Вывод дифференциальных уравнений движения

идеальной жидкости и их интегрирование (уравнений Эйлера).

В потоке идеальной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами x, y, z (рис.5.6) и выделим вблизи этой точки малый объем в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка М была одной из его вершин. Пусть ребра этого параллелепипеда будут параллельны координатным осям и соответственно равны δх, δу и δz, тогда его объем равен δW = δх*δу*δz, а масса δМ= ρδхδуδz.

Xdx +Ydy + Zdz = (1/ρ) *(dp) + d(V²/2), (5.18)

или dU = (1/ρ) *(dp) + d(V²/2).

где U – силовая функция.

Интегрирование этого уравнения выполним для основного частного случая установившегося движения идеальной жидкости, когда на жидкость действует лишь одна массовая сила - сила тяжести. При направлении оси вертикально вверх

X = 0, Y= 0, Z = - g.

Подставляя эти значения в уравнение (5.17) получим

gdz + dp/ρ + d(V²/2) = 0 или dz + dp/(gρ) + d(V²/2g) = 0.

Так как для несжимаемой жидкости ρ = const, предыдущее уравнение можно переписать в виде

d(z + p/(gρ) + (v²/2g)) = 0

Это уравнение означает, что приращение суммы трех членов, заключенных в скобки, при перемещении частицы жидкости вдоль линии тока (траектории) равно нулю, следовательно, указанный трехчлен есть величина постоянная вдоль линии тока, а следовательно, и вдоль элементарной струйки, т. е.

z + p/(gρ) + (v²/2g) → const.

Таким образом, получили уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости, найденное в предыдущем параграфе другим способом.

Если записать это уравнение для двух сечений струйки 1-1 и 2-2, оно примет вид первой формы уравнения Бернулли:

= Н