Стационарный поток. Поле скоростей. Линии и трубки тока. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли.

Гидродинамика

(Элементы механики сплошных сред)

Линии и трубки тока. Теорема о неразрывности струи

Гидродинамика - раздел механики сплошных сред, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие несжимаемых жидкостей с твёрдыми телами. Рассмотрим движение несжимаемой жидкости. Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости , как функцию времени .Совокупность векторов , заданных для всех точек пространства, образует так называемое поле вектора скорости .

Стационарное течение – это установившееся движение жидкости, при котором вектор скорости в каждой точке пространства остаётся постоянным, т.е. .

Линии тока - это линии, проведённые в движущейся жидкости так, что касательные к ним в каждой точке совпадают по направлению с вектором скорости . Густота линий тока пропорциональна величине скорости в данном месте.

Трубка тока – это часть жидкости, ограниченная линиями тока.Частицы жидкости при своём движении не пересекают стенок трубки тока.

Возьмем несжимаемую жидкость и рассмотрим в ней трубку тока. Объём жидкости, прошедшей через поперечное сечение S за время D t, равен Sv D t.

Тогда Q = Sv - поток жидкости, т.е. объём жидкости, прошедшей через поперечное сечение S за единицу времени.

Если жидкость несжимаема, то объем жидкости между сечениями S ₁ и S ₂ будет оставаться неизменным, и тогда S ₁ v ₁ = S ₂ v ₂. Это справедливо для любой пары S ₁ и S ₂, и мы получаем

Sv = const – теорема о неразрывности струи:

Для несжимаемой жидкости величина потока жидкости Sv в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинаковой.

Истечение жидкости из отверстия

Рассмотрим истечение жидкости из небольшого отверстия в широком открытом сосуде. Выделим в жидкости трубку тока, имеющую своим сечением с одной стороны открытую поверхность, а с другой стороны – отверстие, через которое вытекает жидкость. P ₁ = P ₂ – давления в обоих сечениях равны атмосферному. Скорость перемещения открытой поверхности в широком сосуде положим, равна нулю. Тогда:

где v – скорость течения из отверстия. Отсюда:

- формула Торричелли, где h = h ₁ - h ₂

-импульс силы.

- реакция вытекающей струи.

Навигация

Главная
Учебные материалы
Оглавление
Оглавление нижнее
Вверх
Вниз

Оглавление

Медицинская и биологическая физика. Курс лекций с задачами: учеб. пособие / В.Н. Федорова, Е.В. Фаустов. - 2008. - 592 с.

·ПРЕДИСЛОВИЕ

·ПЛАН ЛЕКЦИЙ

·ЛЕКЦИЯ 1 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

·ЛЕКЦИЯ 2 МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

·ЛЕКЦИЯ 3 АКУСТИКА. ЗВУК

·ЛЕКЦИЯ 4 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ФИЗИКИ СЛУХА

·ЛЕКЦИЯ 5 УЛЬТРАЗВУК И ИНФРАЗВУК

·ЛЕКЦИЯ 6 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТКАНЕЙ

·ЛЕКЦИЯ 7 УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ

·ЛЕКЦИЯ 8 ВЯЗКОСТЬ ЖИДКОСТИ

·ЛЕКЦИЯ 9 ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЕМОДИНАМИКИ

·ЛЕКЦИЯ 10 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

·ЛЕКЦИЯ 11 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В МЕМБРАНАХ

·ЛЕКЦИЯ 12 БИОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

·ЛЕКЦИЯ 13 ДИПОЛЬ. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОГРАФИИ

·ЛЕКЦИЯ 14 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

·ЛЕКЦИЯ 15 ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК

·ЛЕКЦИЯ 16 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

·ЛЕКЦИЯ 17 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, ПРОИСХОДЯЩИЕ В ТКАНЯХ ОРГАНИЗМА ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ТОКОВ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

·ЛЕКЦИЯ 18 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МЕДИЦИНСКОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ

·ЛЕКЦИЯ 19 УСИЛИТЕЛИ. ГЕНЕРАТОРЫ

·ЛЕКЦИЯ 20 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

·ЛЕКЦИЯ 21 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

·ЛЕКЦИЯ 22 ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА

·ЛЕКЦИЯ 23 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

·ЛЕКЦИЯ 24 ГЛАЗ И ЕГО ФУНКЦИИ

·ЛЕКЦИЯ 25 МИКРОСКОПИЯ

·ЛЕКЦИЯ 26 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

·ЛЕКЦИЯ 27 ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ. ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ.

·ЛЕКЦИЯ 28 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С ВЕЩЕСТВОМ

·ЛЕКЦИЯ 29 ЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ

·ЛЕКЦИЯ 30 ФОТОБИОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

·ЛЕКЦИЯ 31 ЛАЗЕРЫ. ЛАЗЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

·ЛЕКЦИЯ 32 РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

·ЛЕКЦИЯ 33 РАДИОАКТИВНОСТЬ

·ЛЕКЦИЯ 34 ДОЗИМЕТРИЯ

·РЕКОМЕНДУЕМАЯ НАУЧНАЯ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Категории

·Акушерство и Гинекология

·Анатомия

·Безопасность жизнедеятельности и медицина катастроф

·Биология

·Внутренние болезни

·Гематология

·Гигиена

·Гистология, эмбриология и цитология

·Госпитальная терапия

·Госпитальная хирургия

·Гуманитарные науки

·Дерматовенерология

·Детская хирургия

·Иностранные языки

·Инфекционные болезни

·Микробиология и вирусология

·Неврология и нейрохирургия

·Нормальная физиология

·Общая хирургия

·Общественное здоровье и здравоохранение

·Онкология

·Офтальмология

·Патологическая анатомия

·Патофизиология

·Педиатрия

·Поликлиническая терапия

·Пропедевтика внутренних болезней

·Пропедевтика детских болезней

·Психиатрия

·Психология и педагогика

·Социальные науки

·Стоматология

·Судебная медицина

·Топографическая анатомия и оперативная хирургия

·Травматология и ортопедия

·Факультетская терапия

·Факультетская хирургия

·Фармакология

·Физическая культура

·Физика и медицинская информатика

·Фтизиатрия

·Химия

·Экономика и управление

·Разное

·Библиотека

·Обмен файлами

Начало формы     технология Конец формы Интернет Картинка   Интернет       Картинка
Остек­ление балконов под ключ! pallet-okna.ru Остек­ление и отделка балконов за 2 дня! Скидка 50%! Звоните!Адрес и телефонВоронежСкрыть объявлениеСкрытьрекламу:Не интересуюсь этой темой / Уже купилНавязчивое и надоелоСомнительного содержания или спамМешает просмотру контента Спасибо, объявление скрыто. Остек­ление балконов balconych.ru Каче­ственное остек­ление балконов «под ключ» от профи. Бесплатный замерХолодноеостеклениеТеплоеостеклениеОтделка и утеплениеРассрочкаСкрыть объявлениеСкрытьрекламу:Не интересуюсь этой темой / Уже купилНавязчивое и надоелоСомнительного содержания или спамМешает просмотру контента Спасибо, объявление скрыто. Остек­ление балкона! От 10750 руб! окналидер.рф Быстрое изго­товление! Монтаж по ГОСТ! Гарантия 5 лет!ЦеныВсе услугиСертификатыКонтактыАдрес и телефонВоронежСкрыть объявлениеСкрытьрекламу:Не интересуюсь этой темой / Уже купилНавязчивое и надоелоСомнительного содержания или спамМешает просмотру контента Спасибо, объявление скрыто. Яндекс.Директ

Оглавление

Медицинская и биологическая физика. Курс лекций с задачами: учеб. пособие / В.Н. Федорова, Е.В. Фаустов. - 2008. - 592 с.

·ПРЕДИСЛОВИЕ

·ПЛАН ЛЕКЦИЙ

·ЛЕКЦИЯ 1 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

·ЛЕКЦИЯ 2 МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

·ЛЕКЦИЯ 3 АКУСТИКА. ЗВУК

·ЛЕКЦИЯ 4 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ФИЗИКИ СЛУХА

·ЛЕКЦИЯ 5 УЛЬТРАЗВУК И ИНФРАЗВУК

·ЛЕКЦИЯ 6 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТКАНЕЙ

·ЛЕКЦИЯ 7 УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ

·ЛЕКЦИЯ 8 ВЯЗКОСТЬ ЖИДКОСТИ

·ЛЕКЦИЯ 9 ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЕМОДИНАМИКИ

·ЛЕКЦИЯ 10 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

·ЛЕКЦИЯ 11 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В МЕМБРАНАХ

·ЛЕКЦИЯ 12 БИОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

·ЛЕКЦИЯ 13 ДИПОЛЬ. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОГРАФИИ

·ЛЕКЦИЯ 14 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

·ЛЕКЦИЯ 15 ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК

·ЛЕКЦИЯ 16 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

·ЛЕКЦИЯ 17 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, ПРОИСХОДЯЩИЕ В ТКАНЯХ ОРГАНИЗМА ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ТОКОВ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

·ЛЕКЦИЯ 18 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МЕДИЦИНСКОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ

·ЛЕКЦИЯ 19 УСИЛИТЕЛИ. ГЕНЕРАТОРЫ

·ЛЕКЦИЯ 20 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

·ЛЕКЦИЯ 21 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА

·ЛЕКЦИЯ 22 ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА

·ЛЕКЦИЯ 23 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

·ЛЕКЦИЯ 24 ГЛАЗ И ЕГО ФУНКЦИИ

·ЛЕКЦИЯ 25 МИКРОСКОПИЯ

·ЛЕКЦИЯ 26 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

·ЛЕКЦИЯ 27 ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ. ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ.

·ЛЕКЦИЯ 28 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С ВЕЩЕСТВОМ

·ЛЕКЦИЯ 29 ЛЮМИНЕСЦЕНЦИЯ

·ЛЕКЦИЯ 30 ФОТОБИОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

·ЛЕКЦИЯ 31 ЛАЗЕРЫ. ЛАЗЕРНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

·ЛЕКЦИЯ 32 РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

·ЛЕКЦИЯ 33 РАДИОАКТИВНОСТЬ

·ЛЕКЦИЯ 34 ДОЗИМЕТРИЯ

·РЕКОМЕНДУЕМАЯ НАУЧНАЯ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Уравнение Бернулли

Для идеальной жидкости (сила трения полностью отсутствует) справедливо уравнение, которое было получено швейцарским математиком и физиком Даниилом Бернулли (1700-1782). Рассмотрим тонкую трубку тока и выделим в ней два произвольных сечения (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Параметры сечений в трубке тока

В общем случае эти сечения находятся на различных высотах (h₁ и h₂), а их площади различны (S₁ и S₂). Вследствие уравнения неразрывности различны будут и скорости течения жидкости в этих сечениях (v₁ и v₂). Обозначим давления жидкости в этих сечениях Р₁ и Р₂ соответственно.

Используя закон сохранения механической энергии, можно доказать, что для этих сечений выполняется следующее соотношение:

Давление Р называют статическим. Это давление, которое оказывают друг на друга соседние слои жидкости. Его можно измерить манометром, который движется вместе с жидкостью. Величину ρ v ²/2 называют динамическим давлением. Оно обусловлено движением жидкости. Гидростатическое давление ρgh - это давление, создаваемое весом вертикального столба жидкости высотой h.

Уравнение Бернулли формулируется следующим образом:

Измерение скорости жидкости

Установим в разных местах горизонтальной цилиндрической трубы (струи жидкости) одного сечения две трубки: 1) манометрическую трубку, плоскость отверстия которой расположена параллельно движению жидкости; 2) трубку, изогнутую под прямым углом навстречу движению жидкости (трубку Пито) (рис. 7.6).

В движущемся потоке жидкость в трубках поднимается на разную высоту. Давление под манометрической трубкой равно статическому давлению Р. Оно уравновешивается давлением атмосферы Р_а и давлением столба жидкости h₂:

Имея систему двух таких трубок, вычисляют скорость потока жидкости по формуле (7.10).

Рис. 7.6. Измерение скорости жидкости

Инжектор

Этот прибор используют для дозированной подачи пациенту газообразного препарата. Например, закиси азота или кислорода. Препарат из баллона поступает в смесительную камеру через узкое сопло (рис. 7.7).

При этом скорость движения препарата возрастает, а его давление, в соответствии с уравнением Бернулли, падает. В смесительной камере возникает разрежение, и в нее засасывается атмосферный воздух. Всасывание происходит через одно из отверстий поворотного диска. Отверстия имеют различные диаметры. Выбирая соответствующее отверстие, регулируют состав смеси, подаваемой пациенту.

Рис. 7.7. Подача кислорода при кислородной терапии

Ингалятор

Этот прибор используют для введения в область носоглотки лекарственных средств в распыленном виде (рис. 7.8).

Рис. 7.8. Схема ингалятора

Он состоит из двух трубок, расположенных под прямым углом.

Горизонтально расположенная трубка (1) имеет на конце сужение. Чуть ниже этого конца располагается верхний конец вертикальной трубки (2), нижний конец которой опущен в сосуд с жидким препаратом. В горизонтальную трубку подается пар (3). При прохождении суженного конца скорость пара возрастает, а давление падает. В область пониженного давления засасывается препарат, который распыляется струей пара. В результате образуется смесь пара, воздуха и капелек препарата, которая через патрубок (4) поступает к пациенту.

Основные понятия и формулы

Продолжение таблицы

7.6. Задачи

2. Кровь течет по горизонтальному участку артерии, имеющему сужение. Где давление крови на стенки сосуда будет больше - на суженном или широком участке? Динамическим или статическим давлением обусловлено фонтанирование крови при надрезе артерии?

Решение

Фонтанирование крови при надрезе артерии обусловлено разностью между статическим давлением в артерии и давлением атмосферы.

При прохождении места сужения скорость кровотока возрастает (7.2), а статическое давление, которое и воздействует на стенки сосуда, уменьшается (7.5). Отметим, что вклад динамического давления в полное давление ничтожен. Действительно, принимая v = 0,5 м/с, ρ = 10³ кг/м³, найдем:

Ответ: давление на стенки незначительно уменьшается на участке сужения артерии. Фонтанирование крови при надрезе артерии обусловлено статическим давлением.

3. Скорость потока крови в капиллярах равна примерно v₁ = 30 мм/мин, а скорость потока крови в аорте v₂ = 45 см/с. Определить, во сколько раз площадь сечения всех капилляров больше сечения аорты.

4. Лекарственный раствор вводят в мышцу животного с помощью шприца, внутренний диаметр которого d₁ = 10 мм, а диаметр иглы d₂ = 0,5 мм. Определить скорость истечения раствора из иглы, если скорость перемещения поршня шприца равна v₁ = 2,3 см/с.

7. Наблюдая под микроскопом эритроциты в капилляре, можно измерить скорость течения крови: v₁= 0,5 мм/с. Средняя скорость тока крови в аорте составляет v₂ = 40 см/с. На основании этих данных определить, во сколько раз суммарная площадь поперечных сечений функционирующих капилляров больше площади сечения аорты.

Решение

Условие неразрывности струи было получено для трубки тока переменного сечения. Очевидно, что оно применимо и к разветвлению труб. В задаче такое разветвление начинается с аорты (площадь поперечного сечения S₂) и заканчивается капиллярами (общая площадь сечения S₁). Исходя из этого запишем уравнение неразрывности струи (7.2): S₁/S₂ = v₂/v₁= 800.

Ответ: 800.

8. При всасывании человек может понизить давление в легких на 80 мм рт.ст. ниже атмосферного. Определить, на какую высоту ему удастся втянуть воду по трубочке.

10. Во время бури или смерча с домов иногда срывает крыши. Используя уравнение Бернулли, объяснить, почему это происходит. Решение

Давление в потоке ветра уменьшается. Поэтому давление на чердаке превышает внешнее давление на величину ΔΡ = pv²/2. При этом на кровлю действует направленная наружу сила F = Spv²/2. При скорости v = 35 м/с (ураган), ρ = 1,3 кг/м³ и S = 100 м² величина силы составляет F = 61 000 Н (6 т), что существенно превышает вес кровли.

Линия тока. Трубка тока

При рас­смот­ре­нии ди­на­ми­ки дви­же­ния жид­ко­сти или газа можно не сле­дить за кон­крет­ной точ­кой среды, а сле­дить за кон­крет­ной точ­кой про­стран­ства и фик­си­ро­вать в таких точ­ках на­прав­ле­ние и ве­ли­чи­ну ско­ро­сти раз­лич­ных ча­стиц в дан­ный мо­мент вре­ме­ни. Таким об­ра­зом, в каж­дой точке про­стран­ства можно по­лу­чить неко­то­рый век­тор, име­ю­щий опре­де­лён­ную ве­ли­чи­ну и на­прав­ле­ние. Такая кар­ти­на на­зы­ва­ет­ся полем ско­ро­стей. В этом поле ско­ро­стей можно про­ве­сти неко­то­рые линии, линии тока (так же, как про­во­дят си­ло­вые линии в элек­три­че­ском или гра­ви­та­ци­он­ном полях) (см. рис.1).

Линия тока (на рис. 1 вы­де­ле­ны жёл­тым) – линия в про­стран­стве, на­прав­ле­ние ка­са­тель­ной к ко­то­рой в дан­ный мо­мент вре­ме­ни в каж­дой точке сов­па­да­ет с на­прав­ле­ни­ем век­то­ра ско­ро­сти в этой точке.

Рис. 1. Линии тока в поле ско­ро­стей

Если сде­лать мгно­вен­ное отоб­ра­же­ние, то можно поле ско­ро­стей за­ме­нить ли­ни­я­ми тока.

В том слу­чае, когда ско­ро­сти в дан­ной точке про­стран­ства не ме­ня­ют­ся со вре­ме­нем, такое дви­же­ние на­зы­ва­ют ста­ци­о­нар­ным дви­же­ни­ем жид­ко­сти или газа. В этом слу­чае кар­ти­на линий тока не будет за­ви­сеть от вре­ме­ни, она будет за­мо­ро­же­на. Линия тока в дан­ном слу­чаи будет пред­став­лять собой тра­ек­то­рию дви­же­ния от­дель­ной ча­сти­цы, ко­то­рая будет дви­гать­ся в каж­дый мо­мент вре­ме­ни в на­прав­ле­нии ка­са­тель­ных к этой линии.

Рис. 2. Труб­ка тока

При ста­ци­о­нар­ном те­че­нии жид­ко­сти или газа из ста­ци­о­нар­ных линий тока можно по­стро­ить по­верх­ность такой формы, ко­то­рая на­зы­ва­ет­ся труб­кой тока (см. рис. 2). Эта труб­ка – мыс­лен­но вы­де­лен­ная труба, по ко­то­рой течёт жид­кость или газ (далее будет рас­смат­ри­вать­ся дви­же­ние жид­ко­сти имен­но в такой трубе). Если за опре­де­лён­ное время неко­то­рая масса жид­ко­сти пе­ре­тек­ла через по­верх­ность се­че­ния такой трубы , то такое же ко­ли­че­ство жид­ко­сти долж­но пе­ре­течь через се­че­ние трубы , так как с те­че­ни­ем вре­ме­ни пол­ная масса жид­ко­сти в этом объ­ё­ме, вы­де­лен­ным двумя се­че­ни­я­ми, ме­нять­ся не долж­на.

Уравнение Бернулли

Ди­на­ми­ка дви­же­ния ре­аль­ной жид­ко­сти очень слож­ная, од­на­ко в неко­то­рых слу­ча­ях можно пре­не­бречь вяз­ко­стью жид­ко­сти, то есть на­ли­чи­ем тре­ния между раз­лич­ны­ми сло­я­ми жид­ко­сти. В этом слу­чае при дви­же­нии жид­ко­сти не вы­де­ля­ет­ся тепло, то есть со­хра­ня­ет­ся ме­ха­ни­че­ская энер­гия. Закон дви­же­ния такой иде­аль­ной несжи­ма­е­мой жид­ко­сти без вяз­ко­сти на­зы­ва­ет­ся урав­не­ни­ем Бер­нул­ли, ко­то­рое пол­но­стью ос­но­ва­но на за­коне со­хра­не­ния ме­ха­ни­че­ской энер­гии.

Рас­смот­рим энер­ге­ти­че­ские со­от­но­ше­ния при дви­же­нии иде­аль­ной несжи­ма­е­мой жид­ко­сти. Вы­де­ля­ем неко­то­рую труб­ку тока, огра­ни­чен­ную се­че­ни­я­ми и (см. рис. 3). За неко­то­рое время масса жид­ко­сти, за­клю­чён­ной между се­че­ни­я­ми и , сме­стит­ся. Се­че­ние пе­рей­дёт в се­че­ние , а – в .

Рис. 3. Труб­ка тока

Рас­смат­ри­ва­ем не толь­ко очень ма­лень­кие се­че­ния труб­ки тока, но и очень ма­лень­кие про­ме­жут­ки вре­ме­ни, в те­че­ние ко­то­рых се­че­ния сме­стят­ся на очень ма­лень­кую ве­ли­чи­ну. Будем пре­не­бре­гать из­ме­не­ни­ем пло­ща­ди се­че­ний, из­ме­не­ни­ем вы­со­ты, ско­ро­сти и дав­ле­ния на этих се­че­ни­ях. С учё­том этих дан­ных рас­счи­та­ем ра­бо­ту внеш­них сил над дан­ным объ­ё­мом жид­ко­сти. Эта ра­бо­та скла­ды­ва­ет­ся из таких работ:

1) Внеш­няя часть жид­ко­сти давит на се­че­ние с силой , по­это­му со­вер­ша­ет ра­бо­ту при пе­ре­ме­ще­нии этого се­че­ния.

2) Внеш­няя часть жид­ко­сти давит на се­че­ние с силой и со­вер­ша­ет от­ри­ца­тель­ную ра­бо­ту при пе­ре­ме­ще­нии этого се­че­ния.

Также ме­ня­ет­ся ки­не­ти­че­ская и по­тен­ци­аль­ная энер­гия жид­ко­сти.

Для того чтобы легче было это по­нять, рас­смот­рим объём жид­ко­сти, за­клю­чён­ный между се­че­ни­я­ми и . Энер­гия, масса, ско­рость, дав­ле­ние и осталь­ные ха­рак­те­ри­сти­ки этого объ­ё­ма не из­ме­ни­лись в силу ста­ци­о­нар­но­сти дви­же­ния. По­это­му вся ра­бо­та внеш­них сил при­ве­ла к тому, что энер­гия части жид­ко­сти между и пе­ре­ме­сти­лась в часть между и с ниже по­счи­тан­ны­ми из­ме­не­ни­я­ми:

-ра­бо­та внеш­них сил в верх­ней части труб­ки: ;

-ра­бо­та внеш­них сил в ниж­ней части труб­ки ( сдви­га­ет­ся в сто­ро­ну про­ти­во­по­лож­ную силе дав­ле­ния, по­это­му ра­бо­та имеет знак минус): ;

-сум­мар­ная ра­бо­та, про­из­ве­дён­ная над объ­ё­мом, пе­ре­дви­нув­шим­ся за время : .

Вы­чис­лим из­ме­не­ние энер­гии рас­смот­рен­но­го от­рез­ка труб­ки тока (из­ме­не­ние энер­гии части жид­ко­сти между и по срав­не­нию с энер­ги­ей между и ), для этого из энер­гии ко­неч­ной от­ни­ма­ем энер­гию на­чаль­ную.

Из­ме­не­ние по­тен­ци­аль­ной энер­гии (по­тен­ци­аль­ная энер­гия – это масса (масса – это плот­ность (), умно­жен­ная на объём, а объём в дан­ном слу­чае – это по­пе­реч­ное се­че­ние на длину участ­ка между и или и ()), умно­жен­ная на уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния () и вы­со­ту этого участ­ка над неко­то­рым ну­ле­вым уров­нем):

.

Из­ме­не­ние ки­не­ти­че­ской энер­гии (масса, умно­жен­ная на квад­рат ско­ро­сти и де­лён­ная на два): .

Из­ме­не­ние энер­гии в со­от­вет­ствии с за­ко­ном со­хра­не­ния энер­гии равно ра­бо­те внеш­них сил.

При­рав­ни­ва­ем эти ве­ли­чи­ны и пе­ре­но­сим сла­га­е­мые с оди­на­ко­вы­ми ин­дек­са­ми в одну сто­ро­ну. Со­кра­тив , и (со­глас­но усло­вию нераз­рыв­но­сти ), по­лу­ча­ем окон­ча­тель­ный ре­зуль­тат: .

Се­че­ния и были вы­бра­ны про­из­воль­но, по­это­му урав­не­ние можно за­пи­сать в таком виде: .

Мы по­лу­чи­ли урав­не­ние Бер­нул­ли. Это урав­не­ние утвер­жда­ет, что сумма фи­зи­че­ских ве­ли­чин () по­сто­ян­на вдоль очень узкой труб­ки тока. В ма­те­ма­ти­че­ском смыс­ле сле­ду­ет устре­мить се­че­ние этой труб­ки к нулю, то есть по­лу­чим линию тока. Сле­до­ва­тель­но, вдоль любой линии тока.

Уравнение Бернулли.

Изучение движения реальных жидкостей и газов, вообще говоря, представляет собой довольно сложную задачу. Для ее упрощения сначала полностью пренебрегают силами внутреннего трения, считая жидкости идеальными.

Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости в каком-либо консервативном силовом поле, например в поле силы тяжести.[1] Применим к этому течению закон сохранения энергии. При этом будем полностью пренебрегать теплообменом, который может происходить между частями жидкости с окружающей средой. Выделим в жидкости бесконечно узкую трубку тока и рассмотрим часть жидкости, занимающую объем MNDC.

Пусть эта часть переместилась в бесконечно близкое положение M₁N₁D₁C₁. Вычислим работу А, совершаемую при этом силами давления. Давление, действующее на боковую поверхность трубки тока, перпендикулярно к перемещению и работы не совершает. При перемещении границы MN в положение M₁N₁ совершается работа A ₁ = p ₁ S ₁ l ₁, где l ₁ = MM₁ – величина перемещения. Введя объем ∆₁ V = S ₁ l ₁, ее можно представить в виде A ₁ = p ₁∆₁ V или , где — масса жидкости в объеме MNN₁M₁. При перемещении границы CD в положение C₁D₁ жидкость совершает работу против давления Р₂ (или давление Р₂ совершает над жидкостью отрицательную работу). Для нее, рассуждая аналогично, найдем , где — масса жидкости в объеме . Но если движение стационарно, то масса жидкости в объеме M₁N₁DC не изменится, а потому из закона сохранения массы получим . Опуская индексы у , для работы, совершаемой внешним давлением, окончательно находим

Эта работа должна быть равна приращению полной энергии выделенной части жидкости. Ввиду стационарности течения энергия жидкости в объеме M₁N₁DC не изменилась. Поэтому величина равна разности энергий массы жидкости в положениях CDD₁С₁ и MNN₁M₁. Обозначая посредством ε полную энергию, приходящуюся на единицу массы жидкости, находим Приравнивая эту величину работе А и сокращая на , получаем

Отсюда следует, что вдоль одной и той же линии тока при стационарном течении идеальной жидкости величина остается постоянной:

Это соотношение называется уравнением Даниила Бернулли (1700—1782), который впервые опубликовал его в 1738 году. При выводе уравнения Бернулли мы нигде не использовали предположения о несжимаемости жидкости. Поэтому оно справедливо и для сжимаемых жидкостей. Требуется только, чтобы жидкость была идеальной, а течение – стационарным.

Если жидкость несжимаемая, то вся энергия ε складывается из кинетической энергии единицы массы жидкости и ее потенциальной энергии gh в поле тяжести. В этом случае уравнение Бернулли принимает вид

Подчеркнем, что это постоянство этой величины выполняется только вдоль одной и той же линии тока. Вообще говоря, она может меняться при переходе от одной линии тока к другой. Но могут быть и такие случаи, где постоянная Бернулли одна и та же для всего потока жидкости. Рассмотрим один довольно часто встречающийся частный случай. Допустим, что все линии тока начинаются или оканчиваются в такой области, где жидкость практически находится в состоянии покоя. Возьмем одну из точек линии тока в этой области. Тогда в уравнении Бернулли следует считать v = 0 и мы получим

.

Но во всей области, где жидкость покоится, должно выполняться условие , так как давление в покоящейся жидкости одинаково (при соответствующем введении начала координат направления оси это представляет собой условие равновесия). Поэтому в рассматриваемом случае постоянная Бернулли для всех линий тока будет одинаковой.

Допустим теперь, что тонкая трубка тока имеет переменное поперечное сечение, а ось ее горизонтальна. (Примером может служить горизонтальная труба переменного сечения, по которой течет жидкость). Тогда h — const, и уравнение Бернулли принимает вид

Отсюда видно, что давление больше там, где меньше скорость v, и наоборот. С другой стороны, согласно соотношению , скорость v минимальна там, где максимально сечение трубки. Значит, в широких частях трубки давление максимально, а в узких — минимально. Такой результат является непосредственным следствием второго закона Ньютона. Действительно, когда жидкость из широкой части течет в узкую, то скорость ее возрастает. Значит, ускорение направлено в сторону течения, т.е. на рис. слева направо. Это ускорение сообщается разностью давлений, действующих на рассматриваемую часть жидкости слева и справа. Следовательно, давление слева, т. е. в более широкой части трубки, должно быть больше, чем справа, где трубка уже.

 

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих следствия из уравнения Бернулли.

Пульверизатор.

Возьмем трубку с суживающимся наконечником и будем продувать через нее воздух. Давление воздуха в узкой части наконечника и в выходящей из него струе будет меньше атмосферного.

Поднесем теперь струю воздуха к верхнему концу стеклянной трубки, нижний конец которой погружен в воду, а верхний оканчивается узким наконечником (рис. 2.3, а). Вода в стеклянной трубке будет подниматься, разбрызгиваться и увлекаться струей воздуха. На этом принципе основано устройство пульверизатора.

 

 

Рис. 2.3.

Если трубка, по которой продувается воздух, не снабжена узким наконечником, а имеет постоянное поперечное сечение (рис. 2.3, б), то поднятие воды и разбрызгивание не происходит. Если, однако, такую трубку поднести вплотную к наконечнику трубки, погруженной в воду, так, чтобы между ними образовался узкий зазор (рис.2.3, в), то вода опять поднимается и разбрызгивается. Зазор между трубками выполняет роль узкого наконечника, понижающего давление воздуха в струе.

 

Рассмотрим другой пример.

Если два слегка изогнутых листа твердой бумаги подвесить на горизонтальных проволоках (рис. 2.4) и продувать между ними воздух, то они притягиваются друг к другу. Дело в том, что давление воздуха Р между листами в наиболее узком месте

 

Рис. 2.5.

становится меньше атмосферного Р₀, и наружное атмосферное давление прижимает листы друг к другу. Можно также подвесить на небольшом расстоянии друг от друга две стеклянные колбы. При продувании воздуха между ними колбы начинают стучать, сталкиваясь друг с другом. Притяжение такого же типа наблюдается между двумя кораблями, когда они идут параллельным курсом на небольшом расстоянии друг от друга. Это легко объяснить, если перейти в систему отсчета, в которой корабли покоятся, а вода течет между ними. Описанное явление не раз было причиной столкновения судов и приводило к авариям.

 

3. Формула Торричелли. Кавитация. Форма струи жидкости

Уравнение Бернулли имеет самое широкое применение на практике. В качестве первого примера рассмотрим стационарное истечение идеальной несжимаемой жидкости из сосуда (рис.2.6). Если полагать, что сосуд достаточно велик, а отверстие мало, то можно считать, что при истечении уровень жидкости не изменяется заметно в течение достаточно продолжительного промежутка времени. Пусть на поверхность жидкости в сосуде действует давление (например, атмосферное). Будем также полагать, что струя вытекает в пространство, где внешнее давление также равно (истечение в атмосферу). Обобщение на различные давления не составляет труда. Проведем некоторую гипотетическую линию тока и выберем на ней две точки: одну на поверхности жидкости в сосуде (точка 1), другую внутри отверстия (точка 2).

 

Рис.2.6.

Тогда для этой линии тока можно записать уравнение Бернулли: Поскольку поверхность жидкости в сосуде предполагается неподвижной ), из последнего равенства следует: Это соотношение называется формулой Торричелли. Заметим, что такую же скорость приобретает тело, которое падает в пустоте с высоты h. С помощью формулы Торричелли, можно оценить, за какое время жидкость полностью истечет из сосуда.

Задача о вытекании жидкости из сосуда.

Пусть внизу сосуда имеется отверстие площадью S₀, а в самом сосуде начальная высота уровня жидкости равна h ₀. Нужно найти зависимость высоты уровня жидкости от времени. За какое время жидкость полностью вытечет из сосуда?

Применим формулу Торричелли для скорости жидкости:

.

Тогда объем жидкости, вытекающий в секунду из сосуда, может быть рассчитан, как

.

Но с другой стороны, объем равен:

.

Таким образом, получаем дифференциальное уравнение:

.

Разделяем переменные и интегрируем: