Эквивалентное определение комплексного числа

ЛЕКЦИЯ 2

Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные и комплексные числа, действия над ними.

Понятие переменной величины и функции

 

2.1. Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа, действия над ними

 

Будем рассматривать множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми.

Число является одним из первичных и основных понятий математики. Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало, т.к. число было как бы «привязано» к тем предметам, которые пересчитывали. Древнегреческий математик Евклид считал, что число есть множество единиц. Отвлеченное понятие числа появилось вместе с развитием письменности.

Натуральными называются числа, которые используются для счёта предметов или обозначения номера предмета в ряду однородных предметов: 1, 2, 3, 4, 5, …. При сложении и умножении натуральных чисел всегда получаются натуральные числа. Однако разность и частное натуральных чисел не всегда могут не быть натуральными числами.

При дополнении натуральных чисел нулем и отрицательными числами

(т. е. числами, противоположными натуральным числам) получается множество целых чисел:..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. При сложении,
вычитании и умножении целых чисел всегда получается целые числа. Однако при делении целых чисел частное может и не быть целым числом.

Введение рациональных чисел, т. е. чисел вида , где - целое число, а - натуральное число, позволило находить частное двух рациональных чисел при условии, что делитель не равен нулю. Каждое целое число m также является рациональным, так как его можно представить в виде . При выполнении четырех арифметических действии (кроме деления на нуль) над рациональными числами всегда получаются рациональные числа. Рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной десятичной дроби. Однако, операция извлечения корней из положительного рационального числа, может вывести из множества рациональных чисел. Например, – не являются рациональными числами. Поэтому множество рациональных чисел было дополнено множеством иррациональных чисел.

Любое иррациональное число можно записать в виде бесконечной непериодической дроби, и любая непериодическая дробь является иррациональным числом. Иррациональные числа могут быть положительными и отрицательными, смотря по тому, измеряют ли они величины, считаемые положительными, или величины, считаемые отрицательными. Иррациональное число считается известным (или заданным), если указан способ, посредством которого можно находить любое число его десятичных знаков. Например,

=1,4142135…, = 2,2360679…, число — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра; =3,1415926…, число — математическая константа: основание натуральных логарифмов, названное в честь Эйлера; это так как называемое число Эйлера или число Непера (Неперово число); =2, 7182818….

Множества рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел. Действительное число или как его еще называют вещественное число – это любое положительное число, отрицательное число или нуль.

Каждому действительному числу отвечает точка на координатной прямой, и наоборот, каждая точка на координатной прямой соответствует действительному числу. Действительно, для любой точки координатной прямой достаточно найти расстояние до неё от начала координат, а потом поставить перед этим числом знак плюс (+), если точка располагается правее начала координат, и знак минус (–) – если левее. Говорят, что каждая точка координатной прямой имеет действительную координату. Или иначе, говорят так: между множеством R действительных чисел и множеством точек координатной прямой установлено взаимно однозначное соответствие. Координатная прямая является геометрической моделью множества действительных чисел; по этой причине для координатной прямой часто используют термин «числовая прямая».

Таблица 2.1.

Основные числовые множества

 

№	обозначение	Название и описание
1.	N	Множество всех натуральных чисел N ={1,2,3,...,n, …};
2.	Z	Множество целых чисел. Z={…, - n,…-3,-2,-1,0,1 2,3,...,n,…};
3.	Q	Множество рациональных чисел Q = { , , };
4.	I	Множество иррациональных чисел;
5.	R	Множество действительных (вещественных) чисел: R = Q I.

Множество натуральных чисел N содержится во множестве целых чисел Z, которое содержится во множестве рациональных чисел Q, что в свою очередь, является частью всего множества действительных чисел R. Эти отношения можно записать кратко в виде: N Z Q R (см. рис. 2.1).

 

Рисунок 2.1. Соотношения между числовыми множествами

 

2.2. Комплексные числа и действия над ними

При решении квадратного уравнения , мы выходим за границы множества действительных чисел, ибо квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом: .

Только в XVIII веке великий математик и механик Леонард Эйлер (1707 – 1783) ввел обозначение мнимой единицы: , взяв первую букву слова imaginеi res, что означает «воображаемое» или «мнимое». О существовании таких чисел знали ещё во времена Р. Декарта (1596 – 1650).

Немецкий математик Карл Гаусс (1777 – 1855) назвал эти числа комплексными (от латинского compleks – объединение), ввел обозначение и представил их изображение в виде точек на плоскости.

Следует заметить, что комплексные числа имеют большое применение в электротехнике, и там обозначаются буквой , т.к. буквой обозначается электрический ток.

Комплексное число можно представить в алгебраической тригонометрической и показательной форме.

Определение 2.1. Алгебраической формой комплексного числа называется число вида: , где a, b – действительные числа: , а – мнимая единица: . Число a называют вещественной частью комплексного числа и обозначают: ( – от слова Real – действительный, реальный). Число b называют мнимой частью комплексного числа и обозначают: (Im – от слова Imaginеires – воображаемый, мнимый).

Если мнимая часть комплексного числа равна нулю, то комплексное число становится вещественным или действительным. Это говорит о том, что действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Другими словами: множество комплексных чисел содержит множество действительных чисел. Если множество комплексных чисел обозначим буквой С, то получили: или (см. рис. 2.2)

Рисунок 2.2. Соотношения между множествами: N, Z, Q, R и C

Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, то комплексное число называют чисто мнимым.

В алгебраической форме два комплексных числа и считаются равными между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части: .

Понятия больше или меньше для комплексных чисел не существует, т.е. сравнивать комплексные числа нельзя. Например, высказывание о том, что комплексное число положительно, имеет смысл только в том случае, если оно вещественное положительное число.

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами. Если и , то ;

, здесь учитывали, что .

Для определения операции деления комплексных чисел введем понятие сопряженного числа. Число называется сопряженным к комплексному числу . Произведение .

При делении комплексных чисел на необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю, выполнить операцию умножения и выделить действительную и мнимую части.

При возведении в квадрат и в куб можно пользоваться формулами квадрат суммы: или куб суммы:

При упрощении выражений воспользовались свойствами возведения в степень числа (см. табл. 2.2).

Таблица 2. 2.

степени числа

значение	степень	степень	степень	степень	степень
				…
				…
-1				…
				…

Здесь n = 0,1,2,….

Такие операции над комплексными числами, как возведения в степень, большую, чем 3 и извлечение корней, удобнее производить, когда комплексные числа представлены в тригонометрической или показательной форме.

Виды отображений

Ограниченные функции

Определение 2.8. Функция называется ограниченной функцией на множестве X, если существует такое положительное число М, что для всех х измножества X значения функции по абсолютной величине не превосходят числа М. Или

{ Функция называется ограниченной функцией на множестве X } .

Определение 2.9. Функция называется ограниченной функцией при , если существует такое число и такое число , что при всех , для которых справедливо неравенство , имеет место следующее неравенство: .

Множество ограниченнойфункцией при , принято обозначать символом . Иногда вместо записи при используют запись: при , понимая под этим, что является одной из функций, принадлежащих классу при .

Приведем символическую запись определения ограниченной функции при :

Аналогично можно определять при или

Примеры ограниченных функций: при для ; при для ; при для .

ЛЕКЦИЯ 2

Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные и комплексные числа, действия над ними.

Понятие переменной величины и функции

 

2.1. Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа, действия над ними

 

Будем рассматривать множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми.

Число является одним из первичных и основных понятий математики. Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало, т.к. число было как бы «привязано» к тем предметам, которые пересчитывали. Древнегреческий математик Евклид считал, что число есть множество единиц. Отвлеченное понятие числа появилось вместе с развитием письменности.

Натуральными называются числа, которые используются для счёта предметов или обозначения номера предмета в ряду однородных предметов: 1, 2, 3, 4, 5, …. При сложении и умножении натуральных чисел всегда получаются натуральные числа. Однако разность и частное натуральных чисел не всегда могут не быть натуральными числами.

При дополнении натуральных чисел нулем и отрицательными числами

(т. е. числами, противоположными натуральным числам) получается множество целых чисел:..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. При сложении,
вычитании и умножении целых чисел всегда получается целые числа. Однако при делении целых чисел частное может и не быть целым числом.

Введение рациональных чисел, т. е. чисел вида , где - целое число, а - натуральное число, позволило находить частное двух рациональных чисел при условии, что делитель не равен нулю. Каждое целое число m также является рациональным, так как его можно представить в виде . При выполнении четырех арифметических действии (кроме деления на нуль) над рациональными числами всегда получаются рациональные числа. Рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной десятичной дроби. Однако, операция извлечения корней из положительного рационального числа, может вывести из множества рациональных чисел. Например, – не являются рациональными числами. Поэтому множество рациональных чисел было дополнено множеством иррациональных чисел.

Любое иррациональное число можно записать в виде бесконечной непериодической дроби, и любая непериодическая дробь является иррациональным числом. Иррациональные числа могут быть положительными и отрицательными, смотря по тому, измеряют ли они величины, считаемые положительными, или величины, считаемые отрицательными. Иррациональное число считается известным (или заданным), если указан способ, посредством которого можно находить любое число его десятичных знаков. Например,

=1,4142135…, = 2,2360679…, число — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра; =3,1415926…, число — математическая константа: основание натуральных логарифмов, названное в честь Эйлера; это так как называемое число Эйлера или число Непера (Неперово число); =2, 7182818….

Множества рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел. Действительное число или как его еще называют вещественное число – это любое положительное число, отрицательное число или нуль.

Каждому действительному числу отвечает точка на координатной прямой, и наоборот, каждая точка на координатной прямой соответствует действительному числу. Действительно, для любой точки координатной прямой достаточно найти расстояние до неё от начала координат, а потом поставить перед этим числом знак плюс (+), если точка располагается правее начала координат, и знак минус (–) – если левее. Говорят, что каждая точка координатной прямой имеет действительную координату. Или иначе, говорят так: между множеством R действительных чисел и множеством точек координатной прямой установлено взаимно однозначное соответствие. Координатная прямая является геометрической моделью множества действительных чисел; по этой причине для координатной прямой часто используют термин «числовая прямая».

Таблица 2.1.

Основные числовые множества

 

№	обозначение	Название и описание
1.	N	Множество всех натуральных чисел N ={1,2,3,...,n, …};
2.	Z	Множество целых чисел. Z={…, - n,…-3,-2,-1,0,1 2,3,...,n,…};
3.	Q	Множество рациональных чисел Q = { , , };
4.	I	Множество иррациональных чисел;
5.	R	Множество действительных (вещественных) чисел: R = Q I.

Множество натуральных чисел N содержится во множестве целых чисел Z, которое содержится во множестве рациональных чисел Q, что в свою очередь, является частью всего множества действительных чисел R. Эти отношения можно записать кратко в виде: N Z Q R (см. рис. 2.1).

 

Рисунок 2.1. Соотношения между числовыми множествами

 

2.2. Комплексные числа и действия над ними

При решении квадратного уравнения , мы выходим за границы множества действительных чисел, ибо квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом: .

Только в XVIII веке великий математик и механик Леонард Эйлер (1707 – 1783) ввел обозначение мнимой единицы: , взяв первую букву слова imaginеi res, что означает «воображаемое» или «мнимое». О существовании таких чисел знали ещё во времена Р. Декарта (1596 – 1650).

Немецкий математик Карл Гаусс (1777 – 1855) назвал эти числа комплексными (от латинского compleks – объединение), ввел обозначение и представил их изображение в виде точек на плоскости.

Следует заметить, что комплексные числа имеют большое применение в электротехнике, и там обозначаются буквой , т.к. буквой обозначается электрический ток.

Комплексное число можно представить в алгебраической тригонометрической и показательной форме.

Определение 2.1. Алгебраической формой комплексного числа называется число вида: , где a, b – действительные числа: , а – мнимая единица: . Число a называют вещественной частью комплексного числа и обозначают: ( – от слова Real – действительный, реальный). Число b называют мнимой частью комплексного числа и обозначают: (Im – от слова Imaginеires – воображаемый, мнимый).

Если мнимая часть комплексного числа равна нулю, то комплексное число становится вещественным или действительным. Это говорит о том, что действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Другими словами: множество комплексных чисел содержит множество действительных чисел. Если множество комплексных чисел обозначим буквой С, то получили: или (см. рис. 2.2)

Рисунок 2.2. Соотношения между множествами: N, Z, Q, R и C

Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, то комплексное число называют чисто мнимым.

В алгебраической форме два комплексных числа и считаются равными между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части: .

Понятия больше или меньше для комплексных чисел не существует, т.е. сравнивать комплексные числа нельзя. Например, высказывание о том, что комплексное число положительно, имеет смысл только в том случае, если оно вещественное положительное число.

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами. Если и , то ;

, здесь учитывали, что .

Для определения операции деления комплексных чисел введем понятие сопряженного числа. Число называется сопряженным к комплексному числу . Произведение .

При делении комплексных чисел на необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, сопряженное знаменателю, выполнить операцию умножения и выделить действительную и мнимую части.

При возведении в квадрат и в куб можно пользоваться формулами квадрат суммы: или куб суммы:

При упрощении выражений воспользовались свойствами возведения в степень числа (см. табл. 2.2).

Таблица 2. 2.

степени числа

значение	степень	степень	степень	степень	степень
				…
				…
-1				…
				…

Здесь n = 0,1,2,….

Такие операции над комплексными числами, как возведения в степень, большую, чем 3 и извлечение корней, удобнее производить, когда комплексные числа представлены в тригонометрической или показательной форме.

Эквивалентное определение комплексного числа

Определение 2.2. Комплексным числом z называется упорядоченная пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:

1) два комплексных числа z ₁ = (x ₁, y ₁) и z ₂ = (x ₂, y ₂) называются равными, если x ₁ = x ₂ и y ₁ = y ₂;

2) суммой комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z вида z = (x ₁ + x ₂, y ₁ + y ₂);

3) произведением комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z = (x ₁ x ₂ - y ₁ y ₂, x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁);

4) множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чисел R;

5) р азностью комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z такое, что z ₂ + z = z ₁, откуда находим z = z ₁ - z ₂ = (x ₁ - x ₂, y ₁ - y ₂);

6) Частным комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z такое, что . Отсюда находим