Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-11-22 | 316 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Не у всякой функции может существовать предел. Практические задачи обычно сводятся к вопросу нахождения конкретного значения предела, а не к вопросу: существует ли предел рассматриваемой функции. Поэтому для исследования вопроса о существовании предела функции применяют специальные признаки.
Теорема 5.4. (о пределе промежуточной функции)
Еслидля функций и существуют одинаковые конечные пределы и , и для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функция удовлетворяет неравенству , тогда функция имеет тот же самый конечный предел, что и функции и : .
Доказательство. Пусть последовательность сходится к . Тогда для существует достаточно большой номер , что при всех следует:
, а после предельного перехода в последнем неравенстве, получаем: , что и требовалось.
Теорема 5.5. (критерий Коши существования предела)
Для того чтобы существовал конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы функция была определена в окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и для всякого сколь угодно малого числа существовала такая –окрестность точки , , что, каковы бы ни были точки и , принадлежащие –окрестность точки , что выполняется неравенство .
Доказательство. Пусть , где – конечное число. Тогда существует окрестность точки , в которой определена функция , за исключением, быть может, самой точки . Кроме того, для любого сколь угодно малого числа существует такая –окрестность точки : , что для всех выполняется неравенство . Тогда для любых точек получим
, следовательно, доказано, что условие теоремы необходимо.
Докажем достаточность теоремы. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . И пусть для любого существует такая – окрестность , что для любых точек выполняется неравенство: . Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к точке . Тогда, согласно критерию Коши для последовательности, стремящейся к пределу, найдется такое число , что для всех номеров члены последовательности будут принадлежать – окрестности : . Получили, что выполняется неравенство: для всех номеров . Следовательно, последовательность удовлетворяет критерию Коши. Тогда существует для сходящейся к последовательности чисел . Так как последовательность – произвольная, сходящаяся к точке , то все будут равны между собой. В самом деле, пусть и – две различные последовательности, сходящиеся к точке . Тогда существуют числа и , к которым сходятся последовательности и соответственно: и .
|
Составим новую последовательность: . Она сходится к точке . Тогда соответствующая последовательность должна сходиться к некоторому числу. Но это возможно только, если выполняется условие: . Таким образом, существует . Теорема доказана.
Теорема 5.6. Пусть существуют конечные пределы и , и для всех принадлежащих некоторой окрестности точки определены функции , и при условии, что . Тогда существуют конечные пределы: , и .
5.10. Первый замечательный предел:
Первым замечательным пределом назвали предел равный 1 при от функции . Сама функция не определена при x =0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль.
Приведем доказательство первого замечательного предела. Функция является четной функцией (ее значения не изменяются при изменении знака ), то достаточно рассмотреть случай, когда ). Рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что угол , выраженный в радианах, заключен в пределах: . Из определения тригонометрических функций и геометрических соображений имеем (рис. 5.1): AD ОC, BC OC, ОA=OC =1.
Рисунок. 5.1.
Из ОAD находим . Из ОBC находим .
Из сравнения площадей треугольника ОAD, сектора OAC и треугольника
|
ОBC нарисунке 5.1. видно, что SΔOAC <Sсект.OAC <SΔOBC.
Площадь треугольника ОAC:
Площадь треугольника ОBC: .
Площадь сектора OAC Sсект.OAC = , т.к. . Подставляем найденные площади в последнее неравенство, получаем
Делим двойное неравенство на : . Все члены неравенства – положительные числа, поэтому можно записать неравенство для обратных величин: . (5.1)
Предел левой части неравенства: .
Предел правой части неравенства: . Тогда по теореме о промежуточной функции получаем, что существует: . Теорема доказана для .
Неравенства (5.1) верны и для , т.к. функции и являются четными. Поэтому доказательство теоремы справедливо и для . Теорема полностью доказана.
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!