комплексное число z: z = z1 + z2 =

(a1 + a2; b1 +b2) = (a1 + a2) + i(b1 + b2).

Определение 4. Произведением двух комплексных

чисел z1 = (a1, b1) и z2 = (a2, b2) называется

комплексное число z, равное z = z1z2 =

(a1a2 – b1b2; a1b2 + b1a2). Свойства комплексных чисел:

1. Закон коммутативности z1 + z2 = z2 + z1; z1z2 = z2z1

2. Закон ассоциативности z1 + z2 + z3 = (z1 + z2) + z3

3. Закон дистрибутивности z1 (z2 + z3) = z1z2 + z1z3

Определение 5. Комплексное число z = a – bi называется

комплексно сопряженным к числу z = a + bi.

Определение 6. Разделить комплексное число z1 = a1 + b1i

на комплексное число z2 = a2 + b2i - значит найти такое число

x + yi, которое, будучи помноженное на делитель, дает делимое.

Правило: Чтобы разделить одно комплексное

число на другое, надо числитель и знаменатель

домножить на комплексное сопряженное число знаменателя.

Определение 7. Модулем комплексного числа z называется

длина вектора, изображающего это комплексное

число: p = | z | = a + b. Определение 8. Аргументом

комплексного числа z называется выражение

Argz = + 2Пк к = 0,1… Формула умножения -

z1z2 = р1p2 [ cos (+) + i * sin (+) ]

Правило: При умножении комплексных чисел

их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Формула деления – z2 = p2 * [ cos (+) + i *sin(+) ]

Правило: При делении комплексных чисел их модули

делятся, а аргументы вычитаются. Формула возведения в

степень (формула Муавра) – z = p *(cosn + i * sinn)

Правило: При возведении комплексного числа z в

любую целую степень модуль комплексного числа

возводится в ту же степень, а аргумент умножается

на показатель степени Формула корня n-й степени из

комплексного числа – z = p (cos n + i *sin n)

Векторы. Действия над векторами.

Вектором называется направленный отрезок.

Пусть А - начало вектора, а В – его конец, тогда

сам вектор обозначается АВ. Расстояние между

началом и концом вектора называется длиной лил

модулем вектора и обозначается |АВ|.0 – вектор

нулевой длины. Свободные векторы – векторы, для

которых точка начала не имеет значения, важны лишь

его длина и направление. Обозначаются маленькой

строчной буквой a, b и т. д. следовательно длина

свободного вектора обозначается |a|. Векторы называются:

Коллинеарными, если они лежат на одной или

параллельных прямых. Обозначаются a || b.

Противоположными, если они коллинеарны,

имеют одинаковую длину, но направлены в

противоположные стороны. Вектор противоположный

вектору a, обозначается (-а).

Компланарными, если они лежат в одной или

параллельных плоскостях.

Равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую

длину и направлены в одну сторону.

Действия над векторами.

Вектора можно складывать, вычитать и умножать на число.

1.Сложение двух векторов можно проводить

геометрически двумя способами. Правило треугольника:

совместить путем параллельного переноса начало второго

вектора с концом первого. Суммой этих векторов будет

вектор, идущий из начала первого в конец второго, этот

вектор замыкая ломаную из двух векторов образует треугольник.

Правило параллелограмма: Путем параллельного переноса

совмещаем начала обеих векторов, строим на этих векторах

параллелограмм. Тогда вектор диагонали этого параллелограмма,

идущий из их общего начала, будет суммой векторов.

2. Вычитание двух векторов.

3. Умножение вектора на число: результатом умножения

вектора на число является вектор длина которого равна

произведению длины вектора на модуль вектора: | a | = | | | a |.

Направление вектора не меняется, если число положительно

и меняется на противоположное, если число отрицательное.

11. Скалярное произведение векторов.

Определение 1: Скалярным произведением двух

ненулевых векторов называется число, равное

произведению модулей векторов – сомножителей

на косинус угла между ними:

(a, b) = a * b = | a | * | b | cos

Определение 2: скалярное произведение двух

векторов равно модулю одного из них, умноженному

на проекцию второго вектора на первый:

(a, b) = | a | * npab = | b | * npba

Свойства скалярного произведения:

1. (a, b) = (b, a)

2. (a, b + c) = (a, b) + (a,c)

3. (a, b) = (a, b)

4. a * a = a = | a |

Скалярное произведение в координатной форме:

1.| a | = x1 + e1 + z1

(a, b) x1x2 + y1y2 + z1z2

2. cos | a | *| b | x1 + y1 + z1 * x2 + y2 + z2

(a, b) x1x2 + y1y2 + z1z2

3. Проекция вектора а на вектор b: прba = | b | x2 + y2 + z2

⇐ Предыдущая 1 23
Поделиться с друзьями:

Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...

Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...

История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...