Оценка точности измерения величин и их функций по карте и

Местности.

Цель работы: Освоить методику оценки точности измерений для проверки качества решения инженерных задач по карте.

Приборы и оборудование: калькулятор, масштабная линейка, геодезический транспортир, измеритель, топографическая карта масштаба 1:10000.

 

3.1.Оценка точности результатов измерений по истинным ошибкам.

Формулы и обозначения:

m _l = - средняя квадратическая ошибка измерения (3.1)

 

D_пред. = 3 m l - предельная ошибка измерения. (3.2)

 

m_ml= - средняя квадратическая ошибка величины

(надежность оценки точности). (3.3)

 

D_i = l_i – X - истинная ошибка. (3.4)

где: l_i - результат измерений,

Х­­­ - истинное значение измеренной величины (за истинное значение может быть принято точное, на порядок точнее измерений, значение)

n - число измерений.

Задача 3.1.1

При измерении границы земельного участка лентой получены значения l_i (м): 100,01; 100,08; 99,95; 99,90+0,01N (N - номер индивидуального задания). Известно значение X = 100,010 м.

Вычислить среднюю квадратическую и предельную ошибки одного измерения и установить надежность оценки.

Задача 3.1.2.

При измерении угла теодолитом получены значения l_i: 90°00,5¢; 90°00,8¢; 89°59,7¢; 89°59,5¢; 90°00,2¢; 89°59,2¢. Известно значение X = 90°00,05¢.

Вычислить среднюю квадратическую и предельную ошибки одного измерения и установить надежность оценки.

 

 

Пример для задач 3.1.

Условие задачи.

При измерении превышения тригонометрическим нивелированием получены значения l_i(м): 2,46; 2,60; 2,52; 2,50.

Известно значение X = 2,525 м.

Требуется выполнить оценку точности, предусмотренную при решении задач 3.1-3.2.

 

Решение задачи.

Таблица 3.1.

Обработка ряда измерений по истинным ошибкам.

№ измерения	результат измерений li, м	Di = li – X, см.	Di²
	2,46	-6,5	42,25
	2,60	+7,5	56,25
	2,52	-0,5	0,25
	2,50	-2,5	6,25
		åDi = -2,0	åDi² = 105,00

 

 

m _l = = 5,1 см

 

D_пр = 3 * 5,1 = 15,3 см

 

m_ml= = 1,8 см

 

Оценка точности результатов равноточных измерений одной и той же величины.

Формулы и обозначения.

 

- средняя квадратическая ошибка одного измерения (3.5)

 

- средняя квадратическая ошибка вероятнейшего значения (3.6)

 

- вероятнейшее значение измеренной величины (3.7)

 

V_i = L – l_i - вероятнейшая поправка (3.8)

 

- средняя квадратическая ошибка величины (3.9)

- средняя квадратическая ошибка величины (3.10)

[V] = d_L * n - контроль вычислений L и V. (3.11)

где: n – число измерений.

d_L = L_окр. – L_точн. - ошибка округления значения L. (3.12)

Задача 3.2.1.

Измерить на карте линию (АВ или ВС, или СА, точки А, В, С из задач 2.1 – 2.4) с помощью измерителя и масштабной линейки (до 0,1 мм) четыре раза. Вычислить вероятнейшее значение длины линии, среднеквадратическую и предельную ошибки одного измерения и вероятнейшего значения длины линии. Установить надежность оценки точности.

Задача 3.2.2.

Измерить на карте угол АВС (точки А, В, С из задачи 2.1 – 2.4) с помощью геодезического транспортира (до 3') четыре раза. Найти вероятнейшее значение угла, среднюю квадратическую ошибку и предельную ошибку одного измерения и вероятнейшее значение угла. Установить надежность оценки точности.

Задача 3.2.3.

Измерить по карте площадь контура (заданного преподавателем) с помощью планиметра четыре раза. Вычислить вероятнейшее значение площади, среднюю квадратическую и предельную ошибки одного измерения и вероятнейшего значения площади. Установить надежность оценки точности.

Пример для задач 3.2.

При измерении угла на карте получены значения l_i: 65°15'; 65°21'; 65°12'; 65°24'. Найти вероятнейшее значение угла и выполнить оценку точности, предусмотренную в задачах 3.2.1 – 3.2.3.

 

 

Решение.

Таблица 3.2

Обработка ряда равноточных измерений.

№ измерения	Результат измерения, li	Вероятнейшая поправка,Vi	Vi²
	65°15¢	+0,8¢	0,64
	65°21¢	-5,2¢	27,04
	65°09¢	+6,8¢	46,24
	65°18¢	-2,2¢	4,84
	å 65° * 4 + 63¢	+0,2¢	78,76

 

L_точн.= 65° + 63’: 4 = 65°15,75’

L_окр. = 65°15,8’

d_L = 65°15,8’ – 65°15,75’ = 0,05’

Контроль: [V] = 0,05’ х 4 = 0,2’

 

m _L = 5,1¢: = 2,6¢

m_ml= 5,1¢: = 2,9¢

m_mL= 2,6¢: = 1,3¢

 

3.3. Оценка точности функций измеренных величин.

 

Формулы и обозначения.

 

u = f (х₁, х₂,... х_n) - функция нескольких переменных (3.13)

 

m_u = - средняя квадратическая ошибка функции нескольких переменных (для линейных функций можно применить более простые формулы), (3.14)

где: ¶u/ ¶x_i - частные производные функции по каждой переменной, m_i – средняя квадратическая ошибка переменной.

Задача 3.3.1.

Определить площадь треугольника АВС (точки А, В, С из задач 2.1 – 2.4) с помощью измерителя, масштабной линейки и геодезического транспортира двумя способами по формулам:

 

Р₁ = ½ a h

Р₂ = ½ S₁ S₂ sinb

 

Рис. 3.1. Схема к определению площади треугольника.

Вычислить среднюю квадратическую ошибку определения площади каждым способом (m_Р1и m_Р2) и допустимое расхождение площадей, определенных двумя способами. Допустимое расхождение площадей вычислить как предельную ошибку разности площадей по формуле:

(3.15)

При вычислении значений m_Р величину ошибок переменных mi принять равными значениям m_S из задачи 3.3, m_b - из задачи 3.4.

Задача 3.3.2.

Вычислить предельную ошибку и допустимую невязку площади участка, состоящего из трех контуров (при D_пред = 3m), если средние квадратические ошибки площадей контуров равны: m₁ = 0,21 га; m₂ = 0,15 га; m₃ = (0,10 + 0,01 * N) га.

Задача 3.3.3.

Вычислить предельную ошибку и допустимую невязку суммы n (2 + N) углов теодолитного хода (D_пред = 2m), если средняя квадратическая ошибка измеренного угла равна m_b = (10 + N)".

Пример по задачам 3.3.

Условие задачи.

Вычислить предельную ошибку превышения D_пред = 3m из тригонометрического нивелирования, если известны средние квадратические ошибки: горизонтального проложения линии S, m_S = 0,10 м и вертикального угла n, m_n = 0,5¢, при S = 100 м и n = 5°44¢.

Решение.

Функция (превышение): h = S tg n

Частные производные: ¶h/¶S = tg n,

¶h/¶n = S/соs²n

Средняя квадратическая ошибка превышения:

,

m_h = 0,058 м

Предельная ошибка превышения: D_h = 3 * 0,058 м = 0,17 м

 

 

3.4.Оценка точности по разностям двойных равноточных

измерений.

Формулы и обозначения.

- результаты двойных равноточных измерений.

d_i = l_i – l'_i - разность двойных измерений (3.16)

 

При отсутствии существенного влияния систематических ошибок:

|[ d ]|<0,25[| d |] - критерий отсутствия существенного влияния (3.17)

- средняя квадратическая ошибка разности (3.18)

m_l = m_d / Ö 2 - средняя квадратическая ошибка одного измерения (3.19)

m_lср. = m_d / 2 - средняя квадратическая ошибка среднего (3.20)

значения из двойных измерений

 

При отсутствии влияния систематических ошибок:

 

|[d]|>0,25[|d|] - критерий наличия существенного влияния

q_ср. = [ d ] / n - среднее значение систематической ошибки (3.21)

¶_i = d_ср. – q_ср. - значение влияния случайных ошибок (3.22)

 

m_d = Ö [ ¶² ] / n - средняя квадратическая ошибка разности (3.23)

m_l = m_d / Ö 2 - средняя квадратическая ошибка одного (3.24)

измерения

m _{l ср}. = m_d / 2 - средняя квадратическая ошибка среднего (3.25)

значения из двойных измерений

Задача 3.4.

Произвести оценку точности геометрического нивелирования по результатам двойных измерений превышений на станции по черной и красной сторонам реек: вычислить среднюю квадратическую ошибку превышения, полученного по одной стороне реек, и среднего превышения по двум сторонам реек. Результаты нивелирования на пяти станциях приведены в таблице 3.3, в которой следует произвести необходимые вычисления.

Таблица 3.3

Обработка ряда неравноточных измерений

№ станций	Превышения по сторонам реек, мм	d,мм	d²	¶,мм	¶²
	черной	красной
	+1206	+1208	-2		-3
	+0466	+0462
	+2251	+2254	-3		-4
	+0925	+0930	-4		-5
	+0967	+0957+D
			[d]= 5	[d²]=145	[¶]= 0	[¶²]=140