Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-12-13 | 180 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Цель занятия – научиться разлагать рациональные дроби на простейшие, научиться интегрировать простейшие рациональные дроби.
Изучив оба метода интегрирования: замену переменной и интегрирование по частям, перейдем к нахождению интегралов от различных классов элементарных функций.
Определение. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:
.
В последующем постоянно предполагается, что дробь несократима, т.е. многочлены не имеют общих корней. Рациональная дробь называется правильной, если , и неправильной, если . Рассмотрим несколько примеров.
.
Здесь дробь правильная, так как ; дробь также правильная, так как ; дробь неправильная, так как . Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель, можно получить целую часть этой дроби – многочлен степени , плюс некоторую правильную рациональную дробь. Таким образом, неправильная рациональная дробь представлена в виде
, где - многочлен степени , а - правильная рациональная дробь.
Пример. Выделить целую часть дроби .
Делим числитель на знаменатель «углом»:
.
Замечание. В простейших случаях, когда, например, , эту работу можно выполнить быстрее:
,
.
Поскольку интегрирование многочлена не представляет труда, то по существу, дело сводится к интегрированию правильных рациональных дробей. Для этого потребуются некоторые новые понятия.
Хорошо известно, что квадратный трехчлен с вещественными корнями разлагается на линейные множители: .
В общем случае многочлен степени n разлагается на произведение линейных и квадратных множителей вида
,
причем указанные трехчлены не имеют вещественных корней. При этом говорят, что корень - простой, корень имеет кратность к.
|
Примеры
Многочлен имеет простые вещественные корни
.
Решение. Многочлен имеет вещественный простой корень ; двукратный корень .
Определение. Следующие рациональные дроби называются простейшими первого, второго, третьего и четвертого типов:
.
Здесь - заданные числа, .
В последующем постоянно предполагается, что трехчлен не имеет
вещественных корней и, следовательно, не разлагается на линейные множители.
Примеры. Рассмотрим дроби
.
Здесь - дробь первого типа, причем - дробь второго типа, где . - дробь третьего типа, где , причем трехчлен вещественных корней не имеет. Дробь принадлежит к четвертому типом, где .
Дроби и принадлежат соответственно к первому и второму типам, причем .
Теорема о разложении рациональной дроби. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей первого – четвертого типов. При этом если - простой вещественный корень знаменателя , то в разложении ему соответствует дробь первого типа ; если - вещественный корень кратностью k, то в разложении ему соответствует сумма k дробей первого и второго типов:
; если в знаменателе имеется трехчлен без вещественных корней, то в разложении дроби ему соответствует дробь третьего типа ; если, наконец, знаменатель содержит множитель , то в разложении ему соответствует сумма «k» дробей третьего и четвертого типов: .
Таким образом, разложение дроби существенно зависит от того, какие корни имеет знаменатель . Поэтому разложение рекомендуется проводить по следующей схеме.
1. Найти все корни знаменателя и определить их кратность.
2. Написать разложение на линейные и квадратные множители.
3. Написать сумму простейших дробей в соответствии с полученным разложе-нием знаменателя.
Пример 1. Разложить дробь .
Решение. Здесь знаменатель имеет разложение . Отсюда следует, что - простой вещественный корень, ему соответствует дробь ; - вещественный двукратный корень, ему соответствует сумма дробей . Поэтому данная дробь представлена суммой .
|
Пример 2. Разложить дробь .
Решение. Здесь , причем трехчлен вещественных корней не имеет, поэтому .
Пример 3. Разложить дробь .
Решение. Здесь знаменатель
имеет вещественные простые корни: . Двучлен веществен-ных корней не имеет: если , то . Поэтому разло-жение дроби имеет вид
.
Теперь перейдем к нахождению неопределенных коэффициентов разложения: А, В, С,…. Существуют два способа их определения. Поскольку оба способа достаточно простые, рассмотрим их на конкретных примерах.
Первый способ. Дробь представлена в виде
.
Поскольку здесь знаменатели равны, то должны быть равны и числители.
. Имеет место равенство двух многочленов, которое выполняется тождественно, т.е. при любых значениям «х».
Пусть, например, при при . Таким образом, получили разложение дроби .
Замечание. Нахождение неопределенных коэффициентов А, В, С, … упрощается, если в качестве значений «х» брать корни знаменателя.
Второй способ покажем на следующем примере:
,
. В правой части раскроем скобки и приведем подобные члены, тогда или . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х и свободные члены, получаем систему линейных уравнений относительно А, В, С: . Решив эту систему способом подстановки (или по формулам Крамера), получим . Подставим эти значения во второе равенство: . Получаем разложение дроби .
Замечание. Результат вычислений всегда можно проверить. Так, в последнем примере .
Упражнение. Разложить на простейшие дробь . Разложив дробь на простейшие и проинтегрировав полученное равенство, получим в правой части (в общем случае) сумму следующих четырех интегралов:
Первый из них по существу табличный: . Второй интеграл степенной:
.
Третий интеграл был рассмотрен выше.
Рассмотрим подробнее интеграл , . Так как , чи-слитель представляем в виде , . Интеграл степенной, так как
.
Для нахождения интеграла выделим из трехчлена полный квадрат:
.
Тогда . Этот интеграл находится с помощью рекуррентного соотношения (15). Впрочем интеграл может быть найдем с помощью тригонометрической подстановки .
Пример. Найти интеграл .
Решение. Так как , получим .
Тогда .
. Полагая в формуле (15) , получим
, где ,
. Окончательно находим
Для сравнения найдем , где с помощью подстановки . Тогда . Поэтому
|
. Так как , получим
, . Из подстановки следует, что ,
,
.
Решить примеры
.
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!