Определение числовой последовательности

ЛЕКЦИЯ 3

ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ,

ЕГО СВОЙСТВА И ВЫЧИСЛЕНИЕ

Определение числовой последовательности

Под числовой последовательностью понимается результат последовательного выбора элементов из заданного числового множества. Числовая последовательность считается заданной, если указан закон или правило, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие элемент заданного числового множества. Элементы называются членами последовательности: – первым членом, – вторым, – -ым или общим членом последовательности. Последовательность записывается в виде , или . Числовая последовательность является функцией натурального аргумента: .

Из школьного курса известны примеры числовых последовательностей. Это арифметическая и геометрическая прогрессии:

арифметическая прогрессия – это такая числовая последовательность, в которой каждый её член равен предыдущему, сложенному с постоянным для данной последовательности числом: , где – формула общего члена, – первый член прогрессии, а число называется разностью прогрессии;

геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый её член равен предыдущему, умноженному на постоянное для данной последовательности число: , где – формула общего члена, – первый член прогрессии, а число называется знаменателем прогрессии.

 

Задание числовой последовательности

Числовую последовательность чаще всего задают аналитическим способом. Это осуществляется с помощью формулы, задающей -й член последовательности через его номер . Например, . По этой формуле

можно вычислить любой член последовательности:

Другой способ задания числовой последовательности – рекуррентный (от латинского слова «recurrens», что значит – «возвращающийся»). В этом способе задают несколько первых членов последовательности, а также правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через известные предыдущие. Например: и . Тогда можно найти , .

 

ТЕОРЕМА 3.3.

Если и, начиная с некоторого номера , все члены последовательностей , и удовлетворяют неравенству , то существует предел последовательности и .

ТЕОРЕМА 3.4.

Если две последовательности отличаются друг от друга лишь конечным числом членов и у одной из них есть предел, то предел есть и у другой последовательности.

ТЕОРЕМА 3.5. Числовая последовательность может иметь только один предел.

ЛЕКЦИЯ 3

ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ,

ЕГО СВОЙСТВА И ВЫЧИСЛЕНИЕ

Определение числовой последовательности

Под числовой последовательностью понимается результат последовательного выбора элементов из заданного числового множества. Числовая последовательность считается заданной, если указан закон или правило, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие элемент заданного числового множества. Элементы называются членами последовательности: – первым членом, – вторым, – -ым или общим членом последовательности. Последовательность записывается в виде , или . Числовая последовательность является функцией натурального аргумента: .

Из школьного курса известны примеры числовых последовательностей. Это арифметическая и геометрическая прогрессии:

арифметическая прогрессия – это такая числовая последовательность, в которой каждый её член равен предыдущему, сложенному с постоянным для данной последовательности числом: , где – формула общего члена, – первый член прогрессии, а число называется разностью прогрессии;

геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой каждый её член равен предыдущему, умноженному на постоянное для данной последовательности число: , где – формула общего члена, – первый член прогрессии, а число называется знаменателем прогрессии.

 

Задание числовой последовательности

Числовую последовательность чаще всего задают аналитическим способом. Это осуществляется с помощью формулы, задающей -й член последовательности через его номер . Например, . По этой формуле

можно вычислить любой член последовательности:

Другой способ задания числовой последовательности – рекуррентный (от латинского слова «recurrens», что значит – «возвращающийся»). В этом способе задают несколько первых членов последовательности, а также правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через известные предыдущие. Например: и . Тогда можно найти , .