Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-11-21 | 199 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Производная сложной функции
Определение производной
Рассмотрим функцию , где (рис. 31). Возьмем произвольную точку . Для любого разность х – х 0 называется приращением аргумента х в точке х 0 и обозначается . Таким образом,
Разность называется приращением функции в точке х 0.
Производной функции в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует и обозначается
Функция, имеющая производную в точке х 0, называется дифференцируемой в этой точке. Если же функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала , то она дифференцируема на этом интервале. Необходимое условие существования производной вытекает из следующей теоремы.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Однако непрерывность функции в точке не является достаточным условием дифференцируемости функции в точке.
Геометрический смысл производной
Пусть непрерывная функция , где , дифференцируема в некоторой точке , а кривая L – график этой функции, содержащий точку . Выберем на кривой L произвольную точку М (х; у) и построим секущую М0М (см. рис. 7). Точку М можно выбрать сколь угодно близко в точке М0. Положение секущей при этом будет изменяться. |
Касательной к кривой L в точке М0 Î L называется прямая М0Т, занимающая предельное положение секущей М0М (МÎ L) при М ® М0 (если такое положение существует).
Геометрический смысл производной: производная функции в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой х0: .
Уравнение касательной к кривой L в точке (х 0; f (х 0)), записанное как уравнение прямой, проходящей через точку (х 0; f (х 0)) и имеющей угловой коэффициент имеет вид:
|
или
.
Уравнение нормали к кривой (прямой, проходящей через точку кривой L с абсциссой х0 перпендикулярно касательной) составляется аналогичным образом с учетом того, что ее угловой коэффициент равен:
,
то есть или .
Механический смысл производной
Положим, что материальная точка движется прямолинейно по закону тогда ее средняя скорость за промежуток времени вычисляется по формуле:
Как известно, мгновенной скоростью в момент времени t0 называется предел (если он существует), которому стремится средняя скорость за промежуток времени при , т.е.
Таким образом, мгновенная скорость движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t.
В этом состоит физический смысл производной.
Правила дифференцирования
Если функции u(x) и v(x) имеют производные во всех точках интервала
(a; b), то для любого х Î (a; b) выполняются следующие равенства:
1.
2.
3.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
Формулы дифференцирования
№ п/п | ||||||||||
C | х | хп | ex | ax | ||||||
nxn-1 | cos x | -sin x | ex | ax |
№ п/п | ||||||
arcsin x | arccos x | arctg x | arcctg x | |||
Производная сложной функции
С понятием сложной функции Вы уже неоднократно сталкивались в школьном курсе математики. Пусть даны две функции и , причем область определения функции содержит область значений функции .
Функция, заданная формулой , называется сложной функцией, составленной из функций g и j или суперпозицией функций g и j.
Дифференциал
Дифференциал функции – это главная часть приращения функции в точке х, так что , где – бесконечно малая величина.
Дифференциал функции вычисляется по формуле:
,
где – дифференциал аргумента, равный приращению аргумента в данной точке.
|
Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение (см. рис. 8). Приближенное равенство используется в приближенных вычислениях. В таких случаях значение выражения заменяют приближением: |
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!