Уравнение неразрывности потока.

Условие неразрывности потока основывается на законе сохранения вещества.

А также на следующих допущениях:

а) трубка тока имеет свойство непроницаемости для внешних, обтекающих ее потоков;

б) предположение о сплошности (неразрывности) среды для установившегося течения несжимаемой жидкости.

На этих основаниях можно утверждать, что объемный расход во всех сечениях элементарной струйки (см. рис.5.2) один и тот же.

Уравнение неразрывности для элементарной струйки (уравнение расхода для элементарной струйки).

δQ = V₁ *δS₁ = V₂ *δS₂ → const (вдоль струйки). (5.6)
У равнениенеразрывностидля потока, ограниченного непроницаемыми стенками (уравнение расхода для потока).

Q = V_ср1 *S₁ = V_ср2 *S₂ → const (вдоль потока), (5.6’)

где V_ср1, V_{ср2 -} средние скорости.

Из этого уравнения (5.6') следует, что средние скорости в потоке несжимаемой жидкости обратно пропорциональны площадям сечений:

Уравнение расхода (5.6‘) является следствием общего закона сохранения вещества приусловии сплошности (неразрывности) течения.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки

Идеальной жидкости

Установившееся течение идеальной жидкости происходит под действием одной массовой силы — силы тяжести. Для этого случая основное уравнение установившегося течения идеальной жидкости связывает между собой давление в жидкости и скорость ее течения.

Возьмем одну из элементарных струек, составляющих поток, выделим сечениями 1 и 2 участок этой струйки произвольной длины (рис.5.3). Пусть площадь первого сечения равна δS₁, скорость в нем V₁, давление P₁, а высота от плоскости сравнения Z₁. Во втором сечении δS₂, V₂, P₂ и Z₂.

За бесконечно малый отрезок времени δt выделенный участок струйки переместится в положение 1’ – 2’.

Применим к массе жидкости в объеме участка струйки теорему о кинетической энергии: работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела.

На жидкость действуют силы тяжести и силы давления, нормальные к поверхностям сечений рассматриваемого участка струйки.

Используя формулировку теоремы, подсчитаем работу сил давления, сил тяжести и изменение кинетической энергии участка струйки за время δt:

(mV₂²)/2 - (m V₁²)/2 = G*(Z₂- Z₁) = G*h

Работа силы давления в первом сечении положительна, так как направление силы совпадает с направлением перемещения, и выражается как произведение силы p₁*δS на путь V₁δt:

(p₁*δS₁)*(V₁δt)

Работа силы давления во втором сечении имеет знак минус, так как направление силы противоположно направлению перемещения, и определяется выражением

- (p₂*δS₂) *(V₂δt).

Силы давления, действующие по поверхности струйки, работы не производят, так как они нормальны к перемещениям.

Работа сил давления равна

δA = (p₁*δS₁) *(V₁δt)— (p₂*δS₂) *(V₂δt). (5.7)

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии выделенного объема струйки. Из потенциальной энергии жидкости в объеме 1 - 2 вычтем потенциальную энергию жидкости в объеме 1’- 2’. При этом энергия промежуточного объема 1’- 2 сократится, и останется лишь разность энергии элементов 1- 1’, 2- 2’.

По уравнению расходов (закон неразрывности) (5.6’) объемы и силы тяжести заштрихованных элементов 1 -1’ и 2 - 2’ равны между собой:

δG = ρ*g* V₁*δS₁*δt = ρ*g* V₂*δS₂*δt. (5.8)

Тогда работа силы тяжести выразится как произведение разности высот на силу тяжести δG:

(z₁-z₂) *δG. (5.9)

Чтобы подсчитать приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки за время δ t, необходимо из кинетической энергии объема 1’- 2’ вычесть кинетическую энергию объема 1 - 2. При вычитании кинетическая энергия промежуточного объема 1’ - 2 сократится, и останется лишь разность кинетических энергий элементов 2 — 2’ и 1 - 1’, масса каждого из которых равна δG/g.

Таким образом, приращение кинетической энергии на участке струйки равно

(V₂²- V₁²)* δG/(2g), (5.10)

Сложив работу сил давления (см. уравнение 5.7) с работой силы тяжести (5.9) и приравняв эту сумму приращению кинетической энергии (5.10), получим исходное уравнение для трех видов уравнения Бернулли.

(p₁* δ S₁) *(V ₁ δt)— (p₂*δS₂) *(V ₂ δt) +(z₁-z₂) *δG=(V² ₂- V² ₁)* δG/(2g). (5.11).

сохранять на доске!