Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-12-13 | 205 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Цель занятия – научиться пользоваться формулой и применять ее к каждому из рассмотренных ниже классов функций.
Если заданный интеграл не может быть найден рассмотренными выше способами, то подынтегральное выражение разбивают на два сомножителя (u и dv) таким образом, чтобы интеграл был табличным или сводился к табличному. Единого правила для этого не существует, однако можно провести некоторую классификацию интегралов, которые берутся по частям.
1. Интегралы, содержащие произведение многочлена на тригонометрические или показательные функции. Более точно к первому классу относятся интегралы вида
Так как интегралы от по существу табличные, то в этих примерах мешает интегрированию многочлен . От него можно освободиться путем n-кратного дифференцирования, так как при каждом дифференцировании степень многочлена понижается на одну единицу. Поэтому во всех примерах в качестве функции u берут многочлен, т.е. полагают, что . Приведем примеры.
,
Окончательно можно записать:
,
.
Замечание. Обратите внимание, что здесь был дан одночлен второй степени,
т. е. . Поэтому формула интегрирования по частям применялась дважды.
2. Так называемые циклические интегралы. К ним относятся интегралы вида
.
В интегралах и надо дважды применить формулу интегрирования по частям, причем разбиение подынтегрального выражения на u и dv можно выполнить
по-разному. Найдем, например, интеграл .
.
Повторяем этот процесс.
.
.
Здесь в правой части находится исходный интеграл .
. Решив это уравнение относительно , найдем , , .
Аналогично доказывается, что интеграл определяется формулой
. Для нахождения интегралов достаточно один раз применить формулу интегрирования по частям, а затем воспользоваться формулами тригонометрии. Например,
|
Так как , то , поэтому
,
.Отсюда следует, что
. Как видно, циклические интегралы находятся довольно громоздким способом, поэтому они внесены в таблицу интегралов под номерами (11) – (14).
3. К третьему классу относятся некоторые интегралы, содержащие аркусы или логарифмы в сочетании с многочленами:
Так как в таблице нет интегралов от аркусов или логарифмов, то эти функции надо «убить» с помощью дифференцирования. Поэтому в качестве функции u берем .
,
Полученный интеграл снова берем по частям.
Окончательно получаем ,
.
Замечание. Указанные три класса не исчерпывают многообразия всех случаев применения формулы интегрирования по частям. Например, интеграл относится к числу циклических. Действительно, полагая
получим
.
Полученный интеграл снова находим по частям
.
Итак, .
Отсюда , .
Замечание. Во многих случаях приходится применять оба способа – замену переменной и интегрирование по частям, например,
.
Интегрируя по частям трижды, находим, что
. После подстановки
.
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!