Модели на основе методов статистических решений.

Один из подходов к диагностированию заключается в использовании так называемых статистических решений. При этом решающее правило выбирается исходя из некоторых условий оптимальности, например, из условия минимального риска. Рассмотрим технологию распознавания при наличии одного диагностического параметра.

Пусть производится диагностирование трансформатора по выделению газа из масла (параметр k). Задача состоит в выборе значения k₀ параметра k таким образом, что при k>k₀ следует принимать решение о прекращении эксплуатации трансформатора, а при k<k₀ - допускать дальнейшую эксплуатацию. Разделение производится на два класса: D₁ - исправное состояние; D₂ - наличие дефекта. Тогда указанное решающее правило означает:

при ; ; при ;

Выделение газа неоднозначно характеризует состояние масляного трансформатора (масло имеет собственный запах, содержание газов не превышает допустимых пределов и т.д.). Плотность распределения k для дефектных и исправных трансформаторов показана на рисунке 8.

Области исправного ( D₁ ) и дефектного ( D₂ ) состояний пересекаются и поэтому принципиально невозможно выбрать значение k₀, при котором не было бы ошибочных решений. Задача состоит в том, чтобы выбор k₀ был в некотором смысле оптимальным, например, давал бы наименьшее число ошибочных решений.

Рис. 8. Распределение плотности диагностического параметра

k для исправного D₁ и дефектного D₂ состояний

 

Возможными ошибками при принятии решений являются: ложная тревога (ошибка первого рода), когда исправный объект признается дефектным (вместо D₁ считают, что имеет место D₂), и пропуска дефекта (ошибка второго рода), когда объект, имеющий дефект признается исправным (вместо D₂ признается D₁).

Обозначим через H_ij (ij = 1, 2) возможные ошибки, где i - соответствует индексу принятого диагноза, а j - индексу действительного состояния. Тогда H₁₂ - это пропуск дефекта, а H₂₁ - ложная тревога.

Вероятность ложной тревоги равна вероятности произведения двух событий: наличия исправного состояния и значения k>k₀ для исправного состояния:

где P₁ = P(D₁) - априорная вероятность диагноза D₁ (считается известной на основе предварительных статистических данных).

Вероятность пропуска дефекта определяется аналогично:

Ошибочное решение слагается из вероятности ложной тревоги и вероятности пропуска дефекта. Если приписать цены этим ошибкам (C₂₁ - стоимость ложной тревоги, а C₁₂ - стоимость пропуска дефекта), то получим искомое общее выражение для вычисления среднего риска:

. (3.12)

Метод минимакса.

Этот метод предназначен для ситуации, когда отсутствуют предварительные статистические сведения о вероятности диагнозов D₁ и D₂. Рассматривается «наихудший случай», то есть наименее благоприятные значения P₁ и P₂, приводящие к наибольшему значению (максимуму) риска.

Величина риска зависит от k₀ и P₁ (вероятность второго диагноза P₂ = 1 - P₁), в частности

. (3.16)

здесь C₁₁ и C₂₂ - стоимости правильных решений.

Для нахождения экстремума уравнение (3.16) преобразуют (приравнивают частные производные по k₀ и P₁ к нулю). Условие dR/dk₀ = 0 дает

. (3.17)

Условие dR/dP₁ = 0 дает

. (3.18)

Значения k₀ и P₁, являющиеся корнями уравнений (3.17) и (3.18), определяют экстремальную точку R(k₀, P₁). Для одномодальных распределений величина риска становится минимальной (то есть минимальной среди максимальных значений, вызванных «неблагоприятной» величиной P₁). По методу минимакса выбирают величину k₀ таким образом, чтобы при наименее благоприятных значениях P₁ потери, связанные с ошибочным решением, были минимальными.

Опуская процедуры точного решения уравнений (3.17) и (3.18) (например, с помощью метода Ньютона) представим приближенные решения. Так, в первом приближении можно принять, что . Тогда из (3.17) находим наименее благоприятное значение вероятности исправного P^*₁ и неисправного P^*₂ состояний:

,

.

Величину риска определяем из равенства (3.16) при значениях k = k^*₀, P₁ = P^*₁. Вероятность ложной тревоги и пропуска дефекта может быть найдена из соотношения

,

где - функция распределения D₁ (в общем виде);

- функция распределения D₂ (в общем виде).

Метод Неймана Пирсона.

В случае если неизвестны оценки стоимости ошибок, решается задача минимизации одной ошибки при определенном (допустимом) уровне другой. По методу Неймана-Пирсона минимизируется вероятность пропуска дефекта при заданном допустимом уровне вероятности ложной тревоги.

Вероятность ложной тревоги

,

где A - заданный допустимый уровень ложной тревоги; P₁ - вероятность исправного состояния.

На рисунке 8 видно, что увеличение ошибки ложной тревоги (сечение k₀ перемешается влево) приводит к уменьшению величины ошибки пропуска дефекта. Ее наименьшее значение достигается при

. (3.19)

В практических задачах можно принимать A = r∙P₂, где r - коэффициент избыточности, зависящий от разрешающей способности диагностических средств, опасности дефекта, экономических затрат и других соображений.

При дефектах с ограниченными последствиями можно принять r = 1…3. При опасных дефектах r = 3…10. Для редко встречающихся ( P₂< 0.01 ), но крайне опасных дефектов, коэффициент избыточности r может достигать и больших значений.

В задачах диагностики можно использовать и другой подход: определить значение k₀ исходя из выбранной вероятности пропуска дефекта. В этом случае

. (3.20)

где B - заданное значение вероятности пропуска дефекта, которое выбирается с учетом указанных соображений.

Если дефект крайне нежелателен даже на единичном объекте, то можно принять

,

где N - общее число объектов, находящихся в эксплуатации; r - коэффициент избыточности (1 ≤ r ≤ 10 ).

Во всех случаях для реализации принципа невозможности маловероятных событий величина B должна быть малой ( B ≤ 0.01 ). В методе Неймана-Пирсона граничное значение k₀ определяется из уравнения (3.19) или (3.20). При практическом решении таких уравнений целесообразно использовать метод Ньютона.