Лабораторная работа №1. Интерполяция

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Факультет

Управление процессами перевозок

Специальность

Технология транспортных процессов

Кафедра

Станции, узлы и грузовая работа

Отчет

По лабораторным работам

Дисциплина: Математическое моделирование в профессиональной деятельности

Работу выполнила

студентка группы №	116-ТТПмз				Поспелова Е.В.
			подпись, дата		инициалы, фамилия

Работу принял

профессор				Казанцева Н.В.
должность, уч. степень, звание		подпись, дата		инициалы, фамилия

 

Екатеринбург

Оглавление

Лабораторная работа №1. Интерполяция. 3

1. Постановка задачи. 3

2. Математическое описание. 3

3. Описание результатов решения задач в MathCAD.. 4

4. Анализ полученных результатов и выводы.. 5

Лабораторная работа №2. Аппроксимация экспериментальных зависимостей. 6

1. Постановка задачи. 6

2. Математическое описание. 6

3. Описание результатов решения задач в MS Excel 8

4. Анализ полученных результатов и выводы.. 10

Лабораторная работа №3. Численное интегрирование. 11

1. Постановка задачи. 11

2. Математическое описание. 11

3. Описание результатов решения задач в MathCAD.. 13

4. Анализ полученных результатов и выводы.. 14

Лабораторная работа №4. Транспортная задача. 15

1. Постановка задачи. 15

2. Математическое описание. 15

3. Описание результатов решения задач в MS Excel 18

4. Анализ полученных результатов и выводы.. 19

Лабораторная работа №5. Численное решение дифференциальных уравнений. 21

1. Постановка задачи. 21

2. Математическое описание. 21

3. Описание результатов решения задач в MathCAD.. 23

4. Анализ полученных результатов и выводы.. 24

 

 

Лабораторная работа №1. Интерполяция

Вариант 2

Постановка задачи

Построить интерполяционный кубический сплайн для функции y=f(x), заданной таблицей. Используя найденную зависимость, найти значение у в точке x = N + 0.55, где N – номер варианта.

	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6	2,7	2,8	2,9
2,312	2,251	2,418	2,752	2,7	2,459	3,022	3,079	2,42	2,669	3,241

 

Математическое описание

В большинстве практических приложений желательно соединить экспериментальные точки не ломаной линией, а гладкой кривой.

Лучше всего для этих целей подходит интерполяция сплайнами, т. е. фрагментами полиномов. Смысл сплайн-интерполяции заключается в том, что в каждом промежутке между узловыми точками (на каждом шаге интерполяции) осуществляется аппроксимация в виде определенной полиномиальной зависимости f(x). При этом для каждого шага получается свой полином, причем его коэффициенты подбираются такими, чтобы на границах шага выполнялись условия сшивки. А именно, если применяются сплайны в виде полиномов степени m, то несложно показать, что их коэффициенты можно выбрать так, чтобы обеспечить непрерывность производных порядка до (m-1)-й включительно.

Наиболее часто применяются кубические сплайны, т.е. полиномы третьей степени (кубические параболы):

Коэффициенты a,b,c,d рассчитываются независимо для каждого промежутка интерполирования, исходя из значений y_i в соседних точках. Участки парабол называются кубическими сплайнами.

Приведем формулы для расчета кубической сплайн-интерполяции. Искомая функция на промежутке между x_i и x_i+1 вычисляется следующим образом:

где

 

Источник: Турчак, Л.И. Основы численных методов. / Л.И.Турчак – М.: Наука, 1987. – с. 51-53

 

Постановка задачи

Используя метод наименьших квадратов найти линейное уравнение парной регрессии y по x.

1) Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации и ошибку аппроксимации

2) Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом и отдельных параметров корреляции с помощью критерия Фишера и Стьюдента

xi	0,43	0,48	0,55	0,62	0,7
yi	1,63	1,73	1,87	2,03	2,22

 

Математическое описание

Функция , задающая среднее значение переменной y, при условии, что независимая переменная приняла фиксированное значение, называется функцией (линейной) регрессии.

Для оценки параметров линейной регрессии используется метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма отклонений фактических значений результативного признака от теоретических значений при тех же значениях фактора минимальна, т.е.

.

В случае линейной регрессии параметры и находятся из следующей системы нормальных уравнений МНК:

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

Коэффициент при факторной переменной имеет следующую интерпретацию: он показывает, на сколько изменится в среднем величина при изменении фактора на 1 единицу измерения.

Коэффициент – свободный член в уравнении регрессии показывает значения переменной при . Этот коэффициент не всегда имеет экономическую интерпретацию.

показатель качества построенной модели –– среднее относительное отклонение расчетных значений от фактических или средняя ошибка аппроксимации:

.

Построенное уравнение регрессии считается удовлетворительным, если значение не превышает 10% – 12%.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе F -критерия Фишера:

Фактическое значение F-критерия Фишера сравнивается с табличным значением F_табл (α;k₁;k₂) при уровне значимости α и степенях свободы k₁=m и k₂=n-m-1. При этом, если фактическое значение F-критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом

Для оценки статистической значимости параметров регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента

Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

;

Стандартные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t - статистики t_табл и t_факт– делаем вывод о значимости параметров регрессии и корреляции. Если t_табл < t_факт то параметры a, b и r_xy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора x. Если t_табл > t_факт, то признается случайная природа формирования a, b или r_xy.

Источник: Елисеева И.И. Эконометрика. – М.: Финансы и статистика, 2003, с. 23

Постановка задачи

Вычислить интеграл, приняв шаг интегрирования h=0,1 с помощью

1) Метода средних прямоугольников

2) Метода трапеций

3) Метода Симпсона

4) Сравнить полученные решения с точным решением (найти самостоятельно)

5) Вычислить относительную и абсолютную погрешность каждого метода

у(х)	а	b
	0.2	1.2

 

Математическое описание

Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида

(1),

где f(x) — подынтегральная функция, непрерывная на отрезке [а; b].

Пусть задана подынтегральная функция f(х), необходимо найти определенный интеграл, который вычисляется по формуле Ньютона — Лейбница

= F(b)-F(a). (2)

Если же интеграл от данной функции не может быть вычислен по формуле (2), или если функция f(х) задана графически или таблицей, то для вычисления определенного интеграла применяют приближенные формулы. Для приближенного вычисления интеграла (2) существует много численных методов, таких как:

• метод прямоугольников;

• трапеций;

• Симпсона и др.

При вычислении интеграла следует помнить, каков геометрический смысл определенного интеграла.

Если f( x) 0 на отрезке [ а; b ], то численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции у = f (х), отрезком оси абсцисс, прямой х = а и прямой х = b (рис. 1). Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции.

Метод прямоугольников

Разделим отрезок [ а; b ] на n равных частей, т. е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка . Точками деления будут: х₀ = а; x₁ = a + h; x₂ = a + 2h,..., х_n-1 = а + (n- 1)h; х_n = b.

Эти числа будем называть узлами. Вы­числим значения функции f(x) в узлах, обозначим их у₀, у₁, у_2,,..., у_n. Стало быть, у₀=f(а), у₁ = f (x₁), у₂ = f (х₂),..., y_n=f(b). Числа у₀, y_1, у_2,,..., у_n являются ординатами точек графи­ка функции, соответствующих абсциссам х_0,, х₁, х₂,..., х_n

Таким образом, вычисление опреде­ленного интеграла сводится к нахождению суммы п элементар­ных прямоугольников

(3) (4) (5)

Формула (3) называется формулой левых прямоугольни­ков, (4) — правых прямоугольников, (5) — формулой сред­них прямоугольников.

Метод трапеций

Формула трапеций имеет следующий вид:

Эта формула означает, что площадь криволинейной трапе­ции заменяется площадью многоугольника, составленного из п трапеций, при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной.

Метод Симпсона

Разобьем отрезок интегрирования [ a; b ] на 2 n равных частей длиной . Обозначим точки разбиения х₀ = а; х₁ = х₀ + h,..., х_i = х₀ + ih,..., х₂n = b. Значения функции f в точках x_i обозначим у_i, т. е. y_i = f (х_i). Тогда, согласно методу Симпсона

Источник: Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003, с.86

Постановка задачи

На станциях А_i (i = 1, 2, 3) сосредоточен однородный груз в количестве а_i единиц груза, который требуется перевезти на станции назначения В_j (j = 1,… 5) в соответствии с потребностями каждой станции в b_j единиц груза. Известны за- траты на перевозку единицы груза с любой станции A_i на любую станцию B_j.

Требуется составить такой план перевозок, чтобы весь груз был вывезен, все потребности были бы удовлетворены, а суммарные затраты были бы минимальны.

Запасы и потребности на станциях - участниках процесса перевозок

Запасы	Потребности
А1	А2	А3	В1	В2	В3	В4	В5

 

Стоимости перевозки единицы груза

с11

с12

с13

с14

с15

с21

с22

с23

с24

с25

с31

с32

с33

с34

с35

 

Математическое описание

Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах . Данный груз необходимо доставить n потребителям в объемах . Известны , i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n- стоимости перевозки единицы груза от каждого I-го поставщика каждому j-му потребителю. Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех потребителей полностью удовлетворены и суммарные затраты на перевозку всех грузов минимальны.

Исходные данные транспортной задачи обычно записываются в таблице (табл.1).

Таблица1

			…
			…
			…
…	…	…	….	….
			…

 

Исходные данные задачи могут быть представлены также в виде вектора запасов поставщиков А=(), вектора запросов потребителей В=() и матрицы стоимостей

В транспортных задачах под поставщиками и потребителями понимаются различные промышленные и сельскохозяйственные предприятия, заводы, фабрики, слады, магазины и т.д. Однородными считаются грузы, которые могут быть перевезены одним видом транспорта. Под стоимостью перевозок понимаются тарифы, расстояния, время, расход топлива и т.п.

 

Переменными (неизвестными) транспортной задачи являются i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n – объемы перевозок от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Эти переменные можно записать в виде матрицы перевозок

.

Так как произведение определяет затраты на перевозку груза от i-го поставщика j-му потребителю, то суммарные затраты на перевозку всех грузов равны . По условию задачи требуется обеспечить минимум суммарных затрат. Следовательно, целевая функция имеет вид .

Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений. Первая группа из m уравнений описывает тот факт, что запасы всех m поставщиков вывозятся полностью:

, i=1,2,…,m.

Вторая группа из n уравнений выражает требование полностью удовлетворить запросы всех n потребителей:

, j=1, 2, …, n.

Учитывая условие неотрицательности объемов перевозок, математическую модель задачи можно записать так:

, (1)

, i=1,2,…,m, (2)

 

, j=1, 2, …, n, (3)

 

, i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n (4)

В рассмотренной модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, т.е. .

Такая задача называется задачей с правильным балансом, а ее модель – закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача называется задачей с неправильным балансом, а ее модель – открытой.

Математическая формулировка транспортной задачи такова: найти переменные задачи , i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n, удовлетворяющие системе ограничений (2), (3), условиям неотрицательности (4) и обеспечивающие минимум целевой функции (1).

Математическая модель транспортной задачи может быть записана в векторном виде.. Тогда математическая модель транспортной задачи запишется следующим образом:

, (7)

= , (8)

, i=1,2,,…,m, j=1,2,…,n (9)

 

Источник: Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 2005, с. 390

 

 

Постановка задачи

Дано дифференциальное уравнение y’=f(x,y) с начальным условием y₀. Приняв шаг интегрирования h=0,1, найти решение

1) Методом Эйлера

2) Методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности

3) Сравнить результаты, полученные в точке x₀=0,2 c точным решением (найти самостоятельно)

4) Определить абсолютную и относительную погрешность каждого метода

f(x,y)	a	b	y0

 

Математическое описание

Y1

Классический метод Эйлера исполь­зует для вычисления интегралов

"формулу левых прямоугольников" (высота прямоугольника принимается равной значению подынтегральной функции на левой границе микроотрезка [ x_i; x_{i +1}]):

т.е. . (1)

Ошибки, возникаю­щие при определении значений y ₁, y ₂ ,…, y_n, приводят к тому, что каждая сле­дующая касательная проводится к какой-то другой интегральной кривой из семейства решений уравнения. Такое свойство метода называют накоплением ошибки.

Метод прост, но имеет весьма малую точность, его называют методом первого порядка, так как его основное соотношение совпадает с разложением функции y = y (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x = x_i с точностью до члена первого порядка относительно х

Ошибка метода Эйлера пропорциональна h ² (первому отброшенному члену ряда) и при удвоении числа n уменьшается в 4 раза.

Метод Рунге-Кутта основан на использовании для вычисления интегралов формулы Симпсона:

.

Определив значения по методу Эйлера, получим

i =0,1,…, n.

Это формула метода Рунге-Кутта 3-го порядка. На практике чаще используется метод Рунге-Кутта 4-го порядка:

(2)

где

Ошибка формулы (2) пропорциональна h ⁵.

Этот метод намного более точен, чем методы Эй­лера, но требует и большего объема вычислений: положение точки (x_{i +1}, y_{i +1}) определяется в результате 4-кратного вычисления значения функции f (x, y). С появлением ЭВМ этот недостаток перестал быть существенным и ме­тод Рунге-Кутта 4-го порядка применяется на практике чрезвычайно широко.

 

Источник: Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003, с. 361

 

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Факультет

Управление процессами перевозок

Специальность

Технология транспортных процессов

Кафедра

Станции, узлы и грузовая работа

Отчет

По лабораторным работам

Дисциплина: Математическое моделирование в профессиональной деятельности

Работу выполнила

студентка группы №	116-ТТПмз				Поспелова Е.В.
			подпись, дата		инициалы, фамилия

Работу принял

профессор				Казанцева Н.В.
должность, уч. степень, звание		подпись, дата		инициалы, фамилия

 

Екатеринбург

Оглавление

Лабораторная работа №1. Интерполяция. 3

1. Постановка задачи. 3

2. Математическое описание. 3

3. Описание результатов решения задач в MathCAD.. 4

4. Анализ полученных результатов и выводы.. 5

Лабораторная работа №2. Аппроксимация экспериментальных зависимостей. 6

1. Постановка задачи. 6

2. Математическое описание. 6

3. Описание результатов решения задач в MS Excel 8

4. Анализ полученных результатов и выводы.. 10

Лабораторная работа №3. Численное интегрирование. 11

1. Постановка задачи. 11

2. Математическое описание. 11

3. Описание результатов решения задач в MathCAD.. 13

4. Анализ полученных результатов и выводы.. 14

Лабораторная работа №4. Транспортная задача. 15

1. Постановка задачи. 15

2. Математическое описание. 15

3. Описание результатов решения задач в MS Excel 18

4. Анализ полученных результатов и выводы.. 19

Лабораторная работа №5. Численное решение дифференциальных уравнений. 21

1. Постановка задачи. 21

2. Математическое описание. 21

3. Описание результатов решения задач в MathCAD.. 23

4. Анализ полученных результатов и выводы.. 24

 

 

Лабораторная работа №1. Интерполяция

Вариант 2

Постановка задачи

Построить интерполяционный кубический сплайн для функции y=f(x), заданной таблицей. Используя найденную зависимость, найти значение у в точке x = N + 0.55, где N – номер варианта.

	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6	2,7	2,8	2,9
2,312	2,251	2,418	2,752	2,7	2,459	3,022	3,079	2,42	2,669	3,241

 

Математическое описание

В большинстве практических приложений желательно соединить экспериментальные точки не ломаной линией, а гладкой кривой.

Лучше всего для этих целей подходит интерполяция сплайнами, т. е. фрагментами полиномов. Смысл сплайн-интерполяции заключается в том, что в каждом промежутке между узловыми точками (на каждом шаге интерполяции) осуществляется аппроксимация в виде определенной полиномиальной зависимости f(x). При этом для каждого шага получается свой полином, причем его коэффициенты подбираются такими, чтобы на границах шага выполнялись условия сшивки. А именно, если применяются сплайны в виде полиномов степени m, то несложно показать, что их коэффициенты можно выбрать так, чтобы обеспечить непрерывность производных порядка до (m-1)-й включительно.

Наиболее часто применяются кубические сплайны, т.е. полиномы третьей степени (кубические параболы):

Коэффициенты a,b,c,d рассчитываются независимо для каждого промежутка интерполирования, исходя из значений y_i в соседних точках. Участки парабол называются кубическими сплайнами.

Приведем формулы для расчета кубической сплайн-интерполяции. Искомая функция на промежутке между x_i и x_i+1 вычисляется следующим образом:

где

 

Источник: Турчак, Л.И. Основы численных методов. / Л.И.Турчак – М.: Наука, 1987. – с. 51-53