Из условий закрепления балки по концам

 

Для того, чтобы построить эпюры прогиба y (Z), углов поворота сечений φ (Z), изгибающих моментов M (Z), поперечных сил Q (Z) по формулам (8), необходимо знать величины начальных параметров y0, φ0, M0, Q0, входящих в (8).

Величины двух начальных параметров из четырех непосредственно находятся из условий опирания левого конца балки. Если опирание свободное – рис. 2 а, то M0= 0, Q0= 0, если шарнирное – рис. 2 в, то y0= 0, M0= 0, если левый конец защемлен – рис. 2 д, то y0= 0, φ0= 0.

Величины двух других начальных параметров определяются из условий опирания правого конца балки длиной ℓ. Если опирание свободное,

рис. 2 б, то для нахождения начальных параметров получаем уравнения

М (αℓ) = 0, Q (αℓ) = 0, если шарнирное, рис. 2 г, то уравнения у (αℓ) = 0,

М (αℓ) = 0, если правый конец защемлен, рис. 2 д, то уравнения у (αℓ) = 0, φ (αℓ) = 0.

Решая систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными, находим данные параметры.

В качестве примера рассмотрим процесс нахождения начальных параметров для балки, изображенной на рис. 6 – свободный от закреплений левый конец балки, шарнирно опертый правый конец балки.

Рис. 6

 

Балка имеет прямоугольное поперечное сечение b * h = 0,4 * 0,5 м2, модуль упругости бетона берем равным Е = 2,1 * 1010Па, коэффициент жесткости упругого основания К0= 2 * 108н/ м3. В процессе вычислений находим: К = К0b = 2 1080,4 = 8 * 107н/ м2, Ix= b h3/12 = 0,00416(6) м4,

E Ix= 8,76 * 107н/ м2,

Из условий на левом конце балки находим y0= 0, M0= 0. Уравнения для нахождения начальных параметров Q0и φ0будут следующими:

 

Решая полученную систему уравнений, находим:

= -2,68324731 * 10-4(м), φ0/α =1,30577156 * 10-4(м).

Отметим, что в уравнение (8) начальные параметры входят в приведенном виде φ0/α, - M0/(ЕIα2), - Q0/(ЕIα3), поэтому их следует искать в этом же виде, в котором все они имеют размерность длины (м) и характеризуются сопоставимыми между собой значениями.

Рассмотрим также пример определения начальных параметров для балки, изображенной на рис. 7 со свободными от закреплений концами.

Рис. 7

 

Балка имеет прямоугольное поперечное сечение b * h = 0,3 * 0,4 м2, модуль упругости бетона берем равным Е = 2,1 * 1010Па, коэффициент жесткости упругого основания К0= 1 * 108н/ м3. В процессе вычислений находим: К = К0b = 1 108 0,4 = 4 * 107н/ м2, Ix= b h3/12 = 0,0016 м4,

E Ix= 3,36 * 107н/ м2,

Из условий на левом конце балки находим M0= 0, Q0= 0. Уравнения для нахождения начальных параметров y0и φ0будут следующими:

 

Решая полученную систему уравнений, находим:

= 2,56656393 * 10-4(м), φ0/α =-1,47779349 * 10-6(м).

Отметим, что начальные параметры надо определять с весьма высокой точностью, иначе на правом конце балки значения функций y(L), φ(L), M(L), Q (L) будут содержать заметные погрешности.

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z)

И РЕАКТИВНЫХ ДАВЛЕНИЙ R (Z)

 

Изменение напряженно-деформированного состояния балки по ее длине характеризуется эпюрами y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z), то есть графиками изменения этих функций вдоль оси Z. После нахождения приведенных начальных параметров уравнения (8) для y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) полностью определены и можно строить эпюры.

При этом необходимо учитывать правила знаков: прогиб считается положительным, если он совпадает с положительным направлением оси у (вниз), угол поворота сечения φ (Z) считается положительным, если сечение поворачивается по часовой стрелке. Для знаков M (Z) и Q (Z) принимается правило: М>0 в данном сечении балки, если там растянуты нижние волокна и сжаты верхние, Q>0 в данном сечении, если вектор Q стремится повернуть элемент балки по часовой стрелке – рис. 7.

Рис. 8

 

Эпюра реактивных давлений грунта R(Z) строится на основании формулы (1) после построения эпюры y (Z).

В качестве примера рассмотрим процесс построения эпюр для балки, изображенной на рис. 9. Сечение балки – прямоугольное b * h = 0.3 * 0.4 м2, E = 2.1 * 1010Па, K = 6 * 107Па, m = 104нм, Р = 104н, q = 10⁴ н/м.

Уравнения для y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) будут следующими:

13

Коэффициент приведенные начальные параметры, найденные из условий закрепления балки по концам, будут:

Строим эпюры y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) для последовательности сечений Z = 0, 0.5, 1.0, 1.5,…, 8, рис. 9.

Для проверки правильности построения эпюр можно использовать формулы [1]:

. (12)

Следует помнить, что первая производная функции в любой точке ее графика равна тангенсу угла наклона касательной в этой точке к оси Z. Таким образом, если при Z2> Z1M2> M1, то на этом участке Q>0, если при Z2> Z1φ2> φ1, то на этом участке M < 0, если при Z2> Z1y2> y1, то на этом участке φ > 0.

Например, на рис. 9 при Z < 2 м М возрастает, поэтому Q > 0, при

Z > 6 м М убывает, поэтому Q < 0.

Отметим также, что если при Z = Zi M = Mэкстр, то в этой точке

Q = 0, если при Z = Zi φ = φэкстр, то в этой точке М=0, если при Z = Zi

у = yэкстр, то в этой точке φ = 0.

Например, на рис. 9 при Z = 2,18 м, 5,37 м, 6,09 м функция прогиба у имеет экстремумы, поэтому в этих точках φ = y ́z= 0. Добавим, что если на балку действуют сосредоточенные силы Рi, то на эпюре Q в этих сечениях должны быть скачки, равные по величине Рiи направленные в сторону действия Рi– сечение Z = 2 м на эпюре Q, рис. 9. Если на балку действуют сосредоточенные моменты mi, то на эпюре М в этих сечениях должны быть скачки, величина которых совпадает с величиной приложенных моментов – например, сечение Z= 6 м эпюры М, рис. 9.

P=10⁴ H m=10⁴ Hм

 

 

Рис. 9

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

1. Получить и при необходимости согласовать с преподавателем задание.

2. Изучить теоретический материал, пользуясь руководством и рекомен-

дованной литературой (1 час).

3. Для выбранного варианта задания составить уравнения прогибов y (Z),

углов поворота φ (Z), изгибающих моментов M (Z), поперечных сил

Q (Z) (0.5 часа).

4. Определить величины приведенных начальных параметров y0, φ0/α,

- M0/(ЕIα2), - Q0/(ЕIα3) (1 час).

5. Подготовить исходную информацию для построения эпюр y (Z), φ (Z),

M (Z), Q (Z) на ПЭВМ, ознакомиться с инструкцией к программе и про-

вести расчеты на ПЭВМ.

6. Провести анализ полученных результатов и построить эпюры y (Z),

φ (Z), M (Z), Q (Z), R (Z).

Расчетно-графическая работа выполняется в 4 (МТТ, АДА) или в 6 (ПГС) семестрах. На ее выполнение затрачивается примерно 4 часа из времени, отведенного на самостоятельную работу студента. Срок представления оформленной работы составляет три недели с момента выдачи задания.

 

СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА О РАБОТЕ

 

Отчет о работе должен выполняться в соответствии с приведенными примерами расчета и содержать следующие разделы:

- вариант задания, в котором приводится шифр задания и соответствую-

щий ему вариант задания;

- постановка задачи;

- запись уравнений прогибов y (Z), углов поворота φ (Z), изгибающих мо-

ментов M (Z), поперечных сил Q (Z) с использованием метода акад.

А. Н. Крылова;

- расчеты для определения величин начальных параметров y0, φ0, M0, Q0

из условий закрепления балки по концам;

- распечатка с ПЭВМ с исходными данными и результатами расчетов про-

гибов y (Z), углов поворота φ (Z), изгибающих моментов M (Z), попереч-

ных сил Q (Z).

- эпюры y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z), R (Z).

При оформлении работы численные результаты необходимо иллюстрировать чертежами, выполненными в масштабе с использованием чертежных принадлежностей.

Работа оформляется на листах формата А4.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Как вычисляется реакция упругого основания при использовании ги-

потезы Винклера?

2. Как записывается дифференциальное уравнение изгиба балки на уп-

ругом основании?

3. Какой вид имеет общее решение дифференциального уравнения изги-

ба балки на упругом основании?

4. Какой вид имеет частное решение дифференциального уравнения из-

гиба балки на упругом основании?

5. Что называется начальными параметрами?

6. Как записываются универсальные уравнения для прогиба у, угла по-

ворота сечения φ, изгибающего момента М, поперечной силы Q при

использовании метода начальных параметров для балки на упругом

основании?

7. Как определяются начальные параметры, входящие в универсаль-

ные уравнения?

8. Как определяются прогиб у, угол поворота сечения φ, изгибающий

момент М и поперечная сила Q в любом сечении балки по методу на-

чальных параметров?

9. Какой изгибающий момент М и какую поперечную силу Q принято

считать положительными, какие – отрицательными?

10. Что называется эпюрами у, φ, М, Q?

11. Какие существуют зависимости между у, φ, М, Q?

12. Как проверяется правильность построения эпюр у, φ, М, Q?

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

 

1. Таблица числовых значений

 

№ n/n	a м	с м	b м	h м	К0* 106 н/м3	К0b, МПа	Е, МПа
			0,3	0,40
			0,35	0,40		52,5
	1,2	1,8	0,35	0,45
	1,8	1,2	0,40	0,50
	2,4	0,6	0,45	0,45		4,5
	0,6	2,4	0,50	0,50		4,0

 

2. Расчетные схемы балок

3. Схемы нагрузок