История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-11-21 | 218 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Вопросы по теме
1. Неопределенный интеграл. Основные формулы интегрирования.
2. Непосредственное интегрирование. Интегрирование путём замены переменной. Интегрирование по частям.
3. Определенный интеграл.
Краткие теоретические сведения
Функция называется первообразной для функции в промежутке , если в любой точке этого промежутка ее производная равна : .
Отыскание первообразной функции по заданной ее производной или по дифференциалу есть действие обратное дифференцированию, интегрирование.
Совокупность первообразных для функции или дифференциала называется неопределенным интегралом и обозначается символом . Таким образом, , если .
Здесь - подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; - произвольная постоянная.
Основные свойства неопределенного интеграла:
1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
.
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: .
3. Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций: .
4. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла:
5. Если и - любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то .
Основные формулы интегрирования (таблица простейших интегралов):
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. | 13. 14. 15. 16. , 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. . |
Каждую из формул легко проверить. В результате дифференцирования правой части получается подынтегральное выражение.
|
Непосредственноеинтегрирование
Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи:
1. данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;
2. данный интеграл после применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам;
3. данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Примеры нахождения интегралов методом непосредственного интегрирования:
1. на основании свойства 4 постоянный множитель 5 выносим за знак интеграла и используем формулу (1)
2. используем свойство 4 и формулу (1)
Проверка: . Получили подынтегральное выражение; следовательно, интеграл найден правильно.
3. используем свойства 3 и 4 и формулу (1)
.
Постоянная интегрирования равна алгебраической сумме трех постоянных интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произвольную постоянную .
4. разложим квадрат разности и раскроем скобки
используем свойство 4 и формулу (1)
.
5. разделим каждый член числителя на знаменатель , далее используя свойство 4 и формулу (1)получаем:
6. используем формулу (1)
7.
8. используем формулу (2)
9. так как , то .
10. так как , то Знак абсолютной величины не пишем, так как при любом значении выражение .
11. используем формулу (11) при получаем .
12. так как , то .
13. так как , то .
14. так как , то .
15. так как , то .
16. так как , то
.
17. .
18. так как , то следовательно .
19. .
20. так как , то
.
21. .
22. .
23. .
24. .
25.
Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)
Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла в интеграл , который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.
Для нахождения интеграла заменяем переменную новой переменной с помощью подстановки . Дифференцируя это равенство, получим . Подставляя в подынтегральное выражение вместо и их значения, выраженные через и , имеем . После того как интеграл относительно новой переменной будет найден, с помощью подстановки он приводит к переменной .
|
Примеры нахождения интегралов методом замены переменной (метод подстановки:
1.
введем подстановку . Дифференцируя, имеем , откуда . Подставив в данный интеграл вместо и их выражения, получим . Заменив его выражением через , находим .
Проверка: .
2.
положим , откуда .
.
3. полагая , имеем . Значит,
.
4. положим , откуда . Поэтому, .
5. положим , откуда .
Следовательно, .
6. так как , то разделив и умножив знаменатель на ,
положим , тогда ,
т.е. . Таким образом, .
7. положим , тогда . Поэтому
.
8. положим , откуда . Значит .
9. положим , откуда .
Тогда получим .
10. положим , откуда . Следовательно, .
11. положим , откуда . Значит .
12. полагая , находим . Таким образом .
13. полагая , откуда . Таким образом .
Интегрирование по частям
Интегрируя обе части равенства , получим , откуда
(*)
С помощью этой формулы вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла , если последний окажется проще исходного.
Примеры нахождения интегралов методом интегрирования по частям:
1. положим , тогда , т.е. . Получаем .
2. положим , тогда , . Получим .
3. положим , тогда .
в числителе подынтегральной функции последнего интеграла прибавим и вычтем и представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:
последний интеграл находим
.
перенеся из правой части в левую, получим
, или окончательно
.
Определенный интеграл
Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот отрезок на частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и обозначим через длину каждого отрезка. Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида .
Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремиться к нулю .
Для любой функции , непрерывной на отрезке , всегда существует определенный интеграл .
Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона-Лейбница: , т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
|
Непосредственное вычисление определенного интеграла
Примеры вычисления интегралов, используя формулу Ньютона-Лейбница:
1. ;
2. ;
3.
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. .
Вычисление определенного интеграла методом замены переменной
При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способ подстановки) определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки или в определенный интеграл относительно новой переменной . При этом старые пределы интегрирования и заменяются соответственно новыми пределами интегрирования и , которые находятся из исходной подстановки.
Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: , .
Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений и .
Таким образом, имеем .
Примеры вычисления интегралов:
1. Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки . Дифференцируя, имеем , откуда . Находим новые пределы интегрирования. Подставляя в соотношение значения и , соответственно получим . Следовательно
.
2. Положим , тогда . Вычисляем новые пределы интегрирования: . Таким образом
.
3. Положим , тогда . Вычисляем новые пределы интегрирования: . Поэтому
.
4. Преобразуем подкоренное выражение: . Положим , откуда . Найдем новые пределы интегрирования: . Следовательно,
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Если функции и и их производные и непрерывны в промежутке , то формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид .
Пример вычисления интеграла:
1. Положим ; тогда . Следовательно, .
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!