Практическое занятие №2. Вычисление характеристик эмпирических распределений (выборочных характеристик).

 

2.1 Основные понятия и определения

 

Для компактного описания совокупности наблюдений (результатов измерений характеристик) используют методы описательной статистики(описания результатов с помощью различных агрегированных показателей и графиков).

Показатели описательной статистики можно разбить на несколько групп:

1) показатели положения – описывают положение экспериментальных данных на числовой оси. К таким показателям относятся:

- max и min элементы выборки;

- среднее выборочное;

Пусть имеется ряд наблюдений х₁, х₂, х₃, ….х_n непрерывно распределенной случайной величины, тогда среднее значение наблюдаемого признака (выборочное среднее) определяется по формуле:

 

, где (2.1)

 

х_i - значение наблюдаемого признака;

n - объем выборки.

 

- медиана – значение исследуемого признака, справа и слева от которого находится одинаковое число упорядоченных элементов выборки.

Если объем выборки (n) – четное число, то медианой является среднее арифметическое двух центральных членов:

 

(2.2)

 

Если n - нечетное, то:

 

(2.3)

 

- мода – значение признака, которому соответствует наибольшая частота.

2) показатели разброса – описывают степень разброса данных относительно своего центра (среднего значения).

К ним относятся, например:

- размах, варьирование или интервал выборки – разность между max и min элементами выборки;

- выборочная дисперсия или дисперсия эмпирического распределения, рассчитывается как сумма квадратов разности между элементами выборки и средним значением:

 

, (2.4)

 

где - отклонение каждого наблюдения от среднего.

 

Дисперсия характеризует разброс элементов выборки вокруг среднего значения.

- среднеквадратические отклонения:

а) для дисперсии эмпирического распределения:

 

(2.5)

 

б) для несмещенной оценки дисперсии теоретического распределения σ² (для генеральной совокупности):

 

, где (2.6)

 

Оценка называется несмещенной, если при любом числе наблюдений n ее математическое ожидание точно равно значению оцениваемого параметра.

- центральные моменты распределения – отклонение отдельных величин признака от его средней арифметической величины:

а) первый центральный момент равен:

 

(2.7)

 

 

б) второй центральный момент равен:

 

 

(2.8)

 

 

в) третий центральный момент равен:

 

(2.9)

 

г) четвертый центральный момент равен:

 

(2.10)

- и другие;

 

3) показатели асимметрии – положение медианы относительно среднего:

- коэффициент эксцесса, является характеристикой того, насколько кучно основная масса данных группируется около центра и является характеристикой поведения плотности (полигона) в районе её модального значения:

 

(2.11)

 

Для нормального распределения .

Аналогом отсчета в измерении степени островершинности служит нормальное распределение, для которого g₂=0.

Для островершинных (по сравнению с нормальным распределением) g₂>0, а для плосковершинного g₂<0.

- коэффициент асимметрии, характеризует асимметричность распределения;

Выборочный коэффициент асимметрии является характеристикой степени скошенности и подсчитывается с помощью второго и третьего выборочных центральных моментов:

 

(2.12)

 

Для симметричных распределений m₃ = 0 и g = 0.

 

4) коэффициент вариации - является мерой относительной изменчивости наблюдаемой случайной величины:

 

(2.13)

 

Если коэффициент вариации υ<33%, то выборка подчиняется нормальному закону распределения.

 

5) гистограмма (и любые другие графики).

2.2 Вычисление выборочных характеристик на примере

 

Для выборки представленной в таблице 1.1 вычислить выборочные характеристики.

 

1 Вычислим среднее значение наблюдаемого признака (выборочное среднее) по формуле 2.1:

 

 

Данные для вычисления выборочных характеристик приведены в таблице 2.1.

 

Таблица 2.1 - Данные для вычисления выборочных характеристик

№
	9,81	5,734	32,879	188,528	1081,020
	2,34	-1,736	3,014	-5,232	9,082
	6,55	2,474	6,121	15,143	37,464
	0,15	-3,926	15,413	-60,513	237,575
	8,63	4,554	20,739	94,445	430,103
	7,11	3,034	9,205	27,928	84,735
	1,57	-2,506	6,280	-15,738	39,439
	2,34	-1,736	3,014	-5,232	9,082
	5,55	1,474	2,173	3,203	4,721
	0,99	-3,086	9,523	-29,389	90,695
	6,72	2,644	6,991	18,484	48,870
	5,15	1,074	1,154	1,239	1,331
	0,34	-3,736	13,958	-52,146	194,817
	2,23	-1,846	3,408	-6,291	11,613
	4,85	0,774	0,599	0,464	0,359
	5,01	0,934	0,872	0,815	0,761
	4,15	0,074	0,005	0,0004	0,00003
	1,11	-2,966	8,797	-26,092	77,390
	2,48	-1,596	2,547	-4,065	6,488
	4,44	0,364	0,132	0,048	0,0175
∑	81,52	0,000	146,824	145,599	2365,617

 

 

2 Вычислим выборочную дисперсию или дисперсию эмпирического распределения по формуле 2.4:

 

 

 

 

3 Вычислим центральные моменты распределения по формулам 2.7 – 2.10:

 

 

 

 

 

 

 

4 Вычислим среднеквадратическое отклонение для дисперсии эмпирического распределения по формуле 2.5:

 

 

А для несмещенной оценки дисперсии теоретического распределения по формуле 2.6:

5 Вычислим коэффициент вариации по формуле 2.13:

 

 

Коэффициент вариации больше 33 %, значит выборка не подчиняется нормальному закону распределения.

7 Вычислим медиану по формуле 2.2 (объем выборки n=20 – четное число). Для этого необходимо представить выборку в виде вариационного ряда (таблица 1.2).

 

 

8 Вычислим моду - значение признака, которому соответствует наибольшая частота. Из таблицы 1.4 видно, что

 

9 Вычислим коэффициент эксцесса по формуле 2.11:

 

 

Так как g₂ = - 0,96<0. Имеется небольшой эксцесс.

 

10 Вычислим коэффициент асимметрии по формуле 2.12:

 

 

Так как g₁ = 0,36≠0. Следовательно некоторая ассиметрия имеет место.